rechtwinkligen Dreiecks - HOCHL-it

LAP IT-Techniker und IT-Informatiker
Winkelfunktionen
Winkelfunktionen
• Körper
• Winkelarten
• Satz des Pythagoras
• Formeln (Grundformel / Sinussatz / Kosinussatz)
• Umfang / Fläche / Volumen
Mathematik - Winkelfunktionen
2
Körper und Winkel
Geometrie in der Ebene
Geometrische Körper im Raum
Mathematik - Winkelfunktionen
3
Winkel
Mathematik - Winkelfunktionen
4
Winkelarten
Mathematik - Winkelfunktionen
5
Dreiecksarten
Mathematik - Winkelfunktionen
6
Winkelsummen
Mathematik - Winkelfunktionen
7
Rechteck berechnen
Mathematik - Winkelfunktionen
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Umfang und Fläche Rechteck
• Beispiel: a = 10 cm, b =5 cm
• Umfang (U) = a+b+c+d oder 2*a + 2*b
• Lösung: U = 2 · 10 cm + 2 · 5 cm = 20 cm + 10 cm = 30 cm
• Beispiel: a = 5 cm, b = 3 cm
• Fläche (A) = a * b
• Lösung: A = 5 cm · 3 cm = 15 cm2
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Dreieck berechnen S12
A=
𝑎∗ℎ(𝑎)
2
=
𝑏∗ℎ(𝑏)
2
=
𝑐∗ℎ(𝑐)
2
Es müssen mind. 2 Elemente
gegeben sein um die
restlichen Elemente zu
berechnen.
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Dreieck berechnen Umformungen
= arctan
= arcsin
= arccos
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Umfang und Fläche Dreieck
• Beispiel: a = 3 cm, b =2 cm, c = 5 cm
• Umfang (U) = a+b+c
• Lösung: U = 3 cm + 2 cm + 5 cm= 10 cm
• Beispiel: a = 3 cm, h = 5 cm
• Fläche (A) =
𝑎∗ℎ
2
• Lösung: A = 0,5 · 3 cm · 5 cm = 7,5 cm2
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Satz des Pythagoras / Hypotenusensatz
• Hypotenusensatz (Satz des
Pythagoras)
• Bestimmt die Längen eines
rechtwinkligen Dreiecks
• c² = a² + b²
• "a" ist die Länge der Kathete a
• "b" ist die Länge der Kathete b
• "c" ist die Länge der Hypotenuse
Es müssen zwei Seiten
gegeben sein um die dritte
Seite zu berechnen.
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b
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Pythagoras Beispiel
• a = 3cm, b = 2cm, c = ?
• Lösung: (3cm)2 + (2cm)2 = c2
• 9cm2 + 4cm2 = c2
• a = 5cm, c = 10cm, b = ?
• Lösung: (5cm)2 + b2 = (10cm)2
• 25cm2 + b2 = 100cm2
• 13𝑐𝑚² = c2
• c = 3,6cm
• b2 = 75𝑐𝑚²
• b = 8.66cm
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Summensätze S 13
Es müssen mind. 3 Elemente
davon mind. 1 Seite gegeben
sein um die restlichen
Elemente zu berechnen.
Sinussatz:
•
𝑎
𝑏
=
sin 𝛼 sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
Cosinussatz:
• 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼
• 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽
• 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾
Es müssen mind. 2 Seiten und
der eingeschlossene Winkel
gegeben sein um die restlichen
Elemente zu berechnen.
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Sinussatz Beispiel
• Bekannt seien die Längen a = 5 cm, b = 4
cm und der Winkel α = 70 Grad. Der
Winkel β soll berechnet werden.
• Lösung: Wir entnehmen dem Text die
Angaben und setzen diese in die Formel
ein
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Cosinussatz Beispiel
• Gegeben sei a = 11, b = 10 und c = 13.
Berechnet werden soll der Winkel α.
• Lösung: Wir entnehmen dem Text die
Angaben und setzen diese in die Formel
ein
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Übung zu Gleichungen
Beispiele siehe Angaben Zettel
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Gleichungen Beispiele
http://www.mathepower.com/rechtw.php
Formelheft: Seite 8-9 und 12-13
http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/dreiecke/flaecheumfang/umfang-dreieck.html
http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/dreiecke/formelsammlung-dreieck.html
http://www.mathepower.com/rechteck.php
Winkelfunktionen Übungen
Mathematik - Winkelfunktionen
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