LAP IT-Techniker und IT-Informatiker Winkelfunktionen Winkelfunktionen • Körper • Winkelarten • Satz des Pythagoras • Formeln (Grundformel / Sinussatz / Kosinussatz) • Umfang / Fläche / Volumen Mathematik - Winkelfunktionen 2 Körper und Winkel Geometrie in der Ebene Geometrische Körper im Raum Mathematik - Winkelfunktionen 3 Winkel Mathematik - Winkelfunktionen 4 Winkelarten Mathematik - Winkelfunktionen 5 Dreiecksarten Mathematik - Winkelfunktionen 6 Winkelsummen Mathematik - Winkelfunktionen 7 Rechteck berechnen Mathematik - Winkelfunktionen 8 Umfang und Fläche Rechteck • Beispiel: a = 10 cm, b =5 cm • Umfang (U) = a+b+c+d oder 2*a + 2*b • Lösung: U = 2 · 10 cm + 2 · 5 cm = 20 cm + 10 cm = 30 cm • Beispiel: a = 5 cm, b = 3 cm • Fläche (A) = a * b • Lösung: A = 5 cm · 3 cm = 15 cm2 Mathematik - Winkelfunktionen 9 Dreieck berechnen S12 A= 𝑎∗ℎ(𝑎) 2 = 𝑏∗ℎ(𝑏) 2 = 𝑐∗ℎ(𝑐) 2 Es müssen mind. 2 Elemente gegeben sein um die restlichen Elemente zu berechnen. Mathematik - Winkelfunktionen 10 Dreieck berechnen Umformungen = arctan = arcsin = arccos Mathematik - Winkelfunktionen 11 Umfang und Fläche Dreieck • Beispiel: a = 3 cm, b =2 cm, c = 5 cm • Umfang (U) = a+b+c • Lösung: U = 3 cm + 2 cm + 5 cm= 10 cm • Beispiel: a = 3 cm, h = 5 cm • Fläche (A) = 𝑎∗ℎ 2 • Lösung: A = 0,5 · 3 cm · 5 cm = 7,5 cm2 Mathematik - Winkelfunktionen 12 Satz des Pythagoras / Hypotenusensatz • Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras) • Bestimmt die Längen eines rechtwinkligen Dreiecks • c² = a² + b² • "a" ist die Länge der Kathete a • "b" ist die Länge der Kathete b • "c" ist die Länge der Hypotenuse Es müssen zwei Seiten gegeben sein um die dritte Seite zu berechnen. Mathematik - Winkelfunktionen b 13 Pythagoras Beispiel • a = 3cm, b = 2cm, c = ? • Lösung: (3cm)2 + (2cm)2 = c2 • 9cm2 + 4cm2 = c2 • a = 5cm, c = 10cm, b = ? • Lösung: (5cm)2 + b2 = (10cm)2 • 25cm2 + b2 = 100cm2 • 13𝑐𝑚² = c2 • c = 3,6cm • b2 = 75𝑐𝑚² • b = 8.66cm Mathematik - Winkelfunktionen 14 Summensätze S 13 Es müssen mind. 3 Elemente davon mind. 1 Seite gegeben sein um die restlichen Elemente zu berechnen. Sinussatz: • 𝑎 𝑏 = sin 𝛼 sin 𝛽 = 𝑐 sin 𝛾 Cosinussatz: • 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 • 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽 • 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 Es müssen mind. 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sein um die restlichen Elemente zu berechnen. Mathematik - Winkelfunktionen 15 Sinussatz Beispiel • Bekannt seien die Längen a = 5 cm, b = 4 cm und der Winkel α = 70 Grad. Der Winkel β soll berechnet werden. • Lösung: Wir entnehmen dem Text die Angaben und setzen diese in die Formel ein Mathematik - Winkelfunktionen 16 Cosinussatz Beispiel • Gegeben sei a = 11, b = 10 und c = 13. Berechnet werden soll der Winkel α. • Lösung: Wir entnehmen dem Text die Angaben und setzen diese in die Formel ein Mathematik - Winkelfunktionen 17 Übung zu Gleichungen Beispiele siehe Angaben Zettel Mathematik - Winkelfunktionen 18 Gleichungen Beispiele http://www.mathepower.com/rechtw.php Formelheft: Seite 8-9 und 12-13 http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/dreiecke/flaecheumfang/umfang-dreieck.html http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/dreiecke/formelsammlung-dreieck.html http://www.mathepower.com/rechteck.php Winkelfunktionen Übungen Mathematik - Winkelfunktionen 19
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