n − 1

数学の楽しみ 1D［第 9 回・演習問題の解答例（その 2）
］
9.2 次で定義される数列 (an ) を考える：
an =
n
1
1+
.
n
数列 (an ) が単調増加で，かつ任意の n ∈ N に対し an < 3 であることを証明せよ．
［証明］まず数列 (an ) が単調増加であることを示す（実際には以下のように，狭義単調増加であることがわ
かる）
．an の定義式の右辺を二項定理により展開すると次が得られる（二項係数を
an =
n k
X
n
1
k
k=0
n
=1+
n
k
と書く）
：
n
X
n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − k + 1)
k!
k=1
·
1
nk
n
X
1 n n−1 n−2
n−k+1
· ·
·
· ··· ·
k! n
n
n
n
k=1
n
X 1
1
2
k−1
=1+
·1· 1−
· 1−
· ··· · 1 −
k!
n
n
n
k=1
n
k−1 X
1 Y
l
=1+
1−
.
k!
n
=1+
k=1
(∗)
l=0
また，n を n + 1 で置き換えて
an+1 = 1 +
n+1
X
k=1
k−1 1 Y
l
1−
.
k!
n+1
l=0
したがって
"k−1 k−1
#
n
n X
Y
Y
1 Y
l
l
1
l
an+1 − an =
1−
−
1−
+
1−
.
k!
n+1
n
(n + 1)!
n+1
k=1
l=0
l=0
l=0
右辺各項はすべて正なので，an+1 − an > 0，つまり an < an+1 である．すなわち (an ) は狭義単調増加であ
ることがわかった．
次に任意の n ∈ N に対し an < 3 であることを示す．n = 1 のときは a1 = 2 < 3 なので，以下では n ≥ 2
とする．そのとき，再び (∗) を用いて
n
k−1 n
n
X
X
X
1 Y
l
1
1
an = 1 +
1−
<1+
=2+
.
k!
n
k!
k!
k=1
l=0
k=1
k=2
k ≥ 2 に対し 1/k! ≤ 1/2k−1 であることを用いて
an < 2 +
n
X
k=2
1
2k−1
=2+ 1−
1
2n−1
<3
を得る．
コメント問題文で注意したことをもう一度確認しておきます．この議論は新しい数 e を定義するためのものでし
た．
「上に有界な単調増加数列は収束する」という定理（実数の完備性の一表現）があるので，それを適用す
るために，前提となる 2 つの仮定の成立を確かめたわけです．
第一の目的はそれだったので，大雑把に an < 3 という評価を与えたのですが，上の議論に少し工夫を加
えるだけで，もっと精密な上からの評価も得られます．たとえば
an <
n
n
n
X
1
1 X 1
1 X
1
1 1
1
13
= 1+1+ +
< 2+ +
< 2+ + ·
= 2+
(= 2.722 · · · )
k!
2
k!
2
3! · 4k−3
2 6 1 − 1/4
18
k=0
k=3
k=3
1
など（計算途中では n ≥ 5 としましたが，(an ) は単調増加ですから，結果的にはすべての n について
正しい不等式です）．一方で下からの良い評価を得るのは大変ですけれど，コンピュータで計算すると
a74 = 2.7001 · · · ．これで e の小数第一位までの値が 2.7 であることがわかりました．
n
∞
X
X
1
1
でもあります（これを
とも書く）．こちらのほうが
n→∞
k!
k!
授業でも触れたとおり，実は e = lim
k=0
k=0
収束がはるかに速い．
Y
なお，もしかしたら初めてかもしれませんが，
は積を表す記号です（π の大文字 Π を大きくした記号．
π は product の頭文字 p に対応します）．使い方は
（シグマ）の大文字 Σ を大きくしたわけです）
．
2
X
と同様です（こちらは sum の頭文字 s に対応する σ

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