システム制御Ⅱ

システム制御Ⅱ
第2学期火 1, 2限 8：40-10：50
5号館第16講義室
担当：平田健太郎
6/28
第4回安定性と系の固有値，安定判別法
Systems Control II
1
講義日程（予定）
１回目はじめに/古典制御の問題点
２回目系のモデリングと状態方程式表現
３回目状態方程式の解/伝達関数との関係
４回目安定性と系の固有値，安定判別法
５回目可制御性
６回目可観測性
７回目レギュレータ/オブザーバ
８回目まとめ/期末試験
Systems Control II
2
前回のSummary
のとき,
≔
1
1!
1
2!
0. ケーリー・ハミルトンの定理
1
3!
1
4!
⋯
行列指数関数
の解は
0
Systems Control II
d
3
行列指数関数
の計算方法
• 定義式に従う
• 対角化を利用する
• ラプラス変換を経由する
Systems Control II
4
「ノルムと級数」をざっくりと斜め読み
Systems Control II
5
4. 安定性
Systems Control II
6
古典制御において, 伝達関数システムの安定性は「入出力安定性」であった.
任意の有界入力に対して, 出力が常に有界となるとき, システムは
入出力安定という.
がプロパーな有理伝達関数であるとき, 入出力安定である
ための必要十分条件は,
の全ての極の実部が負となることである.
Systems Control II
7
現代制御において, 状態方程式システム
0
の解は
d
であるから, 解は初期値に対応する成分と入力に対応する成分を持つ.
Systems Control II
8
初期値応答 (自励系) の安定性
Σ
,
0
漸近安定：任意の初期値に対して,
→ 0,
→ ∞ となるとき,
線形システム Σ は漸近安定という.
（
が対角化可能なら）
Λ
0
Λ
0
→ ∞ のとき
Systems Control II
→ 0,
⋱
0
⋱
0
1, ⋯
:
の固有値
となるには？
9
は実行列の固有値なので,一般に ∈
→
1, ∀ なので, モード
は
0 ならば,
→ ∞ のとき 0 に収束
0 ならば,
→ ∞ のとき発散
0 ならば,
→ ∞ のとき 1間を振動し続ける
0, ∀ ならば,
→ ∞ のとき
（
Systems Control II
→0
が重複固有値でないとき）
10
が対角化できないとき
⋱
0
例)
0
1
0
0 0
0 0
0
0
なる変換が可能 ⇒ ジョルダン標準形
0
0
0
べき乗は対角ブロックごとに考えればよい.
⇒
部分の行列指数関数がどうなるか？
0
行列指数関数の性質からうまく求まる
0
,
0
1
⋱
⋱
⋱
0
1
0
はべき零行列.
Systems Control II
11
0
0
0
Systems Control II
1
0
0
0
1 とする.
0
,
, ⋯ を求めよ.
12
行列指数関数の性質
(a)
(b)
⇒
(c)
スカラーの場合:
2
2
2
2
2
2
2
2
拡張
Systems Control II
13
!
!
と
は可換であるから,
∴
1
0
0
⋮
0
1
0
⋮
0
1
0
0
⋮
0
/2!
⋯
⋱
1 ⋱
⋱ ⋱
0 0
/2!
0
0 0
⋮ ⋮
0 0
Systems Control II
1
0
⋮
0
⋯
⋱
⋱
⋱ ⋱
0 0
/
/
/
/2!
⋯
⋱
1 ⋱
⋱ ⋱
0 0
/
/
/
1 !
2 !
3 !
⋮
1
1 !
2 !
3 !
⋮
1
→ ∞ のとき
/
/
/
⋮
1 !
2 !
3 !
0ならば
→0
→∞
どっちが強いか
14
,
1
∴
/
∴
/
0とする.
1
2
⋯
1
!
1
2
→ ∞
1
⋯
!
1 !
⋯
→∞
/
より
これは任意について成り立つので指数関数
0, ∀ ならば,
Systems Control II
⋯
1 !
→ 0
→∞
の増加のスピードはどんな多項式よりも速い
→ ∞ のとき
→0
15
→ 0,
0
/2!
0
0 0
⋮ ⋮
0 0
Σ
Systems Control II
⋱
→ ∞ ⇔
0
0
⋯
⋱
⋱
⋱ ⋱
0 0
0
/
/
/
⋮
⋱
0
1 !
2 !
3 !
が漸近安定であるための必要十分条件は
の全ての固有値の実部が負であること
16
別の観点からの特徴付け：
伝達関数
/
の安定条件：
分母多項式の零点（伝達関数の極）： ,
1, ⋯ , ∀ ,
0
伝達関数の極を直接計算しない安定判別法として, Routh-Hurwitzの方法
があったように, の固有値を直接計算しない状態方程式の安定判別法が
あれば望ましい.
リアプノフ（Lyapunov）の判別方法
系のエネルギーに着目した方法
Systems Control II
17
一般論：非線形な自励系を考える.
0 となる点を平衡点という.
は平衡点とする.
0
任意に与えられた
0 に対して
すべての 0 と
0について‖
は（リアプノフの意味で）安定という.
0 が存在し, ‖ 0 ‖
なる
‖
となるならば, 原点
0
2次元のイメージ
0, すなわち原点
0
ある半径の円内の初期値からスタートした
すべての軌道が, 未来永劫ある半径の円内に
とどまるとき
安定（リアプノフ安定）
Systems Control II
18
安定でかつ, ある ′ 0 が存在し, ‖ 0 ‖
→ 0 → ∞ となるならば, 原点
対して
’ なるすべての 0 に
0は漸近安定という.
2次元のイメージ
ある半径の円内の初期値からスタートした
すべての軌道が, 原点に収束するとき
漸近安定
Optimal Control Theory
19
ある
0 に対して, どんな
ある 0 に対して ‖
‖
0を不安定という.
0 を選んでも, ‖ 0 ‖
を満たす
となる
0が存在するならば, 原点
2次元のイメージ
どんなに半径を大きくしても, 円内の初期値
からスタートした軌道が, ある半径よりも
外に出てしまう
不安定
Optimal Control Theory
20
リアプノフの方法
以下の性質をもつ状態
のスカラー関数
•
は正定関数, i.e.,
•
/ は連続
• システムの解軌道に沿った
0, ∀
0
i.e.,
0, ∀
をリアプノフ関数という.
0
の時間微分が準負定,
が存在し,
→ ∞のとき
→ ∞,
の全域でリアプノフ関数
0, ∀
0 を満たすならば, 原点は（大域的に）漸近安定である.
は系のエネルギーを表しており,
減少して0 に近づくことを意味している.
どのようにして
Systems Control II
0 はエネルギーが時間的に
を探すか？
21
エネルギーが時間的に単調に減少する.
エネルギーは正の値をとる.
無限時間経過後は0に収束
（単調な有界列は収束）
0
Optimal Control Theory
22
正定性
実対称行列に対して, 適合するサイズのベクトルを用いて, スカラー量
を二次形式という.非零ベクトルに対して, 二次形式の値が常に
正(負)となるとき, 行列は正定(負定)であるといい,
0
0 で表す.
実対称行列が正定であるための必要十分条件は, 全ての固有値が
正であることである.
実対称行列は, 直交行列によって常に対角化可能なので
0
0
は正則であるから,
Systems Control II
⋱
0
0⇔
⋱
0
0
:
⋱
0. よって
0
⋮
0⇔
0, ∀ 23
Today’s Minutes Paper
2 1 1
,
1 2 2
Systems Control II
2
は正定か？
2
24
どのようにして
を探すか？
線形システムに対しては, 状態の二次形式として
であることが知られている.
0, ∀
が正定関数, i.e.,
（正定行列）でなければならない.
0 であるためには,
が定数行列であるので, システムの解軌道
時間微分は
となる.
Systems Control II
を探索すれば十分
0
に沿った
, は正定行列（定数）であれば
の
は負定である.
25
リアプノフ方程式
が与えられたとき, 任意の正定行列
が正定解をもつとき,
リアプノフ方程式という.
に対して, 方程式
は漸近安定である. この方程式を
正定解の存在が, 漸近安定であるための十分条件であることは
先の議論からほぼ明らかであるが, これは必要条件でもある.
また, 存在するとき, 解は一意である.
Systems Control II
26
リアプノフの安定定理
Systems Control II
27
証明：
→ 0 でなければならない.
Systems Control II
28
補足（平方根行列）
0 ⇔ ∃ s. t. /
≔ diag
これを
Systems Control II
,
,⋯,
の平方根行列という.
diag
とおくと
/
0 ならば
,⋯,
,
0, ∀
/
/
0.
29
証明：
（の解）は安定
≔
→ 0,
→∞
とおくと
→ 0のとき, 右辺の積分は収束する. （証明は割愛）
Systems Control II
30
行列指数関数の性質としてとおくと
が成り立つので,
★
★より
は常に正則なので
とおくと,
被積分関数は
0のとき常に正
0↔
0
であり
0,
0↔
0
0
0
一意性は別途示される.
Systems Control II
31
一意性の証明
はの要素に関する線形方程式である. 線形方程式
が一意であるための必要十分条件はが正則であることだから,
を通常の
の形式に書き直す必要がある.
が安定であるとき, 対応する
Systems Control II
の解
が正則であることが示される.
32
例題：
0
2
1 0
0 1
1
3
の安定性をリアプノフ方程式を使って調べる.
とする.
は2次の実対称行列なので
とおいて
を解く. 得られた
固有値を求めて確かめる.
Systems Control II
が正定かどうかを
33
計算用ページ：
Systems Control II
34
計算用ページ：
Systems Control II
35

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