Die Fibonacci-Folge und der goldene Schnitt

Die Bienen und der goldene Schnitt
Schlagwörter: Fibonacci, goldener Schnitt,
vollständige Induktion
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Die Fibonacci-Folge und der goldene Schnitt treten in der Natur sehr häufig
auf und wurden erstmals von dem Italiener Leonardo Pisano, auch genannt
Fibonacci, im 13. Jahrhundert angewandt.
Er wollte damit die durch Paarung stetig wachsende Anzahl von Kaninchen
beschreiben. Er ging davon aus, dass jedes Kaninchen eine bestimmte Zeit
braucht, um geschlechtsreif zu werden; beispielsweise zwei Monate. Einmal
im fortpflanzungsfähigen Alter angekommen, kann es jeden Monat
Nachkommen werfen. Besser funktioniert die Fibonaccireihe allerdings
für Kaninchenpaare, und auch nur unter der Annahme, dass alle Kaninchen
ewig leben.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Die rekursive Folge der Fibonaccizahlen für jedes n ∈ ℕ wird formell definiert
als:
für alle n ∈ ℕ:
f(n+2) = f(n+1) + f(n) (*) wobei f1=1 und f2=1 vorgegeben
Die ersten Folgeglieder sind also
f 1=1,
,f2=1,
f3 = 2,
,f 4 = 3,
,f5 = 5,
,f6 = 8,
,f7 = 13,
usw….
Aufgabe 1:
Berechne die Folgeglieder f10, f15 und f20 mithilfe der rekursiven Formel (*).
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 1:
f 8 = f 6+ f 7 = 8 + 13 = 21
f15= f 13+ f 14 = 233 + 377 = 610
f9 = f 7+ f 8 = 13 + 21 = 34
f16 = f 14+ f 15 = 377 + 610 = 987
f10 = f 8+ f 9 = 21 + 34 = 55
f17 = f 15+ f 16 = 610 + 987 = 1597
f 11 = f 9+ f 10 = 34 + 55 = 89
f 18 = f 16+ f 17 = 987 + 1597 = 2584
f12 = f 10+ f11 = 55 + 89 = 144
f19 = f 17+ f 18 = 1597 + 2584 = 4181
f13 = f 11+ f 12 = 89 + 144 = 233
f20 = f 18+ f 19 = 2584 + 4181 = 6765
f14 = f 12+ f 13 = 144 + 233= 377
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Die Fibonacci-Folge kann auch mit einer expliziten Formel beschrieben
werden, der Formel von Moivre-Binet:
𝒇𝒏 =
𝟏
𝟓
𝟏+ 𝟓
𝟐
𝒏
−
𝟏− 𝟓
𝟐
𝒏
(**)
Aufgabe 2:
Berechne die Folgeglieder f10, f30 und f100 mithilfe der expliziten Formel (**)
und deinem Taschenrechner.
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Schnitt
Lösung Aufgabe 2:
𝑓10 =
1
5
1+ 5
2
𝑓30 =
1
5
1+ 5
2
𝑓100 =
1
5
1+ 5
2
10
−
1− 5
2
−
1− 5
2
30
100
−
10
= 55
30
1− 5
2
= 832040
100
= 354224848179261915075
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Ein paar Aussagen zu Fibonacci-Zahlen:
a) Die Summe der Quadrate zweier benachbarter Fibonacci-Zahlen ist
ohne Ausnahme auch immer eine Fibonacci-Zahl.
Beispiel: 𝑓3 2 +𝑓4 2 = 22 +32 = 4+9 = 13 = ,f7
Aufgabe 3: Beweise die Aussagen 𝑓2𝑛+1 = 𝑓𝑛+1 2 + 𝑓𝑛 2 (a) ) und
𝑓2𝑛 =2 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 2 gleichzeitig per Induktion für n ≥ 2
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Lösung Aufgabe 3:
Induktionsbehauptung:
𝑓2𝑛+1 = 𝑓𝑛+1 2 + 𝑓𝑛 2 (#) und 𝑓2𝑛 =2 𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 2 (##) für alle n ≥ 2.
Induktionsanfang:
n=2:
5 =𝑓5 = 𝑓2∗2+1 = 𝑓2𝑛+1 = 𝑓𝑛+1 2 + 𝑓𝑛 2 = 𝑓3 2 + 𝑓2 2 = 22 + 12 = 1 + 4 = 5
3 = 𝑓4 = 𝑓2∗2 = 𝑓2𝑛 = 2 ∗ 𝑓𝑛−1 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛 2 = 2 ∗ 𝑓2−1 𝑓2 + 𝑓2 2 = 2* 1*1 +1 = 3
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Lösung Aufgabe 3:
Induktionsschluss: n → n+1. Die IB gelte für ein n ∈
ℕ.
𝑓2 𝑛+1 = 𝑓2𝑛+2 = 𝑓2𝑛+1 + 𝑓2𝑛
IB (##)
= 𝑓2𝑛+1 +
IB (#) 2
= 𝑓𝑛
2𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 2
+ 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 2 = 2𝑓𝑛 (𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 ) + 𝑓𝑛+1 2
= 2 (𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛−1 )(𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 ) + 𝑓𝑛+1 2
= 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 - 2𝑓𝑛−1 𝑓𝑛 − 𝑓𝑛−1 2
= 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 + (𝑓𝑛+1 −𝑓𝑛 )𝑓𝑛−1 − 𝑓𝑛−1 2
= 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 + (𝑓𝑛+1 −𝑓𝑛 )(𝑓𝑛+1 −𝑓𝑛 ) − (𝑓𝑛+1 −𝑓𝑛 )2
= 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛+1 2 + 𝑓𝑛+2 2 = 𝑓𝑛+1 2 + (𝑓𝑛+1 +𝑓𝑛 )2
IB (#)
= 𝑓𝑛+1 2 + 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 2
= 𝑓2𝑛+1 + 𝑓𝑛+1 2 + 2𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
= 𝑓2𝑛+1 + 𝑓𝑛+1 (𝑓𝑛+1 + 2𝑓𝑛 )
IB (##)
= 𝑓2𝑛+1
= 𝑓2𝑛+3
+ 𝑓2𝑛+2
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Schnitt
b) Für alle n > 1 gilt: Das Quadrat jeder Fibonacci-Zahl Q ist immer um
Eins kleiner (bei geraden 𝑓) oder um Eins größer (bei ungeraden 𝑓)
als das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger von Q.
Beispiele:
𝑓3 = 2 : 22 = 4, 1*3 = 3
𝑓5 = 5: 52 = 25, 3*8 = 24
𝑓4 = 3 : 32 = 9, 2*5 = 10
𝑓6 = 8: 82 = 64, 5*13 = 65
Aufgabe 4: Führe den Beweis für Aussage b).
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Lösung Aufgabe 4:
Induktionsbehauptung (IB): 𝑓𝑛 2 = 𝑓𝑛−1 * 𝑓𝑛+1 +a mit a = 1, falls n ungerade
mit a = − 1, falls n ungerade
Induktionsanfang:
siehe Beispiele.
Induktionsschluss:
OBdA: n sei gerade. (*) = Definition Fibonacci-Zahlen
𝑓𝑛+1 2
= (𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 )2 = 𝑓𝑛 2 + 2 𝑓𝑛−1 * 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 2 = (𝑓𝑛−1 * 𝑓𝑛+1 − 1) + 2 𝑓𝑛−1 * 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 2
(*)
IB
(*)
= (𝑓𝑛−1 * 𝑓𝑛+1 − 1) + 2 𝑓𝑛−1 * 𝑓𝑛 + (𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 )2
(*)
= (𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 ) 𝑓𝑛+1 − 1 + 2 𝑓𝑛 *( 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 ) + 𝑓𝑛+1 2 −2 𝑓𝑛+1 * 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛 2
= 𝑓𝑛+1 2 − 𝑓𝑛 ∗ 𝑓𝑛+1 −1 + 2 𝑓𝑛 * 𝑓𝑛+1 − 2𝑓𝑛 2 + 𝑓𝑛+1 2 − 2 𝑓𝑛 * 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 2
0
𝑓𝑛+1 2
= − 𝑓𝑛 2 + 2 𝑓𝑛+1 2 − 𝑓𝑛 * 𝑓𝑛+1 −1
/ − 𝑓𝑛+1 2
= − 𝑓𝑛 2 + 𝑓𝑛+1 2 − 𝑓𝑛 * 𝑓𝑛+1 −1
/ − 𝑓𝑛+1 2 und /*(-1)
(*)
= 𝑓𝑛 2 + 𝑓𝑛 * 𝑓𝑛+1 +1 = 𝑓𝑛 2 + 𝑓𝑛 * (𝑓𝑛+2 − 𝑓𝑛 ) +1 = 𝑓𝑛 2 + 𝑓𝑛 ∗ 𝑓𝑛+2 − 𝑓𝑛 2 + 1
= 𝑓𝑛 ∗ 𝑓𝑛+2 + 1
Analog für n ungerade.
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c)
Jede beliebige Fibonacci-Zahl Q ist immer ein ganzzahliger Teiler einer
weiteren Fibonacci-Zahl, die ein Vielfaches des Indexes (Stelle in der
Fibonacci-Folge) von Q ist.
Beispiel: Jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 (ihren Wert) teilbar. Jede
vierte Fibonacci-Zahl durch 3, jede fünfte durch 5, jede sechste durch 8,
jede siebente durch 13 usw.
Aufgabe 5: Beweise Aussage c).
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Lösung Aufgabe 5:
Induktionsbehauptung:
für alle n ∈ ℕ ist 𝑓4𝑛 durch 3 teilbar
Induktionsanfang, n= 2: 𝑓8
IB stimmt für n=2.
= 𝑓7 + 𝑓6 = 2𝑓6 + 𝑓5 = 2𝑓6 + (𝑓6 - 𝑓4 )
= 3𝑓6 - 𝑓4 = 3𝑓6 - 𝑓3 - 𝑓2
= 3𝑓6 -3 = 3(𝑓6 -1)  𝑓8 ist durch 3 teilbar
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Lösung Aufgabe 5:
Induktionsschluss: n→ n+1
𝑓4(𝑛+1)
= 𝑓4
𝑛+1 −1
+ 𝑓4
𝑛+1 −2
= 𝑓4𝑛+3 + 𝑓4𝑛+2 = 𝑓4𝑛+2 + 𝑓4𝑛+1 + 𝑓4𝑛+2
=2 𝑓4𝑛+2 + 𝑓4𝑛+1=2(𝑓4𝑛+1 + 𝑓4𝑛 ) + 𝑓4𝑛+1
= 3 𝑓4𝑛+1 +2 𝑓4𝑛
 3 𝑓4𝑛+1 ist durch 3 teilbar
 nach Induktionsbehauptung ist 𝑓4𝑛 durch 3 teilbar
 dann ist auch die Summe von 3 𝑓4𝑛+1 +2 𝑓4𝑛 durch 3 teilbar.
Die anderen Aussagen gehen analog zu diesem Beweis.
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Schnitt
d) Die Summe von zehn beliebigen aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen,
ist immer gleich dem 11-fachen des 7. Gliedes der Auswahl.
Beispiel: Die Auswahl der Fibonacci-Zahlen ist 5 bis 377. Die Summe
dieser Zahlen beträgt 979. Nun ist das 7. Glied der Auswahl die Zahl 89,
demzufolge ist das 11-fache von 89 auch 979.
Aufgabe 6: Rechne d) für allgemeines n nach!
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Lösung Aufgabe 6 :
Durch nachrechnen, mit n ∈ ℕ und mit 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2
𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛+2 + 𝑓𝑛+3 + 𝑓𝑛+4 + 𝑓𝑛+5 + 𝑓𝑛+6 + 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+8 + 𝑓𝑛+9 + 𝑓𝑛+10
= 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛+2 + 𝑓𝑛+5 + 𝑓𝑛+5 + 𝑓𝑛+6 + 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+6 + 𝑓𝑛+7
+ 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+6 + 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+6 + 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+6
= 7 ∗ 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛+2 + 2 ∗ 𝑓𝑛+5 + 5 ∗ 𝑓𝑛+6
= 9 ∗ 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛+2 + 3 ∗ 𝑓𝑛+6
= 9 ∗ 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+3 + 𝑓𝑛+5 + 𝑓𝑛+4 + 2 ∗ 𝑓𝑛+6
= 10 ∗ 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+3 + 𝑓𝑛+4 + 𝑓𝑛+6
= 10 ∗ 𝑓𝑛+7 + 𝑓𝑛+5 + 𝑓𝑛+6
= 11 ∗ 𝑓𝑛+7
Der goldene Schnitt
Das Zahlenverhältnis von zwei aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛
wird für n → ∞ (n geht gegen unendlich) zum Goldenen Schnitt φ, der bei
etwa 1,618 liegt:
φ=
𝟏
𝟐
𝟏 + 𝟓 ≈ 𝟏, 𝟔𝟏𝟖𝟎𝟑𝟑𝟗𝟖
φ wird auch als goldene Zahl bezeichnet. φ taucht, nebenbei bemerkt, in der
expliziten Formel von Moivre-Binet der Fibonacci-Folge auf.
Der goldene Schnitt
Eine Strecke a, welche aus einer längeren Teilstrecke b und einer kürzeren
Teilstrecke c besteht, wird im goldenen Schnitt geteilt, falls a/b = b/c ist, d.h.
falls das Ganze zum größeren Teil sich so verhält wie der größere Teil zum
kleineren Teil: _____________a________,_________
b
c
Also ist asymptotisch gesehen der Quotient zweier
aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen gleich dem
goldenen Schnitt.
Aufgabe 7:
Suche dir mehrere Bienen oder Bienenpuppen
m
M
und miss von Abdomen zur Taille (M) und von Taille bis Hals (m).
Bilde die Mittelwerte von M+m, M und m und berechne ihr Verhältnis
zueinander.
Der goldene Schnitt
Alternativ:
Nimm deine Klassenkameraden und ein Maßband und
messe von Kopf bis Bauchnabel und von Bauchnabel
bis zu den Füßen.
Rechne das Verhältnis von M zu m und M+m für jeden
Schüler aus. Je näher die Zahl dem goldenen Schnitt
kommt, desto attraktiver empfinden wir die
Proportionen der Person.
m
M
Suche weitere Verhältnisse am Menschen, welche nach dem
goldenen Schnitt aufgebaut sind.
Der goldene Schnitt
Wissenswertes:
Die Nachkommastellen von Φ und ihrem Kehrwert sind identisch
Bildet man den Kehrwert von Φ (1 durch 1,618033...) ergibt sich 0,618033...
Die beiden Zahlen unterscheiden sich lediglich in der Stelle vor dem Komma.
Alle anderen Nachkommastellen sind exakt identisch bis in alle Unendlichkeit.
Diese Eigenart gibt es bei keiner anderen Zahl.
Φ lässt sich als einzige Zahl nur aus Einsen darstellen
Bildet man einen unendlich langen Kettenbruch, der
nur aus Einsen besteht, so erhält man wieder exakt
bis in alle Unendlichkeit die Goldene Zahl. Auch dieses
Prinzip funktioniert bei keiner anderen Zahl.
φ = 1+
𝟏
𝟏+
𝟏
𝟏
𝟏+
𝟏
𝟏+
𝟏+
𝟏
𝟏+⋯
Der goldene Schnitt
Ψ ist die Zahl des Goldenen Winkels
Den Vollkreis von 360° nach dem Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt,
ergibt den sogenannten Goldenen Winkel Ψ (Psi) von 137,5°. Auch dieser
Winkel spielt in der Schöpfung eine erstaunliche Rolle, wie wir noch sehen
werden.
Ψ
137,5°
Der goldene Schnitt
Φ ist die Zahl des Fünfecks
Ein regelmäßiges Fünfeck oder auch Pentagramm genannt, hat die
erstaunliche Eigenschaft, dass alle Seiten jeweils ganz exakt nach dem
Goldenen Schnitt geteilt sind. Das Verhältnis der langen blauen Seiten zu den
kurzen orangenen Seiten ist also immer diese besondere Goldene Zahl Φ
1,618033... Auch die inneren kleineren Dreiecke, die sich einzeichnen ließen,
wären wieder durch die anderen Linien genau nach dem Verhältnis des
Goldenen Schnittes geteilt.
Der goldene Schnitt
Φ ist die Zahl der Goldenen Spirale
Fügt man an ein Quadrat (1) ein weiteres gleiches Quadrat (1), so dass nun die
Gesamtstrecke der Außenkanten als Grundlage für ein neues Quadrat (2) dient, ergibt
sich ein Rechteck (1, 1, 2). Wird dieses Prinzip weiter fortgeführt (Strecke 2 und 1
ergeben Quadrat 3; Strecke 2 und 3
ergeben Quadrat 5; usw.) bilden sich
immer wieder neue Rechtecke, die genau
nach den Proportionen des Goldenen
Schnittes geteilt sind. In diese Quadrate
lässt sich nun die sogenannte Goldene
Spirale zeichnen. Und diese Spirale, das ist
das eigentlich Besondere, dreht exakt
nach den Proportionen des Goldenen Schnittes und somit letztlich nach der
wunderschönen Zahl Φ.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Nichts desto weniger findet sich die
Fibonacci-Folge immer wieder in
Wachstumsprozessen der Natur.
Schneidet man zum Beispiel
Schneckenhäuser auf, findet man die
Zahlenfolge in der Kantenlänge der
hinzukommenden Fläche.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Schaut man sich die Anordnung von Sonnenblumenkernen in der Blüte an, so
sieht man verschiedene nach außen hin laufende Spiralen. Die Kerne sind
nicht exakt symmetrisch gepackt,
daher laufen links- und rechtsherum
nicht gleich viele Spiralarme. Zählt
man diese Spiralarme, so stellt man
fest, dass in die eine Richtung eine
Fibonacci-Zahl und in die andere die
darauf folgende Fibonacci-Zahl
herauskommt.
Die Verteilung der Kerne im Korb der
Sonnenblume ist nicht etwa zufällig, sondern mathematisch exakt versetzt
um je 137,5°.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Die Anzahl der links- und rechtsdrehenden Spiralen sind immer benachbarte
Fibonacci-Zahlen. Bei Sonnenblumen findet man normalerweise die
Kombination 21/34 oder 34/55 oder 55/89, bei besonders großen
Sonnenblumen auch mal 89/144 oder 144/233. Es ist aber nie eine andere
Anzahl von Spiralen.
Das gleiche gilt für Gänseblümchen, die Anordnung der Schuppen eines
Pinienzapfens, die Musterung einer Ananas und teilweise sogar für die
Platzierung von Blättern an einem Blumenstängel.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Man findet die Fibonacci-Folge auch bei Bienen.
Eine männliche Biene, auch Drohne genannt, schlüpft aus einem
unbefruchteten Ei einer Bienenkönigin. Aus befruchteten Eiern schlüpfen
weibliche Bienen, also Arbeiterinnen und Königinnen. Eine Drohne hat
deshalb nur ein Elternteil (nämlich die Königin), während Königinnen und
Arbeiterinnen zwei Eltern haben (eine Königin und einen Drohn).
Drohnen haben also eine Mutter, aber keinen Vater. Sie haben Großmutter
und Großvater mütterlicherseits und, da die Großmutter zwei Elternteile und
der Großvater nur eine Mutter hat, hat eine Drohne 3 Urgroßeltern.
Aufgabe 8:
Zeichne per Hand das Vorfahren-Schema einer Drohne und eines Menschen
auf. Was fällt dir auf?
Die Fibonacci-Folge und der goldene
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Lösung Aufgabe 8:
Drohn:
Die Vorfahrengenerationen enthalten
die Fibonacci-Zahlen 1,1,2,3,5,8,13,…..
Mensch:
Die Fibonacci-Folge und der goldene
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Aufgabe 9:
Zeige mithilfe von vollständiger Induktion, dass eine Drohne in der n-ten
Vorfahrengeneration genau f(n) Vorfahren hat.
Also:
• Eine Drohne hat immer eine Königin als direkten Vorfahren. (1)
• Eine Königin hat immer eine Königin und eine Drohne als direkten
Vorfahren. (2)
Tipp: Zeige, dass es in Generation n fn-2 Drohnen und fn-1 Königinnen gibt.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 9:
Es ergibt sich für eine Drohne der Stammbaum aus Aufgabe 3.
Bei einem normalen Stammbaum, in dem jedes Individuum durch
heterosexuelle Zeugung entsteht, wächst die Anzahl der Vorfahren einer
Generationsebene exponentiell mit der Generation. Das heißt beispielsweise,
dass ein Mensch genau 21 Eltern, 22 Großeltern, 23 Urgroßeltern und 2n+2
(Ur)ngroßeltern hat. Wenn I(n) die Anzahl der Individuen auf der n-ten Ebene
des Stammbaums ist, so gilt beim Menschen
I Mensch(n)=2n−1 (siehe ebenso am Stammbaum in Aufgabe 3)
wobei in der 1. Ebene sich das Individuum befindet, dessen Stammbaum
betrachtet wird.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 9:
Die obige Abbildung lässt bereits erkennen, dass sich beim Stammbaum einer
Drohne I(n) nicht exponentiell entwickelt. Betrachten wir hierzu die Anzahl
der Königinnen kn und Drohnen dn auf der n-ten Ebene des Stammbaums.
Jede Königin der Ebene n erzeugt einen Nachfahren in der Ebene
n − 1, daher gilt mit Gleichung (2): kn = kn−1 + dn−1.
Ferner hat jede Drohne des Stammbaums eine Königin als Nachkommen,
Regel (1): dn = kn−1.
Mit diesen Regeln kann folgender Zusammenhang hergeleitet werden:
I(n) = kn + dn = kn−1 + dn−1 + kn−1 = I(n − 1) + kn−2 + dn−2 = I(n − 1) + I(n − 2)
Da gemäß der Abbildung I(1) = 1 und I(2) = 1 ist IDrohne(n) = fn.
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 9:
Induktionsbehauptung: siehe Aufgabenstellung
Induktionsanfang:
n=2:
Die Drohne befindet sich in Ebene 1. In der 1. Vorfahrgeneration, der 2. Ebene, besitzt sie 1
Königin als Vorfahr. In der 3. Ebene befindet sich ein Drohn und eine Königin als Vorfahr.
I(3) = I(1) + I(2)= 1+2 = 3
Also ist die Induktionsbehauptung:
fn = kn + dn,
; kn=kn-1 + dn-1 und dn= kn-1
(def)
Induktionsschluss: n → n+1
def
fn+1= kn+1 + dn+1 = kn +dn + kn = fn + kn-1 + dn-1 = fn + fn-1
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Aufgabe 10:
Womit hat die Fibonacci-Folge etwas zu tun?
a)
•
•
•
•
Form von Schneckengehäusen
Länge von Schneckenhäusern
Verhältnis von Schnecke zu Haus
Zusammensetzung von Schneckenschleim
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Aufgabe 10:
Womit hat die Fibonacci-Folge etwas zu tun?
b)
•
•
•
•
Bronzener Becher
Goldener Schnitt
Goldener Schnatz
Silberner Teller
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Aufgabe 10:
Womit hat die Fibonacci-Folge etwas zu tun?
c) Mit der
•
•
•
•
Anzahl von Wellensittichen
Anzahl von Gießkannen
Anzahl von Blüten pro Baum
Anzahl von Kaninchenpaaren
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Aufgabe 10:
Womit hat die Fibonacci-Folge etwas zu tun?
d) Mit der/den
•
•
•
•
Zahl der Vorfahren einer Arbeiterin
Zahlen π und e
Zahl der Vorfahren eines Drohns
Zahl der Vorfahren einer Bienenkönigin
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Aufgabe 10:
Womit hat die Fibonacci-Folge etwas zu tun?
d) Mit der/dem
•
•
•
•
Musterung eines Pinienstammes
Blütenblätteranordnung einer Rosenblüte
Muster in einer Sonnenblume
Anzahl von Sommersprossen im Gesicht
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Aufgabe 11:
a)
Warum könnte man eine Bienenkönigin als „perfekt“ bezeichnen?
b) Wie ist das Verhältnis der Entwicklungszeiten von Königin, Arbeiterin
und/oder Drohn zueinander? Können diese auch mit der goldenen Zahl
ausgedrückt werden?
c)
Wie ist das Verhältnis von Vorderflügel und Hinterflügel einer Biene?
d) Weist eine Wabe aus dem Brutraum eines Bienenstocks ebenfalls in
irgendeiner Form den goldenen Schnitt auf? Wenn ja, wo?
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 11:
a)
Die Entwicklungszeit einer Königin beträgt 3 Tage als Ei, 5 Tage als Larve,
8 Tage als Puppe. Dies sind Fibonaccizahlen und ihr Verhältnis
zueinander ist die goldene Zahl. Spruch: „3-5-8, die Königin ist gemacht“
b) Nein, hier gibt es keine Verhältnisse zueinander.
c) Experimentell ermitteln
d) Abschätzen/Zählen von Waben: Verhältnis Honig zu Brut? Honig zu
Pollen? Pollen zu Brut? Jahreszeitenabhängig?
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Zur weiteren Übung von vollständiger Induktion via Fibonacci, wer noch
nicht genug von induktiven Beweisen hat:
Aufgabe 12:
(f1 = f2 = 1)
Beweise durch Induktion:
a)
n
k=1 fk = fn+2
-1
b)
n
k=1 f2k = f2n+1
c)
n
k=1 f2k−1 = f2n
-1
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 12:
a)
Induktionsbehauptung (IB):
Induktionsanfang: n=1:
→ IB stimmt für n=1.
n
k=1 fk = fn+2
1
k=1 fk = f1 =
-1
1 = 2-1 = f3 -1 = f1+2 -1
Induktionsschritt: n → n+1
n+1
k=1 fk =
n
k=1 fk + fn+1
IB
Definition der rekursiven Form
= fn+2 -1 + fn+1 = fn+1 + fn+2 -1 = fn+3 -1 = f(n+1)+2 -1
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 12:
b) Induktionsbehauptung (IB):
Induktionsanfang: n=1:
→ IB stimmt für n=1.
n
k=1 f2k = f2n+1
1
k=1 f2k = f2*1 = f2
-1
= 1 = 2-1 = f3 -1 = f2*1+1 -1
Induktionsschritt: n → n+1
n+1
k=1 f2k =
IB
n
k=1 f2k + f2(n+1) = f2n+1
= f2
n+1 +1 -1
Definition der rekursiven Form
-1 +f2(n+1) = f2n+1 + f2n+2 -1 = f2n+3 -1
Die Fibonacci-Folge und der goldene
Schnitt
Lösung Aufgabe 12:
c)
Induktionsbehauptung (IB):
Induktionsanfang: n=1:
→ IB stimmt für n=1.
n
k=1 f2k−1 = f2n
1
k=1 f2k−1 = f1 =
1 = f2
Induktionsschritt: n → n+1
n+1
k=1 f2k−1 =
n
k=1 f2k−1 + f2 n+1 −1
IB
= f2n +f2
Definition der rekursiven Form
n+1 −1 =f2n
+f2n+1 = f2n+2 = f2(n+1)
Quellen:
http://www.was-darwin-nicht-wusste.de/wunder/mathematische-ueberraschungen.html
http://www.bnv-bamberg.de/home/ba5472/HP/Unterricht/Mathe/Der%20Goldene%20Schnitt.htm
http://www.onlinemathe.de/forum/Fibonaccizahlen-Bienen-vollstaendige-Induktion
Bilder:
http://www.pixabay.de
Eigene Zeichnungen
Stefanie Wenz/ Emil-von-Behring-Schule/[email protected]
erstellt im Rahmen des HOBOS-Projekts
www.beecareful.hobos.de

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