4. Übungsblatt

4. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
(SS 2016)
Aufgabe 10. (6 Punkte) (Teilbarkeit durch 7)
P
P
Sei n = ki=0 ai 10i = `j=0 bj 1000j ∈ N (mit 0 ≤ ai ≤ 9, 0 ≤ bj ≤ 999). Zeigen Sie:
(a) n ist durch 7 teilbar genau dann wenn ihre gewichtete Quersumme Qw (n) =
7 teilbar ist, wobei die Gewichte wj gegeben sind durch
j
Pk
j=0 aj wj
(mod 6) 0 1 2 3
4
5
wi
1 3 2 −1 −3 −2
(b) n ist durch 7 teilbar genau dann wenn ihre alternierende 3-Quersumme Q03 (n) =
durch 7 teilbar ist.
(c) n ≡ Q03 (n) ≡ Qw (n)
durch
P`
j
j=0 (−1) bj
(mod 7).
(d) n ist durch 37 teilbar genau dann wenn ihre 3-Quersumme Q03 (n) =
ist.
P`
j=0 bj
durch 37 teilbar
(e) Ähnliche Teilbarkeitsregeln gibt es für jede beliebige Zahl (anstelle von 7 oder 37).
Aufgabe 11.
(6 Punkte) (Lineare Kongruenzen)
(a) Bestimmen Sie alle a ∈ Z mit a ≡ 2
(mod 5), a ≡ 5
(b) Bestimmen Sie alle a ∈ Z mit a ≡ 7
(mod 15), a ≡ 2
(c) Bestimmen Sie alle f ∈ Q[x] mit f ≡ x2 + x + 1
und f ≡ −x + 4 (mod x2 − x).
(mod 8), und a ≡ 17
(mod 28).
(mod 7), und a ≡ −1
(mod x2 − 1), f ≡ 3x + 4
(mod 6).
(mod x2 + x),
Aufgabe 12. (4 Punkte) (ISBN Code)
Bis 2006 bestand der ISBN Code aus 9 Ziffern a1 , . . . , a9 ∈ {0, . . . , 9} und einem 10. Symbol a10 ∈
P
{0, . . . , 9, X} (X steht für 10) so dass 10
j=1 jaj ≡ 0 (mod 11) gilt. Zeigen Sie
(a) Hat man 9 der 10 Symbole eines ISBN Codes, so kann man das 10te berechnen, wenn man
weiss, an welcher Stelle es fehlt.
(b) Vertauscht man 2 unterschiedliche Ziffern im ISBN Code, so ist die Prüfsummenbedingung
nicht mehr erfüllt.
(c) Finden Sie zwei verschiedene gültige ISBN Codes, so dass nach Vertauschen von 2 Ziffern jeder
die gleiche ungültige Prüfsumme liefert.
(d) 2007 wurde auf ein System mit 13 Ziffern umgestellt (ISBN-13), die 13. Ziffer a13 ist wieder
die Prüfziffer ∈ {0, . . . , 9} mit
a13 +
6
X
(a2j−1 + 3a2j ) ≡ 0
(mod 10).
j=1
Welche Vor- und Nachteile hat das neue System ?
Abgabe: Montag, den 09.05.2016, vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal IV.

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