年 番号
1
¡
!
¡
!
¡
!
大きさ 1 のベクトル a と， 0 でないベクトル b のなす角を µ とする．
(1)
(2)
2
¡
!
¡
!
¡
!
3 a + t b が最小となるような実数 t の値を j b j，µ を用いて表しなさい．
p
¡
!
¡
!
¡
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1
3 a + t b は t = ¡ のとき最小値 2 2 をとる．j b j および cos µ の値を求めなさい．
2
（ 大分大学 2016 ）
氏名
a を 0 でない実数とする．2 つの放物線 y = x2 ，y = ¡x2 + 2ax +
1
がある．
2a2
(1) 2 つの放物線は異なる 2 点で交わることを示しなさい．
(2) 2 つの放物線の交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とするとき，¯ ¡ ® を a の式で表しなさい．
(3) 2 つの放物線で囲まれた部分の面積 S を a の式で表しなさい．
(4) (3) で定めた面積 S の最小値を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
3
A と B の 2 つの箱がある．箱 A には，赤玉が 1 個，青玉が 4 個，黄玉が 5 個入っている．箱 B
4
2 つの曲線 y = x + 2 cos x #
でできる曲線を C とする．
には，当たりくじが 3 本，はずれくじが 7 本入っている．
箱 A から玉を 1 つ取り出し，それが赤玉のときは箱 B からくじを 5 本，青玉のときは 3 本，黄
玉のときは 2 本引くとする．
3
¼
3
¼
5x5
¼; と y = x ¡ 2 cos x #
5x5
¼; をつない
2
2
2
2
(1) 曲線 C の概形を図示しなさい．
(2) k を実数とする．曲線 C と直線 y = k が異なる 2 点で交わるための k の値の範囲を求めなさい．
(3) 曲線 C で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めなさい．
(1) 青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい．
(2) 当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
(3) 当たりくじをちょうど 1 本引く確率を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
5
¡
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¡
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¡
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大きさ 1 のベクトル a と， 0 でないベクトル b のなす角を µ とする．
(1)
(2)
6
¡
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¡
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¡
!
3 a + t b が最小となるような実数 t の値を j b j，µ を用いて表しなさい．
p
¡
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¡
!
¡
!
1
3 a + t b は t = ¡ のとき最小値 2 2 をとる．j b j および cos µ の値を求めなさい．
2
（ 大分大学 2016 ）
a を 0 でない実数とする．2 つの放物線 y = x2 ，y = ¡x2 + 2ax +
1
がある．
2a2
(1) 2 つの放物線は異なる 2 点で交わることを示しなさい．
(2) 2 つの放物線の交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とするとき，¯ ¡ ® を a の式で表しなさい．
(3) 2 つの放物線で囲まれた部分の面積 S を a の式で表しなさい．
(4) (3) で定めた面積 S の最小値を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
7
A と B の 2 つの箱がある．箱 A には，赤玉が 1 個，青玉が 4 個，黄玉が 5 個入っている．箱 B
には，当たりくじが 3 本，はずれくじが 7 本入っている．
8
初項 3 の数列 fan g がある．bn = an+1 ¡ 3an とするとき，数列 fbn g は初項 6，公比 3 の等比数
列である．
箱 A から玉を 1 つ取り出し，それが赤玉のときは箱 B からくじを 5 本，青玉のときは 3 本，黄
玉のときは 2 本引くとする．
(1) 青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい．
an
とするとき，cn+1 ¡ cn を求めなさい．
3n
(2) an を n の式で表しなさい．
n
P
(3) Sn =
ak とするとき，Sn を n の式で表しなさい．
(1) cn =
k=1
(2) 当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
(3) 当たりくじをちょうど 1 本引く確率を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
9
¡
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¡
!
¡
!
大きさ 1 のベクトル a と， 0 でないベクトル b のなす角を µ とする．
(1)
(2)
10 a を 0 でない実数とする．2 つの放物線 y = x2 ，y = ¡x2 + 2ax +
¡
!
¡
!
¡
!
3 a + t b が最小となるような実数 t の値を j b j，µ を用いて表しなさい．
p
¡
!
¡
!
¡
!
1
3 a + t b は t = ¡ のとき最小値 2 2 をとる．j b j および cos µ の値を求めなさい．
2
（ 大分大学 2016 ）
1
がある．
2a2
(1) 2 つの放物線は異なる 2 点で交わることを示しなさい．
(2) 2 つの放物線の交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とするとき，¯ ¡ ® を a の式で表しなさい．
(3) 2 つの放物線で囲まれた部分の面積 S を a の式で表しなさい．
(4) (3) で定めた面積 S の最小値を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
11 A と B の 2 つの箱がある．箱 A には，赤玉が 1 個，青玉が 4 個，黄玉が 5 個入っている．箱 B
12 0 でない実数 r が r < 1 のとき，以下の問いに答えなさい．ただし ，自然数 n に対し て
lim nrn = 0， lim n(n ¡ 1)rn = 0 である．
には，当たりくじが 3 本，はずれくじが 7 本入っている．
n!1
箱 A から玉を 1 つ取り出し，それが赤玉のときは箱 B からくじを 5 本，青玉のときは 3 本，黄
n!1
(1) Rn =
玉のときは 2 本引くとする．
(2) Tn =
(1) 青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい．
(3)
(2) 当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい．
1
P
n
P
k=0
n
P
k=0
rk と Sn =
n
P
krk¡1 を求めなさい．
k=0
k(k ¡ 1)rk¡2 を求めなさい．
k2 rk を求めなさい．
k=0
（ 大分大学 2016 ）
(3) 当たりくじをちょうど 1 本引く確率を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
13 自然数 n に対して関数 y = 2nx ¡ x2 のグラフと x 軸で囲まれた領域（ 境界線を含む）Rn を考
える．以下の問いに答えなさい．
(1) 領域 Rn に含まれる格子点（ x 座標と y 座標がともに整数である点）の数 Sn を求めなさい．
(2) 点 A(0; 0)，B(2n; 0)，および関数 y の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（ 境界線を含む）に
含まれる格子点の数 Tn を求めなさい．
Tn
(3) lim
を求めなさい．
n!1 Sn
a
の円 C2 が内接しながらすべることなく回転
4
する．円 C2 上の点 P は最初に点 A(a; 0) にあるとする．円 C2 の中心を B とするとき，以下の
14 中心が原点 O で半径が a の定円 C1 上を，半径
問いに答えなさい．
¡
!
(1) ÎAOB = µ とする．BP を a; µ で表しなさい．
¡!
(2) OP を a; µ で表しなさい．
(3) 0 5 µ 5 2¼ のとき，動点 P が移動する距離を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
（ 大分大学 2016 ）

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