RESOLUCION DE PROBLEMAS. DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.
PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y
VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS. ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
GUIÓN – ESQUEMA
I. INTRODUCIÓN
II. RESOLUCIÓN
EDUCATIVO
DE
PROBLEMAS:
CONCEPTO,
RELEVANCIA
Y
SENTIDO
II.A) Concepto de problema y de resolución de problemas. Diferencias entre ejercicio y
problema
II.B) Relevancia y sentido educativo de la resolución de problemas
III. CLASES DE PROBLEMAS
IV. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
V. PLANIFICACIÓN,
GESTIÓN
DE
LOS
RECURSOS,
INTERPRETACIÓN y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS.
V.A) Planificación
V.B) Gestión de los recursos, su representación e interpretación.
V.C) Valoración de los resultados.
VI. ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA
VII. COMENTARIOS FINALES
VIII. BIBLIOGRAFÍA
IX. REFERENCIAS LEGISLATIVAS.
X. REFERENCIAS WEB.
REPRESENTACIÓN,
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I. INTRODUCCIÓN
Según la LOE, la finalidad de la Educación Obligatoria es proporcionar a todos los niños/as una
educación que permita el desarrollo de las competencias básicas, afianzar su desarrollo personal,
adquirir las habilidades básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la
escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y
estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad (MEC, 2006).
Las Matemáticas constituyen un conjunto de conocimientos, técnicas y destrezas que son claves
para el desarrollo individual, sociocultural y científico, por lo que deben ocupar un lugar
destacado en procesos educativos orientados a proporcionar una eficaz alfabetización matemática
a todos los alumnos, entendida esta como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en
las que intervienen y tiene sentido utilizar los conceptos y procedimientos matemáticos.
Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad
matemática, por lo que deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático. La LOE
(MEC, 2006), en su artículo 17, dice: "Desarrollar las competencias matemáticas básicas e
iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales
de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones así como ser capaces de aplicarlos a las
situaciones de la vida cotidiana". Por su parte, la Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía
establece que: “la resolución de problemas debe entenderse como la esencia fundamental del
pensamiento y el saber matemático, y, en este sentido, ha de impregnar e inspirar todos los
conocimientos que se vayan construyendo en esta etapa educativa, considerándose como eje
vertebrador de todo el aprendizaje matemático y orientándose hacia la reflexión, el análisis, la
concienciación y la actitud crítica ante la realidad que nos rodea . .”. Por último, en la misma
Orden, se indica que la resolución de problemas debe ser un contenido relevante para la formación
matemática: “la resolución de problemas debe concebirse como un aspecto fundamental para el
desarrollo de las capacidades y competencias básicas en el Área de Matemáticas.. y .. es por ello
fundamental su incorporación sistemática y metodológica a los contenidos de dicha materia”.
II. RESOLUCIÓN
EDUCATIVO
DE
PROBLEMAS:
CONCEPTO,
RELEVANCIA
Y
SENTIDO
II.A) Concepto de problema y de resolución de problemas. Diferencias entre ejercicio y
problema
Un problema de matemáticas es una situación real o ficticia que puede tener interés por sí misma,
al margen del contexto, que involucra cierto grado de incertidumbre, implícito en lo que se conoce
como las preguntas del problema o la información desconocida, cuya clarificación requiere la
actividad mental y manifiesta de un sujeto, al que llamamos resolutor, a lo largo de un proceso,
también llamado resolución, en el que intervienen conocimientos matemáticos y se han de tomar
decisiones comprendiendo los errores y las limitaciones que dichas decisiones conllevan y que
finaliza cuando aquél encuentra la solución o respuesta a las preguntas o disminuye la
incertidumbre inicial y da por acabada la tarea (González, 1999)1.
La resolución de un problema de matemáticas verifica, entre otras, las siguientes condiciones:
- el resolutor se encuentra ante una situación nueva que acepta como un desafío o reto;
- el resolutor no sabe a priori cuál es la solución ni si tiene o no solución ni cómo llegar a ella;
- no se producen bloqueos ni abandonos que impidan la resolución, es decir, el resolutor confía en sus
capacidades y conocimientos y reconoce que el problema está a su altura (Puig y Cerdán, 1993);
- el proceso de resolución suele ser complejo y laborioso, a veces plagado de intentos
infructuosos, ante la inexistencia o el desconocimiento de un procedimiento sencillo;
1
Descripción actualizada de González, J. L. (1999). Proyecto Docente. Didáctica de la Matemática. UMA
González Marí, J. L.
Didactica de la Matemática
UMA
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- no estamos ante una “respuesta” a encontrar ni ante un destino al que llegar, sino ante un
proceso o un “viaje” que realizar (Grupo Cero, 1985). Con frecuencia se trata de encontrar
soluciones alternativas, fiables, eficaces y creativas a un mismo planteamiento.
Diferencias entre ejercicio y problema
La distinción entre ejercicio y problema, no siempre clara, es crucial en Educación Matemática
porque involucran actividades diferentes. Veamos a continuación las diferencias más importantes:
EJERCICIO
Tarea escolar
PROBLEMA
Tarea escolar o extraescolar
Tarea o situación que no se resuelve aplicando
Tarea de aplicación simple y directa de un
directamente una regla aprendida; hay que entender
conocimiento, procedimiento o técnica ya
el enunciado, organizar la información, seleccionar
disponible o sobre la que el alumno / resolutor se
los conocimientos matemáticos útiles, probar,
encuentra ya iniciado
aplicarlos adecuadamente y evaluar el proceso
Está más indicado hablar de ejecución o
Está más indicado hablar de resolución
realización
La resolución suele requerir una actividad cognitiva
La ejecución no suele implicar una actividad
compleja en la que intervienen conocimientos,
intensa de pensamiento
estrategias y técnicas, decisiones, imaginación,
concentración, autonomía, espíritu crítico, etc.
Actividad de aplicación mecánica y sistemática Actividad de aplicación funcional o “en contexto”
de un algoritmo o un concepto
del conocimiento matemático
La finalidad educativa es proporcionar
La finalidad educativa es la de entrenamiento y
experiencias sobre la utilidad y las aplicaciones del
consolidación de contenidos explicados,
conocimiento matemático, desarrollar las
aprendidos o en vías de aprendizaje y a veces de
competencias básicas y evaluar la disponibilidad del
evaluación o comprobación de su aprendizaje
conocimiento ante situaciones en las que es útil
El enunciado describe una situación compleja con
El enunciado es simple y directo; indica
aspectos indeterminados sin indicación a veces a
claramente cuál es la actividad a realizar:
conocimiento o proceso alguno.
“efectúa la siguiente suma . . “, ”encuentra una
Cuando no hay enunciado, la situación no indica la
fracción equivalente a . . “
actividad a realizar para despejar la incertidumbre
Es una tarea repetitiva, rutinaria, de resultados Siempre supone un reto, una actividad desconocida,
previsibles (aunque hay que saber cómo se hace)
apasionante y de resultados imprevisibles
Se realizan o completan en un tiempo corto
Suelen requerir más tiempo.
No se establecen lazos especiales entre el
Es más probable la implicación
ejercicio y la persona que lo realiza. Se suelen
emocional y, con frecuencia, vital, aunque también
realizar por meras exigencias curriculares
se resuelven por exigencias curriculares
Generalmente tienen solución única
Puede tener ninguna, una o más soluciones
Son muy numerosos en los libros. Constituyen el Los verdaderos problemas suelen ser escasos en los
grueso de las tareas escolares en Primaria
libros
II.B) Relevancia y sentido educativo de la resolución de problemas
Si tenemos en cuenta que “aprender matemáticas es hacer matemáticas” la resolución de
problemas de matemáticas es el campo por excelencia del aprendizaje matemático y debe
constituir una parte fundamental de la metodología de la enseñanza de esta materia. De hecho:
“En todos los niveles de la enseñanza de las matemáticas deberían incluirse oportunidades
para la resolución de problemas, incluida la aplicación de las matemáticas a situaciones de
la vida diaria” (Informe Cockroft (1982)).
La resolución de problemas es importante por su:
González Marí, J. L.
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valor instrumental: aprendizaje de contenidos relevantes del área. "La resolución de
problemas es una actividad de reconocimiento y aplicación de los conocimientos y las técnicas
trabajadas en clase y a la vez de acreditación de las técnicas aprendidas" (Vila, 2001);
valor utilitario o funcional: utilidad / aplicación en la vida, en el trabajo, etc., lo que
conduce a una comprensión más completa, ajustada y efectiva de la realidad involucrada;
valor formativo: procesos de pensamiento que ejercitan la mente en las cualidades propias
de las matemáticas, hundiendo sus raíces en el conocimiento matemático, desarrolla aspectos
internos como el esfuerzo y la concentración, el interés o el gusto por aceptar retos, y es
fundamental para seguir aprendiendo, puesto que: “…favorece que los estudiantes puedan
explorar, acomodarse a nuevas condiciones y crear conocimientos nuevos a lo largo de toda su
vida” (NCTM (2003)).
Con la resolución de problemas “bien elegidos”: adecuados al nivel (ni por encima ni por debajo),
motivantes (que inciten a experimentar y fomenten el gusto por la investigación y el
descubrimiento), accesibles (grado de dificultad apreciable y suficiente pero sin hacer imposible el
éxito), se promueve un aprendizaje relevante y de calidad con el que los alumnos conocen las
matemáticas, aprenden a pensar matemáticamente y experimentan su potencia y utilidad.
Fines de la resolución de problemas
La meta general de la resolución de problemas de matemáticas debe ser la de mejorar la confianza
del alumno en su propio pensamiento, potenciar las habilidades y capacidades para aprender,
comprender y aplicar las matemáticas, favorecer la consecución de un grado elevado de
autonomía intelectual que le permita continuar su proceso de formación y contribuir al desarrollo
de las competencias básicas y matemáticas específicas.
el Real Decreto 1513/2006 de 7 de diciembre (MEC, 2006), la Orden de 10 de agosto de 2007 de
la Junta de Andalucía y las más recientes reflexiones sobre el desarrollo de las competencias
básicas2 indican que la resolución de problemas debe contribuir al desarrollo de la:
- competencia matemática: comprender y dominar las estrategias y técnicas heurísticas
(comprender el enunciado, organizar la información, trazar un plan, ejecutar el plan,
comprobar, interpretar y analizar la solución obtenida, etc.)3; pensar y razonar (identificar
elementos, relacionar datos, inventar problemas); modelizar (traducir a términos
matemáticos, interpretar los resultados); representar datos; argumentar (justificar la solución
y su coherencia con la situación; comunicar utilizando términos matemáticos);
- competencia social y ciudadana y conocimiento del medio: introducir y aplicar los
contenidos matemáticos de forma contextualizada a problemas comunes y cotidianos y a
problemas reales relacionados con otras áreas (tanto estructurados cerrados (solución única)
como abiertos poco o nada estructurados (tal y como se presentan en la realidad))4, a través
de actividades interdisciplinares y globalizadas;
- fomentar la educación en valores y favorecer la consecución de un buen nivel de
autonomía e iniciativa personal (toma de decisiones, diseño y desarrollo de un plan de
actuación, entre otros) así como el desarrollo de habilidades y capacidades para aprender a
aprender (confianza en el propio pensamiento, trabajo en grupo, actitud crítica, curiosidad,
perseverancia, flexibilidad de pensamiento, discriminación y organización de la
información, entre otras);
- competencia lingüística: expresión oral y escrita, lectura comprensiva, formulación de
preguntas, interpretación y análisis de la información y los resultados, organización en
esquemas y resúmenes y la comunicación eficaz de los procesos y resultados obtenidos;
2
González, J. L. (2008). Competencias básicas en el Área de Matemáticas. Didáctica de la Matemática. UMA.
Núcleo de la competencia específica que se conoce como “Resolución de problemas”.
4
Lo encerrado entre paréntesis relativo al grado de estructuración es una nota añadida para clarificar los términos.
3
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Didactica de la Matemática
UMA
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- competencia digital: uso de herramientas auxiliares (ordenador, calculadoras, etc.)
III. CLASES DE PROBLEMAS
No existe un único criterio ni una sola clasificación de problemas de matemáticas. Existen
diferentes clasificaciones que pueden servir de ayuda para recordar la variedad de problemas que
debieran ser tratados en las aulas de Matemáticas de los distintos niveles educativos. Los criterios
y tipos más importantes son los siguientes.
CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN. Los problemas se pueden distinguir, entre otros, por:
Su ámbito o entorno en el que aparecen: escolares, no escolares (cotidianos, laborales, etc.)
Su estructuración (si está o no organizada la información, si es explícita, accesible, etc.):
desde nada o poco estructurados (en un extremo se encuentran los problemas de modelización
matemática (situaciones de la vida real) o los juegos) hasta muy estructurados (problemas de
enunciado verbal escolares con solución única (libros de texto)).
Su presentación: con enunciado verbal o sin enunciado verbal (problemas manipulativos con
un material didáctico o una situación cotidiana o una reflexión personal).
Los problemas de enunciado verbal, a su vez, se pueden distinguir por:
o Su estructura semántica: significados asociados al contexto a que se refiere el
enunciado: cambio, combinación, comparación, etc.
o Su estructura sintáctica: en el sentido gramatical (verbo, sujeto, etc.) y lógico del
enunciado.
Su solución: única, múltiple o sin solución
Su proceso de resolución:
o cerrados (proceso determinado y finito) y abiertos (proceso indeterminado o
indefinido o infinito (algunos problemas de investigación, los juegos de grupo));
o de una etapa o de varias etapas o de una o varias operaciones combinadas.
Otros: de investigación, aplicados, etc.
TIPOS MÁS FRECUENTES E IMPORTANTES
Problemas de enunciado verbal (los clásicos escolares)
En Primaria y Secundaria Obligatoria:
1) Problemas aritméticos: en su enunciado presentan datos numéricos y relaciones cuantitativas y
en su resolución se requiere la realización de operaciones aritméticas. Se incluyen aquí los
problemas de medidas y sobre el sistema métrico decimal.
1.1) 1° nivel: una sola operación: +, -, x, : Suma y resta:
- Cambio o transformación: (Tenía 17 €, me he gastado 5 € ¿cuánto me queda?);
- Combinación: (A una sesión de cine asistieron 153 personas. Si la sala tiene 170 butacas.
¿cuántos asientos estaban vacíos?);
- Comparación: (Juan tiene 15 cromos y Pedro 12 más que Juan. ¿ cuántos tiene?)
- Igualación: (Daniel tiene 56 libros y Alberto 25. ¿Cuántos libros le faltan a Alberto para
tener los mismos que Daniel?);
Multiplicación y división:
- Reparto equitativo: (Después de repartir una bolsa de caramelos entre 18 alumnos le ha
correspondido 8 caramelos a cada uno. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?);
- Comparación multiplicativa: (unos zapatos cuestan 72 €. Un balón cuesta 8 veces menos.
¿Cuánto cuesta el balón?);
Razón o tasa: (Por un jamón hemos pagado 152 €. Si el precio de esa clase de jamón es de
19 €/kg. ¿ cuántos kilos pesa el jamón que hemos comprado?);
González Marí, J. L.
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Producto cartesiano: (Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir de 24 formas
diferentes. Tengo 4 pantalones. ¿cuántas camisas tengo?).
1.2) 2° nivel: varias operaciones combinadas o de varias etapas.
Por la estructura del enunciado pueden ser: fraccionados (varias preguntas encadenadas) y
compactos (una pregunta al final del enunciado).
Por las operaciones que hay que realizar: combinados puros (todas las operaciones
pertenecen al mismo campo operativo (sumas - restas o multiplicación-división)); combinados
mixtos (operaciones diferentes: “En un almacén había 127 sacos de garbanzos. Cada uno pesaba
60 kilos. Se sacaron 8 carros de 12 sacos cada uno. ¿Cuántos kilos quedaron en el almacén?”).
1.3) 3° nivel: los datos del enunciado vienen dados en forma de números decimales,
fraccionarios o porcentajes. Ejemplo: Una pieza de 1/4 de kilo de solomillo de ternera cuesta 8
euros. ¿Cuánto pagaremos por 2 kilos de esa misma carne?.
2) Problemas geométricos: se trabajan contenidos y conceptos geométricos.
3) Problemas de azar y probabilidad: situaciones planteadas a través de registros en juegos de
azar, votaciones, fenómenos reales, frecuencias, etc.
Problemas de razonamiento lógico (con o sin enunciado verbal) Ej.: razonamiento inductivo (Ej.:
continúa la serie); Análisis de proposiciones: utilización precisa del lenguaje ("Si sumo dos
números impares el resultado es par" ¿verdadero?). Demostraciones y justificaciones.
Problemas manipulativos (material didáctico) (con o sin enunciado verbal)
Construcciones y problemas con material didáctico estructurado (regletas, ábacos, bloques,
tangrams, mosaicos, puzles, etc.).
Problemas ligados a juegos y pasatiempos (con o sin enunciado verbal). En su desarrollo
aparecen problemas y ejercicios mentales que favorecen la aplicación del conocimiento
matemático, la búsqueda de estrategias, estimulan la imaginación y desarrollan la inteligencia.
- Juegos individuales o de grupo (cartas, tiro al blanco, habilidad, Bingos, Juegos de tableros, etc.);
- Pasatiempos lógico-matemáticos: criptogramas, cuadrados mágicos, enigmas, sopas, etc.
Problemas de modelización matemática: Problemas del mundo real (con o sin enunciado verbal)
Situaciones de aplicación de la matemática a la realidad tal y como se presentan (sin preparar ni
estructurar) (Ej.: interpretar y comparar precios y ofertas; leer e interpretar tablas, contrastar
noticias, buscar información, indagar y probar (problemas de investigación), experimentar, etc.).
IV. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
No existe un método universal para resolver problemas de matemáticas, sino enfoques,
experiencias, estrategias y técnicas de resolución y orientaciones que pueden ayudar en dicha
tarea. Son especialmente útiles las etapas o fases y las herramientas y técnicas heurísticas que
establecen distintos autores. Veamos los enfoques más conocidos y utilizados.
ETAPAS / FASES
Polya (1945) y Echenique (2006) identifican las siguientes etapas5:
COMPRENSIÓN del problema: entender el texto y la situación a la que se refiere.
PLANIFICACIÓN o Concepción de un plan: se abordan cuestiones tales como: ¿para qué sirven
los datos que aparecen en el enunciado?, ¿qué puede calcularse a partir de ellos y en qué orden
hacerlo?.
EJECUCIÓN del plan: puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación.
5
Schoenfeld (1985) sustituye la etapa de comprensión por las de análisis y exploración.
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UMA
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VALORACIÓN de la respuesta y del proceso seguido: examen de la solución obtenida; reflexión
sobre posibles vías alternativas; análisis de las dificultades y bloqueos durante el proceso.
Barnsford y Stein (1984) proponen un método con 5 fases cuyas iniciales forman la palabra
IDEAL, especialmente útil para los problemas relacionados con situaciones reales (modelización):
I
Identificación
D
Definición y representación
E
Exploración de posibles estrategias
A
Actuación fundada en una estrategia
L
Logros. Observación y evaluación de los efectos de nuestras actividades.
Puig y Cerdán (1988) proponen las siguientes fases para la resolución de problemas aritméticos:
1) Lectura; 2) Comprensión; 3) Traducción; 4) Cálculo; 5) Solución; 6) Revisión y comprobación.
HERRAMIENTAS / TÉCNICAS HEURÍSTICAS
Coloquialmente se trata de modos de proceder, estrategias y acciones que pueden facilitar el
desarrollo de las distintas fases en la resolución de un problema.“La heurística es el estudio de los
modos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan, que son
independientes del contenido y que no suponen garantía de que se obtenga la solución” (Puig,
1993). Polya opina que se pueden plantear preguntas y sugerencias que ayuden al resolutor, como
por ejemplo: ¿te has encontrado con un problema semejante?, ¿se puede enunciar de otra forma?,
¿puedes imaginar un problema análogo más accesible?. Las más comunes son:
Para comprender el problema: Repetirlo en voz alta o explicárselo a otras personas; buscar
analogías o semejanzas (problema similar); buscar suposiciones ocultas; identificar objetivos y
subobjetivos; analizar las dificultades; representar y organizar la información;
Para representar y organizar la información: identificar y distinguir la información
(relevante, secundaria, innecesaria); codificar, representar y organizar la información (esquemas,
figuras, tablas, diagramas, notación adecuada, etc.); separar lo que se sabe de lo que no se sabe y
lo que hay que averiguar o pide el problema; construcción de modelos (manipulativos, otros).
Para planificar o idear un plan de resolución: explorar (estudiar casos particulares,
límite, especiales, etc.); generalizar (buscar pautas y regularidades); conjeturar y comprobar
(ensayo-error, suponer el problema resuelto y trabajar marcha atrás); experimentar; modificar el
problema (similar más sencillo, varios problemas más simples, particularizando, utilizando menor
número de datos, cambiando el enfoque, etc.); técnicas matemáticas usuales (contraejemplo,
reducción al absurdo, inducción matemática, etc.)
V. PLANIFICACIÓN,
GESTIÓN
DE
LOS
RECURSOS,
INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS
REPRESENTACIÓN,
La resolución de problemas es una competencia matemática específica que tiene, según la LOE,
las siguientes vertientes complementarias asociadas a su desarrollo: la planificación, la gestión de
los recursos, la representación y la interpretación y valoración de los resultados. Las cuatro están
relacionadas entre sí, con los métodos de resolución y con las técnicas heurísticas comunes.
V.A) Planificación
Conjunto de capacidades asociadas a la comprensión de la situación planteada para organizar,
trazar un plan, buscar estrategias y tomar decisiones. Se puede desglosar en cuatro bloques:
P.1) Análisis de la información disponible: necesidad, relevancia, datos superfluos, importantes,
¿faltan datos?, razonamientos parciales sobre los datos. Podemos distinguir aquí dos partes:
- Reflexiones sobre las posibilidades de la información disponible: ¿cómo se pueden
combinar?, ¿qué relaciones hay entre ellos?, ¿operaciones posibles?, ¿con sentido?, etc.
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- Reflexiones sobre las relaciones de los datos con las preguntas (análisis medios-fines):
¿cómo se puede responder a lo que pide el problema con la información que conocemos?
P.2) Organización de la información disponible: esquemas y diagramas con datos e incógnitas (lo
que se sabe – lo que no se sabe).
P.3) Exploración (técnicas de Schoenfeld): capacidades asociadas a examinar casos particulares,
examinar problemas equivalentes, modificar el problema.
P.4) Concebir y estructurar un plan de resolución: razonar con parte de los datos o con toda la
información, adelantar posibles resultados, probar estrategias o heurísticos (problemas auxiliares,
análogos, de atrás hacia adelante, etc.).
V.B) gestión de los recursos
El alumno ha de tener una serie de destrezas y conocimientos básicos previos para afrontar la
resolución de un problema y gestionar bien y de manera organizada dichos recursos a lo largo de
todo el proceso y no sólo en la fase de ejecución. Algunos de dichos recursos previos son:
lingüísticos (dominio gramatical, semántico, de estructura), matemáticos (operaciones, símbolos),
estratégicos y heurísticos (recordar un problema similar, comprobar, buscar analogías, etc.), etc.
Durante el proceso debe utilizar y controlar los siguientes recursos:
- Comprender / analizar: trabajo en grupo, habilidad para comunicar, para confrontar ideas,
leer en voz alta, etc.
- Concebir un plan: representaciones, dibujos y esquemas, uso de heurísticos, elección de
operaciones adecuadas, estimar, hacer pruebas, ensayo y error, decisiones sobre
instrumentos, medios y pasos a seguir.
- Ejecución del plan: operar y aplicar correctamente los instrumentos, organizar y escribir
correctamente los pasos y los resultados, recurrir a estrategias alternativas en caso necesario.
- Valoración del proceso: revisión del proceso completo, pertinencia del resultado y
coherencia el resto de aspectos, compara lo obtenido con lo esperado o estimado, pensar
sobre procesos alternativos, explorar otras posibilidades.
V.C) Representación
Las capacidades y destrezas relacionadas con la representación son:
- En la fase de comprensión: lectura comprensiva, representar mediante esquemas, palabras,
símbolos, etc.
- En la fase de planificación: esquemas, diagramas, dibujos, pasos a seguir, organizar y codificar
(notación, lenguaje, figuras, modelos, etc.).
- En la fase de ejecución: realizar y escribir cálculos y relaciones y estructurar pasos y resultados.
- En la fase de valoración: repetir los pasos contando con las soluciones encontradas, reflexionar
mediante un esquema del proceso seguido, utilizar otros datos y comprobar si hay más resultados.
V.D) Interpretación y valoración global de los resultados
- Comprobación de la bondad de la respuesta y la coherencia de todo el proceso: ¿es lógica la
historia completa?, ¿es el resultado compatible con el enunciado?, comparación situación inicial –
final, sustituir el resultado en el enunciado: ¿es coherente la historia?, etc.
- Análisis de procedimientos y resultados alternativos: ¿se podría haber resuelto de otra manera?,
¿existen más soluciones?, etc.
- Análisis de dificultades: ¿se han producido atascos?, ¿inconvenientes y soluciones?
VI. ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA
A las preguntas: ¿se puede mejorar la capacidad de resolver problemas de todos los alumnos?,
¿cómo?, o lo que es lo mismo: ¿qué se puede hacer para enseñar a resolver problemas?. En
principio se puede responder que se aprende a resolver problemas resolviendo problemas
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mediante un proceso de aprendizaje activo donde el alumno es el protagonista. Es necesario, por
tanto, dedicar una parte apreciable y fija del horario escolar a la resolución de problemas.
Por su parte, la Orden de 10 de agosto de 2007 de la Junta de Andalucía hace las siguientes
indicaciones sobre la metodología a seguir:
- se deben utilizar como recursos habituales los juegos y pasatiempos matemáticos así como
materiales manipulativos e informáticos potenciándose el trabajo en el taller o laboratorio de
matemáticas;
- se debe pasar de situaciones y problemas sencillos en los dos primeros ciclos, relacionados con
el entorno inmediato, a situaciones y problemas más complejos en el tercer ciclo;
- se graduarán los problemas pasando de una etapa a dos y tres etapas y se graduarán también
teniendo en cuenta las diferentes categorías semánticas en función de su dificultad.
Nosotros añadimos las siguientes consideraciones fundadas en los apartados anteriores:
Orientaciones generales
- Se debe procurar que los aprendizajes sean significativos a partir de la acción y la reflexión en
experiencias matemáticas estimulantes y adecuadas a cada nivel de desarrollo.
- Crear un ambiente de trabajo que favorezca el proceso de enseñanza y aprendizaje, que sea
intelectualmente estimulante y que promueva la investigación, la experimentación, el diálogo y el
planteamiento de dudas (el aula como laboratorio de matemáticas).
Orientaciones específicas
- FORMACIÓN: Facilitar la adquisición de estrategias, modelos, técnicas y hábitos mentales
adecuados para ser buenos resolutores de problemas. Para ello, se debe:
- Centrar la atención en el proceso y no en el resultado y fomentar una actitud positiva ante la
resolución y una progresiva confianza en el propio pensamiento;
- Enseñar y trabajar las estrategias y herramientas heurísticas mencionadas en el apartado IV;
- Enseñar y practicar los pasos o fases de resolución mencionados en el apartado V;
- SITUACIONES: Se han de proponer problemas sobre situaciones que tengan significado para
los alumnos/as (relacionados con su entorno y su vida cotidiana o que despierten su interés). Ello
se consigue mediante las cuatro tipologías de problemas siguientes graduados en dificultad: PEV
(enunciado verbal), realidad/modelización, juegos y pasatiempos, manipulativos (materiales y
recursos).
- MÉTODOLOGÍA: El alumno debe ser el protagonista y colaborador con sus compañeros. Al
comienzo, se trabajará de manera oral y por parejas o en pequeño grupo fomentando la
comunicación y la expresión. Poco a poco se irá dando entrada al trabajo individual y a la lectura
y escritura sobre fichas.
- PAPEL DEL PROFESOR: proponer problemas interesantes y potentes, permitir elegir e
inventar problemas, ayudar en el análisis, en la superación del miedo, proponer desafíos, animar
a colaborar y comunicar, motivar y reconocer méritos, favorecer el análisis previo, la reflexión,
mirar atrás, animar al autocontrol y la autoevaluación, evitar estereotipos (la respuesta es lo
importante, se aprende memorizando y practicando técnicas, etc.).
Criterios de valoración de los aprendizajes
En la evaluación se tendrán en cuenta: la lectura comprensiva del enunciado, la formulación e
interpretación de los datos, la estrategia o plan a seguir, la ejecución del plan y la realización de
las operaciones, la validación de los resultados y la claridad de las explicaciones.
VII. COMENTARIOS FINALES
La resolución de problemas, los significados del lenguaje matemático, el modo de hacer
conjeturas y razonamientos, capacitará a los alumnos/as para analizar la realidad, utilizar las
matemáticas y los modos de pensar matemáticamente en sus vidas, producir ideas y conocimientos
nuevos, entender situaciones nuevas y acomodarse a contextos cambiantes. La modelización
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matemática y la resolución de problemas en definitiva, como núcleo de la experiencia matemática,
son la clave del desarrollo de la competencia matemática.
El reto en el área de Matemáticas consistirá más que en enseñar al alumnado a resolver problemas,
en enseñarles a pensar matemáticamente: abstraer y aplicar ideas matemáticas en un amplio
abanico de situaciones, desarrollar las competencias básicas y matemáticas específicas e iniciarse
en la resolución de problemas como fundamento para una formación personal, laboral y social de
calidad y como garantía para el desarrollo de la autonomía e iniciativa personal y la continuación
independiente del proceso permanente de aprendizaje. Se trata, evidentemente, de un proceso lento
cuyos resultados se irán viendo de forma progresiva a lo largo de la Educación Primaria y
Secundaria Obligatoria.
VIII. BIBLIOGRAFIA
- Bermejo (2004) "Como enseñar matemáticas para aprender mejor". Madrid: CCS.
- Chamorro, C (2003) "Didáctica de la matemática para primaria". Madrid: Pearson.
- Cockcroft, W.H. (1982).- Las matemáticas sí cuentan. MEC. Madrid.
- Echenique, I (2006) "Matemáticas: resolución de problemas". Navarra: Departamento de
Educación.
- NCTM (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática. Traducción de SAEM
THALES
- Polya, G (1995) "Cómo plantear y resolver problemas". México: Trillas.
- Puig y Cerdán (1988) “Problemas aritméticos escolares”. Madrid: Síntesis.
- VV.AA. (1996) "La resolución de problemas". Barcelona: Graó
IX. REFERENCIAS LEGISLATIVAS
JUNTA DE ANDALUCÍA:
Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía
Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación. Junta de Andalucía.
MEC:
Real Decreto 1513/2006 de 7 de diciembre (MEC, 2006), por el que se establecen las enseñanzas
mínimas de Educación Primaria; Real Decreto 1621/2006 sobre Educación Secundaria
Obligatoria.
Ley Orgánica de Educación 2/2006 de 3 de mayo (LOE). MEC
Decretos 230 y 231 de 2007, de 31 de julio, sobre ordenación y enseñanzas correspondientes a la
Educación Primaria y Secundaria Obligatoria.
X. REFERENCIAS WEB
- matematicas.net/ (Página para la exposición de recursos matemáticos sirviendo de punto de
unión entre profesores)
- Thesaurus.maths.org (Enciclopedia de Matemáticas con numerosos enlaces)
- Wikipedia.org/wiki/Matem% (Enciclopedia digital sobre matemáticas con numerosos enlaces).
- www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/
- http://www.telefonica.net/web2/trescriaturas/MIWEBQUEST/rpa.htm
- 395000 referencias con la búsqueda “resolución de problemas de matemáticas”
González Marí, J. L.
Didactica de la Matemática
UMA
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