Analysis 1 für das Informatikstudium Sommersemester 2016 Schüth

Analysis 1 für das Informatikstudium
Sommersemester 2016
Schüth
Übungsblatt 1
Abgabe am 3.5.2016 zu Beginn der Vorlesung
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Abgabe einzeln oder in Zweierteams!
Bitte verschiedene Aufgaben getrennt abgeben! Pro einzelner Aufgabe Blätter tackern!
Bitte die Namen (Zweierteam: beide!) zu jeder Aufgabe oben angeben!
Bitte auch Rückgabe-Übungsgruppe oben angeben: “Gruppe x” mit x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}!
Aufgabe 1.
(6 Punkte)
Seien x, y, z, w ∈ R und y 6= 0, w 6= 0. Beweisen Sie die folgenden Aussagen; benutzen Sie
dabei nur die Axiome (K1)–(K5) und die in der Vorlesung daraus gezogenen Folgerungen,
und machen Sie in jedem Schritt kenntlich, was Sie benutzen:
z
x
=
genau dann, wenn xw = yz.
(a)
y
w
(Erinnerung: xy ist nur eine abkürzende Schreibweise für x · y −1 .)
xw
x
(b)
=
(Tipp: (a))
yw
y
z
xw + yz
x
+ =
(Tipp: (b))
(c)
y
w
yw
Aufgabe 2.
(6 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen; machen Sie dabei in den Teilen (a) und (b) jeweils
kenntlich, wo Sie die Anordnungsaxiome (A1), (A2) oder aus den Anordnungsaxiomen in
der Vorlesung gezogene Folgerungen benutzen:
x2 + y 2
(a) Für alle x, y ∈ R>0 mit x 6= y gilt
> xy. (Tipp: (x − y)2 )
2
x y
+ ≥ 2. (Tipp: (a))
(b) Für alle x, y ∈ R>0 gilt
y
x
(c) Für alle n ∈ N und alle x1 , . . . , xn > 0 gilt (x1 + . . . + xn ) · ( x11 + . . . + x1n ) ≥ n2 .
(Tipp: (b))
(Im Gegensatz zu Aufgabe 1 wird in dieser Aufgabe nicht mehr die Rechtfertigung derjenigen Umformungen verlangt, die mit den Körperaxiomen (K1)–(K5) oder daraus gezogenen
Folgerungen zu begründen wären.)
Aufgabe 3.
(6 Punkte)
Beweisen Sie:
(a) Wenn M und M̃ nichtleere abzählbare Mengen sind, dann ist auch die Produktmenge
M × M̃ (bestehend aus den Paaren (x, x̃) mit x ∈ M , x̃ ∈ M̃ ) abzählbar.
(b) Wenn A eine nichtleere abzählbare Menge ist, und wenn zu jedem S
α ∈ A eine nichtleere
abzählbare Menge Mα gegeben ist, dann ist auch die Vereinigung α∈A Mα abzählbar.
(Erinnerung: In der Vorlesung wurde definiert: Eine nichtleere Menge M heißt abzählbar,
wenn eine surjektive Abbildung f : N → M existiert; in diesem Fall nennen wir x1 , x2 , x3 , . . .
mit xk := f (k) eine Abzählung von M .
Tipp: Verwenden Sie den Trick zum Beweis der Abzählbarkeit von Q aus der Vorlesung.)

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