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時空の大規模構造
S.W.HAWKING & G.F.R.ELLIS
i
目次
まえがき
v
第1章
重力の役割
1
第2章
微分幾何
9
9
2.1
多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
2.3
ベクトルとテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
2.5
2.6
外微分とLie微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
2.8
超曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
ファイバーバンドル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
一般相対論
15
多様体間の写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
リー
14
共変微分と曲率テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
メトリック
計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ガウス
体積要素とGaussの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
束
第3章
3.1
3.2
3.3
時空多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
場の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
曲率の物理的意味
17
第4章
15
15
ラグランジアン
Lagrangianを用いた定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
物質場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
タイムライク
17
ヌル
null曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1
4.2
時間的曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
4.4
エネルギー条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
共役点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
ii
目次
4.5
第5章
弧長の変分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
厳密解
5.1
19
ミンコフスキー
Minkowski時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2
5.3
de Sitter時空と反 de Sitter 時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ロバートソン ― ウォーカー
Robertson-Walker時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4
5.5
5.6
空間的に一様な宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Schwarzschild解とReissner-Nordsröm解 . . . . . . . . . . . . . . . 19
カー
Kerr解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.7
5.8
Gödel宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
タウブ ‐ ナット
Taub-NUT空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.9
さらなる厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
因果関係の構造
21
ド・ジッター
シュワルツシルト
ライスナー‐ノルドシュトロム
ゲーデル
第6章
6.1
6.2
6.3
向き付け可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
非時間的境界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.4
6.5
因果関係の満たす条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6
6.7
6.8
大域的双曲型性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9
漸近的に単純な空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
因果関係を表す曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
コーシー
Cauchy展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
21
21
時空の因果的境界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
測地線の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
コーシー
第7章
一般相対論におけるCauchy問題
23
7.1
7.2
簡約化された Einstein 方程式
7.3
7.4
7.5
初期データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 階の双曲型方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
アインシュタイン
真空中の Einstein 方程式の存在と，時間発展の一意性 . . . . . . . . 23
7.6
7.7
極大発展と安定性
第8章
8.1
問題の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
アインシュタイン
アインシュタイン
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
23
物質を含む Einstein 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
時空特異点
25
特異点の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
8.2
特異点定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
8.3
8.4
特異点の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
特異点の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
8.5
不完備性が拘束されていること . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
重力崩壊とブラックホール
27
第9章
9.1
9.2
9.3
第 10 章
星の崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ブラックホールの最終的な状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
宇宙の初期特異点
10.1
宇宙の膨張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
10.2
特異点の性質と影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
ラプラス
付録 A
P.S.Laplaceの小論の翻訳
付録 B
球対称解とBirkhoﬀの定理
31
バーコフ
33
参考文献
35
記法
37
v
まえがき
本書の主題は時空の構造である長さのスケールにして，素粒子の半径 10−13 cm か
ら，宇宙の半径 1028 cm までの話である．第 1 章から第 3 章において説明される理由
アインシュタイン
により，本書は Einstein の一般相対性理論を基礎に置く．この理論は宇宙について 2
つの注目に値する予言を導く．第 1 は，大質量星の最終的な運命が特異点を含む『ブ
ラックホール』を形成するために事象の地平面の後ろに潰れてしまうことである．そ
して第 2 は我々の過去に特異点が存在し，それがある意味では宇宙の始まりを構成し
ているということである．本書での議論は主にこれら 2 つの結果を発展させること
を目的としている．それらは主に 2 つの研究領域に依存する．第１に時空内におけ
タイムライク
ヌル
る時間的及びnull的な曲線の族の振る舞いについての理論であり，第 2 に任意の時空
における様々な因果関係の性質に関する研究である．本書ではこれらの主題について
詳細に検討する．またさらに，与えられた初期値から Einstein 方程式の解の時間発
展についての理論も展開する．この議論は Einstein の場の方程式の厳密解に対する
様々な大域的性質の検討によって補われ，それらの多くがやや予想外のある振る舞い
を示す．
ホーキング
アダムズ
賞
本書は筆者のうちの一人 (S. W. Hawking) によるAdams Prizeを受賞した小論
ペンローズ
ゲロック
に基づく．ここで紹介するアイデアの多くは，R. Penroseと R. P. Gerochによるも
バ
テ
ル
会
議
のであり，我々は彼らの助けに感謝している．我々は，Battelle Rencontres (Pen中
西
部
相
対
論
会
議
報
告
ヴァレンナ
rose (1968))，Midwest Relativity Conference Report (Geroch (1970c))，Varenna
夏
期
講習会
議
事
録
ピッツバーグ
会
議
報
告
Summer School Proceedings (Geroch (1971)) 及びPittsburgh Conference Report
(Penrose (1972b)) で彼らの総説を読者に紹介したい．我々は多くの同僚，特に B.
カーター
シャーマー
Carterと D. W. Sciamaからの議論と提案の恩恵を受けている．我々は彼らに対して
も感謝している．
ケンブリッジ
Cambridge
1973 年 1 月
S. W. Hawking
エリス
G. F. A. Ellis
1
第1章
重力の役割
現在最も一般的に受け入れられている物理学の見解として，宇宙の議論が 2 つの
部分に分割できるというものがある．第１に，様々な物理的な場によって満たされ
る局所的な法則の問題がある．これらは通常微分方程式の形で表される．第 2 にこ
れらの方程式の境界条件の問題とそれらの解に対する大域的性質が存在する．これ
はある意味時空の端について考えることを伴う．これら 2 つの部分は独立でないか
も知れない．実際，局所的法則は宇宙の大規模構造によって決定されると考えられ
マッハ
た．この見解は一般的にMachの名前で関連付けられ (Mach 原理)，より最近では，
ディラック
シャーマー
ディッケ
ホイル
ナーリカー
Dirac (1938)，Sciama(1953)，Dicke (1964)，Hoyle及びNarlikar (1964)，その他に
よって発展させられた．我々はそれほど野心的ではないアプローチを採用したい．
我々は実験的に決定された局所的物理法則を採用し，これらの法則が宇宙の大規模構
造について何を意味するのかについて見ることにする．
もちろん，実験室で決定される物理法則が，条件が非常に異なる可能性がある時空
の別の点で当てはまらなければならないという仮定は大きな推定である．もしそれら
が保たれないなら，局所的物理法則に入った何らかの他の物理的場が存在するという
見解をとるべきである．しかしそのようなものの存在は実験ではまだ検出されてい
ない．何故なら，太陽系のような領域の上ではごくわずかにしか変化しないからであ
リ
ー
マ
ン
る．実際，大部分の結果は物理法則の詳細な性質とは無関係であり，擬Riemann幾何
学とエネルギー密度の正定値性によって時空の記述のようなある特定の一般的特性の
みを含むだろう．
現在，物理学において知られている基本的な相互作用は 4 つの種類に分けられる．
強い核相互作用と弱い核相互作用，電磁気，そして重力である．これらのうち，重
力は大変最も弱い (2 つの電子の間に働く電気力への重力の比率 Gm2 /e2 は，およそ
10−40 である．)．それにもかかわらず，重力は宇宙の大規模構造を形成する上で支
配的な役割を果たす．これは何故なら強い相互作用と弱い相互作用は非常に短い範囲
(∼ 10−13 cm 以下) にしか働かず，電磁力が長距離相互作用であっても巨視的な次元
の物体に対しては，逆の電荷の引力によって，同符号の反発力は非常に近くでつり合
いがとれているからである．一方重力は常に引力として現れる．それ故物体を構成す
るすべての粒子の作る重力場は，十分大きな物体に対しては場を作るために加算さ
2
第 1 章重力の役割
れ，他の全ての力を支配する．
重力は巨視的なスケールで支配的な力であるだけでなく，それは同じように全て
ガリレオ
の粒子に影響を及ぼす力である．この普遍性はGalileoによって最初に認識された．
エトヴェシュ
Galileo はどんな 2 つの物体も同じ速度で落下することに気付いた．これはEötvös,
及び，Dicke と彼の共同研究者 (Dicke (1964)) によるより最近の実験において非常に
高い精度で検証されている．また，重力場によって光が湾曲することも観測されてい
る．いかなる信号も光より速くは伝わらないと考えられることから，これは重力が宇
宙の因果関係の構造を決定することを意味する．すなわち，重力は時空の事象がお互
いに因果的に関係することができるかを決定する．重力のこれらの性質は，もし十分
大きな量の物質がある領域に集中すると，それはその領域から出射する光を内側に引
ラプラス
きずりこむほど湾曲させることができるという厳しい問題を導く．これはLaplaceに
よって 1798 年に認識された．Laplace は太陽とほぼ同じ密度で 250 倍の半径を持つ
物体は，いかなる光もその表面から逃れることができないほど強い重力場を及ぼすと
指摘した．このことがこんなに昔に予言されたということは，あまりにも驚くべきこ
となので，本書の巻末に Laplace の小論を翻訳したものを付けることにする．
ペンローズ
捕獲閉曲面のPenroseのアイデアを使用すると，重い物体による光の引きずり込み
をより正確に表現することができる．その物体を取り囲んでいる球面 T を考えよう．
ある瞬間に T が光の閃光を放出したものとしよう．あるのちの時刻 t に，T から
入ってくる波面と出ていく波面はそれぞれ球面 T1 及び T2 を形成する．通常の状況
では，T1 の面積は T より小さくなり (何故なら内側に向かう光を表すから)，T2 の
面積は T より大きくなる (何故なら外側に向かう光を表すから．図 1 参照)．しかし
ながら，もし，十分大きな量の物質が T 内に含まれていたら，T1 と T2 の面積はど
ちらも T より小さくなる．このとき，表面 T は捕獲閉曲面と呼ばれる．t が増加す
るにつれて，重力が引力であり続ける限り T2 の面積はますます小さくなる．すなわ
ち，その物質のエネルギー密度が負にならないことが条件となる．T の内部の物質
が光より速く移動できないことより，それは有限の時間でゼロに減少する境界を持つ
領域に閉じ込められる．これは何かが明らかに間違っていることを示唆する．我々は
実際，一定の合理的な条件が成り立つならば，そのような状況では，時空の特異点が
発生しなければならないことを示そうと思う．特異点とは我々の現在の物理法則が崩
れる場所と考えられる．あるいは，時空の端の一部であるが，無限遠ではなく，有限
の距離にある部分を表しているものと考えることができる．この見方では，特異点は
それほど悪くはない．ただし，まだ境界条件の問題は残されている．言い換えれば，
特異点から何が出てくるかはわからない．
3
S
p
T
T1
図1
T2
ある瞬間，球面 T は光の閃光を放出する．そののち，点 p からくる光は p
の周りに球面 S を形成し，包絡面 T1 及び T2 はそれぞれ内側に進む波面と外側
に進む波面を形成する．もし T1 及び T2 の両方の面積が T より小さいならば，
T は捕獲閉曲面である．
捕獲閉曲面を生じさせるのに十分な物質の濃度があると期待される 2 つの状況があ
る．1 番目は太陽の 2 倍を超える質量の星の重力崩壊である．それはそれらの星が核
燃料を使い果たした時に起こると予想される．この状況では，外部の観測者から見る
ことのできない特異点に星が潰れることが期待される．2 番目の状況は宇宙全体それ
自体のそれである．マイクロ波背景放射の近年の観測は，宇宙が時間反転捕獲閉曲面
を引き起こすのに十分な物質を含んでいることを示している．これはかつて，現在の
宇宙の膨張の始まりに特異点が存在していたことを意味する．この特異点は原理的に
は我々が見ることができる．それは宇宙の始まりと解釈できる．
アインシュタイン
本書では Einstein の一般相対性理論に基づいて時空の大規模構造を学ぶ．この理論
の予言はこれまで行われたすべての実験と一致している．しかしながら，ここでの取
ブランス‐ディッケ
り扱いはBrans-Dicke理論のような Einstein の理論の修正理論を説明するのに十分な
一般性がある．
本書が読者のほとんどが一般相対論に対する何らかの知識を持っていると想定して
いても，単純な微積分学，代数学，点集合論的位相幾何学についての知識を除いて自
己完結な本になるように書こうと著者たちは努力した．そこで本書では第 2 章を微分
幾何学に当てた．明白に座標系に依存しない流儀で定義を定式化したという点で本書
の扱いは十分現代的である．しかしながら，計算上の利便性のため，本書では時々添
4
第 1 章重力の役割
束
字を使い，大部分でファイバーバンドルの使用を避けた．ある程度微分幾何学の知識
のある読者はこの章を飛ばしてもよい．
第 3 章では一般相対性理論の定式化が，時空の数理モデルについての 3 つの仮定
ローレンツ
メトリック
に関して与えられる．このモデルはLorentz符号を持つ計量 g を持つ多様体 M であ
る．計量の物理的意義は最初の 2 つの仮定によって与えられる．局所因果律及び局所
エネルギー‐運動量保存則である．これらの仮定は一般及び特殊相対性理論の両方で
共通で，後者に対する実験的な証拠によって支持される．第 3 の仮定，計量 g に対す
る場の方程式は，あまりよく実験的に確立されていない．しかしながら，大部分の結
果は，正の物質密度に対して重力が引力的であるような場の方程式の性質のみに依存
する．この性質は，一般相対論と Brans-Dicke 理論のようないくらかの修正理論に
おいて共通である．
タイムライク
ヌル
第 4 章では，時間的及びnull測地線の族に対する曲率の影響を考察することによっ
て，曲率の重要性を議論する．これらはそれぞれ，小さな粒子や光線の経路を表す．
曲率は，隣接する測地線との間の相対加速度を誘導する偏差または潮汐力と解釈す
ることができる．エネルギー‐運動量テンソルがある正定値条件を満たすなら，この
レイチャウダハリ
偏差力は測地線の非回転族上に正味の収束効果を常に持つ．Raychaudhuriの方程式
(4.26) の使用によって，これがその後，隣接する測地線が交差するところで，焦点ま
たは共役点をもたらすことを示すことができる．これらの焦点の重要性を確認するた
ユークリッド
めに，2 次元Euclid空間内の 1 次元面 S を考えよう (図 2)．
p
q
y
x
u
図2
v
S
r
線分 pr は p から S への最短曲線ではない．何故なら p と r の間に焦点 q
が存在するからである．実際線分 px と py のいずれもが p から S への最短曲線
である．
5
p を S 上でない点としよう．すると，どんな他の S から p への曲線よりも短い
か，同じぐらい短い S から p へのある曲線が存在する．明らかにこの曲線は測地線
である．すなわち，直線であり，S と直交的に交わる．図 2 に示した状況では，実
際，p を通り S と直交する 3 つの測地線が存在する．点 r を通過する測地線は明ら
ミルナー
かに S から p への最短曲線ではない．これを認識する 1 つの方法 (Milnor (1963))
は，u と v を介して S に対して直交する隣り合う測地線は S と p の間の焦点 q で
r を介する測地線と交わるということに注意することである．すると，線分 uq を線
分 qp とつなげると，S から p への，直線 rp と同じ長さの曲線を得ることができる．
たとえ uqp が直線でなくても，q で角を丸めることによって rp より短い S から p
への曲線を得ることができる．これは rp が S から p への最短曲線ではないことを
示している．実際，最短曲線は xp または yp である．
この考えは Lorentz 計量 g を持つ 4 次元時空多様体 M 上に持ち越すことができ
る．直線の代わりに，測地線を考察し，最短曲線を考える代わりに，点 p と空間的曲
面 S の間の最長な時間的曲線を考える (何故なら計量の Lorentz 符号より，最短な
時間的曲線は存在しないが，最長のそのような曲線は存在しうるから)．この最長曲
線は測地線でなければならない．それは S と直交的に交わり，S と p の間には S
と直交するいかなる測地線の焦点も存在できない．同様の結果が null 測地線に対し
ても証明できる．これらの結果は第 8 章で，ある条件の下での特異点の存在性を確立
するために使われる．
第 5 章では多くの Einstein 方程式の厳密解を解説する．これらの解は全て正確な
対称性を有するという点では現実的ではない．しかしながら，それらは後続の章のた
めの有益な例を提供し，様々な可能な挙動を説明する．特に，高度に対称的な宇宙論
的モデルはほぼすべて時空特異点を有する．長い間，これらの特異点は単に高度な対
称性の結果である可能性があり，より現実的なモデルには存在しないと考えられてい
た．これが正しくないことを示すのが本書の主要な目的の 1 つである．
第 6 章では，時空の因果関係の構造を学ぶ．特殊相対論では，与えられた事象はそ
れぞれ過去方向の光円錐の内部によって因果的に影響を受け得るし，未来方向の光
円錐の内部に影響を与えることができる (図 3 参照)．しかしながら，一般相対論で
は，光円錐を決定する計量 g は，一般的に点から点へ移るにつれて変化する．そし
て，時空多様体 M の位相は Euclid 空間 R4 のものである必要がない．これはより多
くの可能性を許す．例えば，図 3 の面 S1 及び S2 上の対応する点を同一視して位相
R3 × S1 を持つ時空を生成することができる．これは閉じた時間的曲線を含む．その
ような曲線の存在は自分自身の過去に旅行することができ，因果関係の崩壊を引き起
こす．本書の大部分ではそのような因果関係の破れを許さない時空を考察しよう．そ
6
第 1 章重力の役割
のような時空では，与えられた任意の空間的面 S に対して，S の情報についての知
コーシー
識から予測することができる時空の最大領域が存在する (S のCauchy展開と呼ばれ
る)．Cauchy 展開は時間的曲線によってそこにある 2 つの点が繋げられるなら，これ
ら 2 つの点を繋げる最大の曲線があるという性質を持っている (『大域的双曲性』)．
この曲線が測地線になる．
ふち
時空の因果関係の構造は時空の境界，または縁を定義するために使うことができ
る．この境界は無限，及び有限の距離にある時空の縁の部分 (すなわち特異点) のい
ずれも表す．
第 7 章では，一般相対論における Cauchy 問題を議論する．時空面上の初期情報は
その面の Cauchy 展開の上の唯一解を決定する．そして，ある意味この解は初期情報
に連続的に依存する．この章は前の章の多くの結果を使っているため，完全性のため
に追加された．しかしながら，この章は続く章を理解するためには読む必要がない．
未来方向の光円錐
未来
時間
S2
空間
p
空間
過去方向の光円錐
S1
過去
図3
特殊相対論では，事象 p の光円錐は p を通る全ての光線の集合である．p の
過去は過去方向の光円錐の内部であり，p の未来は未来方向の光円錐の内部である．
第 8 章では時空の特異点の定義を議論する．これは，特異点を時空多様体 M の一
部として見なせないため，一定の困難を提示する．本書では次に，ある特定の条件の
下で発生する時空の特異点を確立する 4 つの定理を証明する．これらの条件は 3 つの
カテゴリに分類される．第 1 に，重力が引力であるべきであるという要件がある．こ
7
れはエネルギー‐運動量テンソルに関する不等式として表すことができる．第 2 に，
いかなるものに対しても，その領域から逃れるのを妨害するのに十分な物質の存在す
るある領域が存在する，という要件がある．これは捕獲閉曲面が存在する場合，ある
いは宇宙全体それ自体が空間的に閉じている場合に発生する．第 3 の要件は，因果関
係の破れが存在してはならないというものである．しかしながら，この要件は定理の
うちの一つでは必要ない．証明の基本的な考え方は，第 6 章の結果を使って特定の 2
点の間に最長な時間的曲線が存在しなければならないことを証明することである．す
ると，特異点が存在しなかったら，焦点があるであろうから，それはその 2 点の間に
最長の曲線が存在しないということを意味することを示している．
シュミット
次に，時空の特異点を表す時空の境界を構築するためのSchmidtによって提案され
た手順を解説する．この境界は特異点を表す (第 6 章で定義した) 因果的境界の一部
とは異なる場合がある．
第 9 章では，第 8 章の定理 2 の 2 番目の条件が太陽質量の 1 12 倍より大きい星の近
くで，星の進化の最終段階で満たされなければならないことを示す．発生する特異点
は，恐らく事象の地平面の後ろに隠れて，外部からは見えない．外部の観測者には，
星がかつてあった場所に『ブラックホール』があるように見える．そこではそのよう
カ
ー
なブラックホールの性質を議論し，それらが恐らくKerr解の 1 つに最終的に落ち着
くことを示す．これが事実であると仮定すると，ブラックホールから取り出すことが
できるエネルギーの量に一定の上限を置くことができることになる．第 10 章では，
定理 2 と 3 の 2 番目の条件が，時間反転の意味で，宇宙全体で満たされるべきである
ことが示される．この場合，特異点は我々の過去にあり，観測された宇宙の全てまた
は一部を構成する．
入門的題材の本質的な部分は §3.1，§3.2 及び §3.4 のそれである．宇宙の特異
点の存在を予言する定理を理解したいと望んでいる読者は，さらに第 4 章，§6.2-
§6.7 及び §8.1 と §8.2 のみ読む必要がある．崩壊する星へのこれらの定理の応用は
§9.1 が従う (これは付録 B の結果を使う)．宇宙全体への応用が §10.1 で与えられ，
ロバートソン ‐ ウォーカー
Robertson-Walker宇宙モデル (§5.3) の理解に依存する．特異点の性質に関する本書
タウブ ‐ ナット
での議論は §8.1，§8.3-§8.5 及び §10.2 に含まれる．Taub-NUT空間 (§5.8) の例はこ
ビアンキ
の議論で重要な役割をはたしている．そして，BianchiI 型宇宙モデル (§5.4) もまた
興味深いものである．
本書のブラックホールの議論を理解したいと望む読者は，第 4 章，§6.2-§6.6，§6.9，
シュワルツシルト
及び §9.1，§9.2，及び §9.3 のみ読む必要がある．この議論はSchwarzschild解 (§5.5)
と Kerr 解 (§5.6) の理解に依存する．
最後に，主な関心が Einstein 方程式の時間発展である読者は，§6.2-§6.6 及び第 7
8
第 1 章重力の役割
章のみ読む必要がある．読者は §5.1，§5.2 及び §5.5 で与えられた興味深い例を見つ
けるだろう．
筆者らは，本書で導入したすべての定義に対して便利なガイドとなるように索引を
作成するために努力をしてきた．
9
第2章
微分幾何
次の章で議論する時空構造およびこの本の残りの部分で仮定される時空構造はロー
レンツ計量を持ち，アフィン接続に関連する多様体である．
この章では，§2.1 で多様体の概念を導入し，§2.2 でベクトルとテンソルという多様
体上で定義される自然な幾何学的物体の概念を導入する．§2.3 で議論する多様体の
写像はテンソルの誘導写像（induced maps of tensors）および，部分多様体の定義を
導く．ベクトル場によって定義された誘導写像の微分は §2.4 で定義されるリー微分
を与える．多様体の構造のみに依存する別の微分演算子である外微分もまたその節で
定義される．この演算は一般化されたストークスの定理において現れる．
追加された構造である接続は §2.5 で導入される．これは共変微分と曲率テンソル
を定義する．接続は §2.6 における多様体上の計量（metric）と関係している．曲率
テンソルはワイルテンソルとリッチテンソルに分けられる．これらはお互いにビアン
キ恒等式によって関連付けられている．
残りの章では，微分幾何におけるいくつかの別の話題が議論される．超曲面上の誘
導計量および接続は §2.7 において議論され，ガウス-コダッチの関係式が導かれる．
計量によって定義される体積要素は §2.8 で導入され，ガウスの定理の証明に使われ
る．最後に §2.9 でファイバーバンドルの簡単な議論を，接バンドル，線形バンドル
および正規直交系を特に強調して与える．これらは序盤で導入された数多くの概念を
洗練された幾何学的手法によって再構築することによって使用可能にする．§2.7 お
よび §2.9 は 1 つか 2 つの箇所で後に使われるが，この本の主要な部分では不可欠で
はない．
2.1 多様体
多様体は，本質的に座標パッチによって覆うことができるという点で，ユークリッ
ド空間と局所的に類似の空間である．この構造は微分を定義することを許すが，異な
る座標系を本質的に区別しない．そのため多様体の構造によって定義される概念は座
標系の選び方に独立なものしかない．我々は多様体の概念の緻密な形式化をいくつか
の予備的な定義ののちに与える．
10
第2章
微分幾何
Rn で n 次元ユークリッド空間を表すことにしよう．すなわち，n 個の成分を持つ
(−∞ < xi < ∞) 全体からなる集合で，通常の位相（開集
合と閉集合が通常の方法で定義される）を持つものとしよう．また， 21 Rn で Rn の下
順序対 (x1 , x2 , . . . , xn )
半分を表すものとしよう．すなわち，Rn の x1 ⩽ 0 の領域を表すものとする．開集
合 O ⊂ Rn （または 12 Rn ）から開集合 O ′ ⊂ Rm（または 12 Rm ）への写像 ϕ は，O ′ 内
の点 ϕ(p) の座標 (x′1 , x′2 , . . . , x′m ) が O の点 p の座標 (x1 , x2 , . . . , xn ) の r 回連続
微分可能関数（r 階微分が存在し連続）であるとき C r 級であると呼ばれる．もし写
像が任意の r ≥ 0 に対して C r 級であるとき，その写像は C ∞ 級であると呼ばれる．
C 0 級写像は連続写像を意味する．
Rn の開集合 O 上の関数 f はコンパクトな閉包を持つ各開集合 U ⊂ O に対して，
ある定数 K があって，各点 p, q ∈ U に対して，|f (p) − f (q)| ⩽ K|p − q| であると
き局所リプシッツ（Lipschitz）と呼ばれる．ここで |p| は
1
{(x1 (p))2 + (x2 (p))2 + · · · + (xn (p))2 } 2
を意味するものとする．写像 ϕ は ϕ(p) の座標が p の座標の局所リプシッツ関数であ
るとき局所リプシッツと呼ばれる．局所リプシッツ写像は C 1− 級と表す．同様に写
像 ϕ が C r−1 級であり，ϕ(p) の座標の (r − 1) 階導関数が p の座標の局所リプシッツ
関数であるとき C r− 級であると定義してもよい．以下では，通常 C r 級についての
み述べるが，同様の定義と結果は C r− 級についても成り立つ．
P を Rn （または 12 Rn ）の任意の集合とするとき，P から集合 P ′ ⊂ Rm（また
は 21 Rm ）への写像 ϕ は P を含む開集合 O から P ′ を含む開集合 O ′ へのある C r 級
写像の P から P ′ への制限となっているとき，C r 級写像であると呼ばれる．
M
Rn
ϕα (Uα ∩ Uβ )
ϕα (Uβ )
ϕα
Uα
ϕα (p)
−1
ϕα ◦ ϕ
β
p
ϕβ (Uα )
(Uα ∩ Uβ )
Uβ
ϕβ
ϕβ (p)
ϕβ (Uα ∩ Uβ )
図4
座標近傍 Uα と Uβ の共通部分において，座標は C r 級写像 ϕα ◦ ϕ−1
β で関
係づけられる．
2.1 多様体
11
C r 級 n 次元多様体 M は，集合 M が C r 級アトラス（atlas）{Uα , ϕα } と一緒に
なったものである．これはすなわち，U は M の部分集合で，ϕα は対応する Uα か
ら Rn の開集合への一対一写像であるチャート (Uα , ϕα ) の集まりとして，次を満た
すものである．
(1) Uα 全体は M を覆う．すなわち，M =
(2) Uα ∩ Uβ が空でないなら，写像
∪
Uα ．
α
ϕα ◦ ϕ−1
β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) → ϕα (Uα ∩ Uβ )
は Rn の開部分集合から Rn の開部分集合への C r 級写像である（図 4 を見よ）
．
各 Uα は写像 ϕα によって定義された局所座標 xa (a = 1, . . . , n) に関する局所座
標近傍である（つまり，p ∈ Uα ならば，p の座標は Rn における ϕα (p) の座標であ
る．）
．条件 (2) は 2 つの局所座標近傍の重なり合う部分では，片方の近傍の座標はも
う片方の近傍の座標の C r 級関数であり，かつその逆も成り立つという要求である．
与えられた C r 級アトラスに対して，別のアトラスがあって，それらの合併が全て
の M のための C r 級アトラスであるとき，このアトラスは与えられたアトラスに対
して互換性（compatible）があるという．与えられたアトラスに対して互換性のあ
る全てのアトラスからなるアトラスをその多様体の完全アトラスと呼ぶ．したがっ
て，完全アトラスは M を覆う全ての可能な座標系の集合である．
M の開集合が完全アトラスに属す Uα の形の集合の合併からなると述べることに
よって M の位相は定義される．この位相は各写像 ϕα を同相写像にするように働く．
境界のある C r 級可微分多様体は上で定義した Rn を
1 n
2R
で置き換えたもので
ある．すると，M の境界 ∂M は，M の写像 ϕα による像が Rn 内の
1 n
2R
の境界
に移されるような全ての点からなる集合として定義される．∂M は境界を持たない
(n − 1) 次元 C r 級多様体である．
これらの定義は必要とされるよりより複雑に見えるかもしれない．しかし，簡
単な例が一般には 2 つ以上の座標近傍が空間を記述するために必要であること
を示す．2 次元ユークリッド平面 R2 は明らかに多様体である．長方形状の座標
(x, y; −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞) は 1 つの座標近傍で平面全体を覆う．このと
き ϕ は恒等写像である．極座標 (r, θ) は座標近傍 (r > 0, 0 < θ < 2π) を覆う．R2
を覆うには少なくとも 2 つのそのような座標近傍が必要である．2 次元円筒 C 2 は点
(x, y) と (x + 2π, y) とを同一視することによって R2 から得られる多様体である．す
ると，(x, y) は近傍 (0 < x < 2π, −∞ < y < ∞) の座標であり，C 2 を覆うには少
なくとも 2 つのそのような座標近傍が必要である．メビウスの帯は似たような方法で
12
第2章
微分幾何
点 (x, y) と (x + 2π, −y) とを同一視することによって得られる多様体である．単位
2 次元球面 S 2 は式 (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 1 によって R3 の曲面として特徴付ける
ことができる．すると，
(x2 , x3 ; −1 < x2 < 1, −1 < x3 < 1)
は各領域 x1 > 0，x1 < 0 の座標であり，，この曲面を覆うには 6 つのそのような座
標近傍が必要である．実際，S 2 を単一の座標近傍で覆うことはできない．n 次元球
面 S n は Rn+1 の点集合
(x1 )2 + (x2 )2 + · · · + (xn+1 )2 = 1
によって同様に定義することができる．
多様体はその完全アトラスの中に，あるアトラスがあって，全ての空でない共通部
分 Uα ∩ Uβ に対して Uα と Uβ の座標 (x1 , . . . , xn ) および (x′1 , . . . , x′n ) に関する
ヤコビアン |∂xi /∂x′j | が（訳注：常に）正であるとき，向き付け可能であると呼ばれ
る．メビウスの帯は向き付け可能でない多様体の例である．
ここまでで与えた多様体の定義はとても一般的なものである．大抵の目的のために
次の 2 つの条件が課される．すなわち，M がハウスドルフであること，および M
がパラコンパクトであることであり，これらは適正な局所的挙動を確保する．
位相空間 M は次のハウスドルフ分離公理を満たすときハウスドルフ空間と呼ばれ
る．これは p，q を M 内の 2 つの異なる点とするとき M 内に互いに交わらない開
集合 U ，V があって，p ∈ U ，q ∈ V とできるとするものである．読者は多様体は
常にハウスドルフである必要があると思うかもしれない，しかしこれは事実ではな
い．たとえば，図 5 の状況を考えてみよう．2 つの直線上の点 b，b′ は xb = yb′ < 0
であるときに限り同一視するものとする．すると，各点は R1 の開部分集合に同相な
（座標）近傍に含まれる．しかし，a が点 x = 0，a′ が点 y = 0 であるとき，a ∈ U ，
a′ ∈ V であり，U と V の共通部分がないような開近傍 U ，V は存在しない．
b
a
(x = xb )
(x = 0)
x
b′
a′
(y = y ′ )
b
(y = 0)
y
図5
非ハウスドルフ多様体の例．上の 2 つの線は x = y < 0 に関して同一視さ
れる．しかし，2 点 a(x = 0I) と a′ (y = 0) は同一視されない．
2.1 多様体
13
アトラス {Uα , ϕα } は全ての p ∈ M が有限個の集合 Uα としか共通部分を持
たないような開近傍を持つとき局所有限であると呼ばれる．M は全てのアトラス
{Uα , ϕα } に対して，局所有限なアトラス {Vβ , ψβ } があって，各 Vβ はある Uα に含
まれるときパラコンパクトであるという．連結されたハウスドルフ多様体は可算個の
基底（すなわち開集合からなる可算個の集合が存在し，どんな開集合もこの集合の
要素の合併で表すことができる）を持つとき限りパラコンパクトである (Kobayashi
and Nomizu (1963),p.271)．
明記されないとき，全ての扱っている多様体は境界を持たないパラコンパクトな連
結 C ∞ 級ハウスドルフ多様体であるものとする．のちに明らかになるように，我々
が M にある付加的構造を課すとき（アフィン接続の存在，§2.4 を見よ），パラコン
パクト性の条件はそれ以外の制約より自動的に満たされる．
C k 級多様体 M 上の関数 f とは M から R1 への写像である．それは任意の局所
r
座標近傍 Uα 上の f に関する表式 f ◦ ϕ−1
α が点 p での局所座標の C 級関数であると
き，点 p で C r 級（r ⩽ k ）であると呼ばれる．そして f は M の集合 V 内の各点
p ∈ V で C r 級関数であるとき，集合 V 上の C r 級関数であると呼ばれる．
我々がのちに使うパラコンパクト多様体の性質は以下の通りである．パラコンパク
ト C k 級多様体上の与えられた任意の局所有限なアトラス {Uα , ϕα } に対して，C k
級関数 gα の集合が常に存在し (例えば，Kobayashi and Nomizu (1963),p.272 を見
よ)，次を満たす．
(1) 各 α に対し，M 上で 0 ⩽ gα ⩽ 1；
(2) gα の台，すなわち，集合 {p ∈ M : gα (p) ̸= 0} の閉包は対応する Uα に含ま
れる；
∑
(3) 全ての p ∈ M に対して，
gα (p) = 1．
α
そのような関数の集まりは 1 の分割 (partition of unity) と呼ばれる．この結果
は，特に C ∞ 級関数について正しい．しかし，解析関数については明らかに正しくな
い (解析関数は各点 p ∈ M のある近傍で収束冪級数で表すことができるので，全て
の開近傍でゼロならどこでもゼロである．)
最後に多様体 A , B の直積 A × B は多様体 A , B の構造によって自然に構造が
定まる多様体である．任意の点 p ∈ A , q ∈ B に対して，p, q それぞれを含む座標近
傍 U , V が存在して，点 (p, q) ∈ A × B は A × B の座標近傍 U × V に含まれる．
ここで，その座標 (xi , y i ) に対して，xi は U における p の座標で y j は V における
q の座標である．
14
第2章
微分幾何
2.2 ベクトルとテンソル
テンソル場は多様体の構造によって自然に定義される幾何学的物体の集まりであ
る．テンソル場は多様体の各点で定義されるテンソルと同値であるので，まずある点
でのベクトルに関する基礎概念から始めて，この多様体のある点でのテンソルを定義
しよう．
M の C k 級曲線 λ(t) とは，実数直線 R1 の区間から M への C k 級写像である．
C 曲線 λ(t) の点 λ(t0 ) で接するベクトル（反変ベクトル）(∂/∂t)λ |t0 は，各 C 1 関数
f の λ(t) の λ(t0 ) で数 (∂f /∂t)λ |t0 に写像する演算子である．すなわち，(∂f /∂t)λ
1
はパラメータ t に関する λ(t) の方向の f の導関数である．具体的に書けば，
(
∂f
∂t
) 1
= lim {f (λ(t + s)) − f (λ(t))}
s→0 s
λ
t
である．この曲線のパラメータ t は明らかに (∂/∂t)λ t = 1 に従う．
2.3 多様体間の写像
リー
2.4 外微分とLie微分
2.5 共変微分と曲率テンソル
メトリック
2.6
計量
2.7 超曲面
ガウス
2.8 体積要素とGaussの定理
束
2.9 ファイバーバンドル
(2.1)

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