Fachwerke - RFH-Koeln

Fachwerke
Fachwerke
© Prof. Dr. Remo Ianniello
Inhalt der Vorlesung
In diesem Abschnitt geht es um:
Begriffe rund um Fachwerke
1. Teil
Das Knotenpunkt-Verfahren
Das Verfahren nach Cremona
2. Teil
Das Ritter-Schnitt-Verfahren
Das Culmann-Verfahren
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darf - mit Quellenangabe - kopiert und
weiter gegeben werden.
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Folie 2
Begriffe
Fachwerke
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Folie 3
Linien-Tragwerke
Linientragwerke, kurz „Träger“, sind
Bauteile, deren Durchmesser sehr viel
kleiner ist als die Länge.
Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse
(Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab.
Beansprucht man einen Träger quer zu
seiner Achse, so nennt man ihn einen
Balken.
Ein gekrümmter Balken heißt Bogen.
Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr
miteinander verbundenen Balken
zusammengesetzt sind, werden als
Rahmen bezeichnet.
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Folie 4
Flächen-Tragwerke
Bei den Flächentragwerken unterscheidet
man Scheiben, Platten und Schalen:
Eine Scheibe ist ein ebenes
Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner
Ebene zu übertragen hat.
Merkbild: Trennscheibe
Eine Verbindung von Stäben kann ebenfalls
„Scheibe“ genannt werden.
Eine Platte ist auch eben, die Kräfte
wirken aber senkrecht zu ihr.
Merkbild: Schallplatte
Eine Schale ist ein einfach oder doppelt
gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige
Kräfte übertragen kann.
Merkbild: Eierschale
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Folie 5
Fragen
1) Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das?
Linien- und Flächentragwerke
Fragen
2) Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ?
„Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken
ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht.
3) Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“
und einem „Bogen“?
Ein Bogen ist ein gebogener Träger,
ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger.
4) Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden,
wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet?
„Scheibe“
5) Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“
und einer „Scheibe“ ?
Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht,
eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche.
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Folie 6
Begriffe
Quiz
Ein Fachwerk
• ist eine Konstruktion aus…
Trägern, Stäben, Stangen
• soll Lasten, Spannungen, Momente
aufnehmen.
• hat weniger Volumen, Stabilität, Material
als ein entsprechender Massivträger.
Dimensionierung der Stäbe
Die Stabkräfte ermittelt man aus den …
• äußeren Kräften (Lager + Lasten),
• Abmessungen (Längen + Durchmesser)
• Gleichgewichtsbedingungen
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Folie 7
Kräfte
Innere Kräfte
Zug- oder Druckkraft,
die vom Stab übertragen wird.
Fachwerke
Äußere Kräfte
Lasten, die von außen einwirken,
z.B. eine Lagerkraft (wie FA) oder
eine aufgeprägte Kraft (wie F1).
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Folie 8
Beschriftung
Stablinien
= gezeichneter Stab
 arabische Ziffern: 1, 2, 3 …
Knoten(punkte)
= Schnittpunkte der Stablinien
 römische Ziffern: I, II, III …
Merke:
Alle äußeren Kräfte
werden auf die Knoten verteilt
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Folie 9
Nullstab
Quiz
„Nullstäbe“
Es ist ratsam, vor der eigentlichen
Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe
hin zu untersuchen, denn sie können bei
der Berechnung weggelassen werden.
Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug- noch
Druckkräfte enthalten.
Sie sind jedoch in der Praxis notwendig:
 zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe
oder
 zur Verhinderung von Durchbiegungen.
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Folie 10
Nullstab
Regel 1:
An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei
Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche
Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe.
Quiz
Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu?
Regel 2:
An einem belasteten Knoten sind nur zwei
Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F
greift in Richtung des einen Stabes an, so ist
der andere Stab ein Nullstab.
F
F
F
Regel 3:
An einem unbelasteten Knoten sind drei
Stäbe angeschlossen, von denen zwei in
gleicher Richtung liegen, so ist der dritte
Stab ein Nullstab.
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Folie 11
Nullstäbe
Quiz
Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor?
[Quelle: www.ingenieurkurse.de/technische-mechanik-statik/fachwerke]
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Folie 12
Begriffe
Was meinen Sie?
Quiz
Welche Nullstäbe gibt es in diesem
Fachwerk?
[s.a. Tutorial auf https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY]
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13
Begriffe
Boden-Wand-FW
Aufgabe
Aufgabe
Wo sind Nullstäbe an dem
Fachwerk in der Skizze?
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Folie 14
Fragen
1) Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben.
2) Was ist der Vorteil eines Fachwerks?
Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger.
Fragen
3) Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes?
Nach der Größe seiner Stabkraft.
4) Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ?
Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe,
Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien.
5) Römische Ziffern an einer Fachwerk-Skizze bezeichnen …?
die Knotenpunkte
6) Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere
oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft.
7) Wie behandelt man äußere Kräfte,
die quer an der Mitte eines Stabes angreifen?
Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen.
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Folie 15
Statische Bestimmtheit
Quiz
Ein Fachwerk kann

instabil sein (zu wenig Stäbe), oder

statisch bestimmt sein
(alle Kräfte sind bestimmbar) oder

statisch unbestimmt sein
(mehr Stäbe als notwendig da).
instabil
Fachwerke
statisch
bestimmt
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statisch
unbestimmt
Folie 16
Statische Bestimmtheit
Statische Bestimmtheit
ermitteln:
Anzahl an
vorhandenen
Gleichungen
Vergleich
Anzahl an
unbekannten Kräften
Erstellbare Gleichungen:
Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣFx=0, ΣFy=0
k Knoten liefern 2k Gleichungen.
Unbekannte Kräfte:

Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1

Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2

Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s
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Das Abzählkriterium für
statische Bestimmtheit
lautet:
2k = 3+s
Folie 17
Statische Bestimmtheit
Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw.
statische Bestimmtheit der abgebildeten
drei Fachwerke - mit Begründung.
Quiz
Drei Fachwerke
2k=3+s
2·4 > 3+ 4
8>7
instabil
Fachwerke
2k=3+s
2·4 = 3+ 5
8=8
statisch bestimmt
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2k=3+s
2·4 < 3+ 6
8<9
statisch unbestimmt
Folie 18
Statische Bestimmtheit
zur Erinnerung:
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Folie 19
Statische Bestimmtheit
Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck
bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn:
Dreieckige
Fachwerke erfüllen
immer
s = 2k - 3
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Folie 20
Verfahren
zeichnerisch analytisch
ganzes FW CremonaPlan
lokal
Fachwerke
CulmannVerfahren
KnotenpunktVerfahren
Ritterscher
Schnitt
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Folie 21
KnotenpunktVerfahren
Fachwerke
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Folie 22
Knotenpunkt-Verfahren
„Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“:
1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...)
nummerieren
2) Statische Bestimmtheit kontrollieren
3) Nullstäbe kennzeichnen
4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln.
5) Freischnitt um ersten Knoten; dabei
alle unbekannten Stabkräfte zunächst
als Zugkräfte annehmen.
6) Zerlegung der Stabkräfte in ihre
Komponenten
7) Kräfte-Bilanzen erstellen.
8) Ergebnis-Tabelle erstellen:
Kräfte in Zug-Stäben positiv,
Kräfte in Druck-Stäbe negativ
kennzeichnen
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Wird bei allen
Verfahren
durchgeführt.
Folie 23
Knotenpunkt-Verfahren
Kran
Aufgabe
Aufgabe
Die Stabkräfte des
abgebildeten Fachwerks
sind mit dem KnotenpunktVerfahren zu berechnen.
Gegeben:
F = 7,071 kN,
a = 2,828 m
FAx = 5 kN
FAy = 15 kN
FB = 20 kN
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Folie 24
Knotenpunkt-Verfahren
Boden-Wand-FW
Aufgabe
Aufgabe
Die Stabkräfte des
abgebildeten Fachwerks sind
mit dem KnotenpunktVerfahren zu berechnen.
Gegeben:
F1 = F2 = F3 = 10 kN
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Folie 25
Cremona-Plan
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Folie 26
Cremona-Plan
„Rezept: Cremona-Plan“:
1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren
2) Statische Bestimmtheit kontrollieren
3) Nullstäbe kennzeichnen
4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln.
5) Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen
6) Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan;
nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen.
7) Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren.
8) Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt
an, ob ein Zug- oder Druckstab vorliegt.
9) Stabkraft-Tabelle mit Kennzeichnung von Zug(+) bzw. Druck-(-) Stäben erstellen.
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Wird bei allen
Verfahren
durchgeführt.
Folie 27
Cremona-Plan
Brücke
Aufgabe
Aufgabe
Ein Fachwerk wird mit den Kräften F1 , F2 und F3 , sowie FA
und FB nach Skizze belastet.
Alle Stabkräfte sollen
mit Hilfe des Cremona-Plans
ermittelt werden.
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Folie 28
Cremona-Plan
1)
2)
3)
4)
Stäbe und Knoten sind nummeriert.
Das Fachwerk ist statisch bestimmt. Knoten mit max. 2
unbekannten StabEs gibt keine Nullstäbe.
kräften aussuchen
Lagerkräfte: FA = 5,75 kN,
FB = 6,25 kN
Hier fortfahren
Lageplan
2, Zugstab
FA
Drehsinn
festlegen
1, Druckstab
Wirklinie der - nach dem
Drehsinn - nächsten Kraft
zeichnen
Hier enden
Kräfteplan
Fachwerke
Wirklinie der nächsten
Kraft (nach dem
Drehsinn) in den
Kräfteplan ziehen
(mit bekannter Kraft beginnen)
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Folie 29
Cremona-Plan
Den ersten Kräfteplan behalten.
Dann den nächsten Knoten mit maximal
zwei unbekannten Kräften aussuchen.
Hier: Knoten II
4-
hier
enden
FA
2+
im Drehsinn mit
bekannten Kräften
starten
3-
F1
1-
Kräfteplan
Fachwerke
hier weiter
machen
Lageplan
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Folie 30
Cremona-Plan
Kräfteplan beibehalten.
Jetzt den nächsten Knoten mit maximal
zwei unbekannten Kräften aussuchen.
Hier: Knoten III
hier weiter
machen
6+
4-
FA
2+
5-
hier
enden
im Drehsinn mit
bekannten Kräften
starten
3-
1Kräfteplan
Fachwerke
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Folie 31
Cremona-Plan
Jetzt den nächsten Knoten mit maximal
zwei unbekannten Kräften aussuchen.
Hier: Knoten IV
hier
enden
8-
F2
6+
hier weiter
machen
7-
5-
4FA
2+
3-
im Drehsinn mit
bekannten Kräften
starten
1-
zur Lösung
Kräfteplan
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Folie 32
Cremona-Plan
Fachwerke
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Folie 33
Cremona-Plan
Kran
Aufgabe
Aufgabe
Die Stabkräfte des
abgebildeten Fachwerks sind
mit dem
Cremona-Plan zu berechnen.
Gegeben:
F = 7,071 kN,
a = 2,828 m
zur Lösung
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Folie 34
Cremona-Plan
Fachwerke
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Folie 35
Aufgabe
Aufgabe
Cremona-Plan
Fachwerkträger
Für den skizzierten
Fachwerkträger sind die
Stabkräfte zeichnerisch
nach dem CremonaVerfahren zu bestimmen.
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Folie 36
Ritter-SchnittVerfahren
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Folie 37
Ritterscher Schnitt
Was ist das Verfahren nach Ritter?
nicht ein Knoten,
sondern mehrere Stellen
Ansatz: Nicht nur Kräftebilanz,
sondern auch Momentenbilanz.
ΣM = 0
mehrere Stellen
Georg Dietrich August Ritter
(*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher
Professor für Mechanik und für Astrophysik.
Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur
Berechnung von Stabkräften in Fachwerken.
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Folie 38
Ritterscher Schnitt
Wie berechnet man nach Ritter?
Ein Ritterscher Schnitt muss entweder
durch drei Stäbe, die nicht alle
demselben Knoten angehören,
gehen oder
durch einen Knoten und einen Stab
Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile.
Für jeden Teilkörper gelten die drei GGWBedingungen → Σ Fx, Σ Fy und Σ M = 0.
 drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar.
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Folie 39
Ritterscher Schnitt
Brücke
Aufgabe
Aufgabe
Bestimmen Sie die Stabkräfte S4 = - 5,75 kN,
S5 = -2,47 kN und S6 = +7,5 kN nach dem
Ritterschen Schnitt-Verfahren.
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Folie 40
Ritterscher Schnitt
Ausleger
Aufgabe
Aufgabe
Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen
Schnittverfahren die Stabkräfte S10 = -30 kN, S11 = -27,4 kN,
S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN
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Folie 41
Ritterscher Schnitt
Aufgabe
Aufgabe
Kleine Ritter-Brücke
Bestimmen Sie die Kraft in den Stäben
GE, GC und BC des Fachwerks und
geben Sie an, ob die Stäbe unter
Zug oder unter Druck stehen.
F1 = 400 N, F2 = 1.200 N,
h = 3 m, l = 4 m.
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Folie 42
CulmannVerfahren
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Folie 43
Culmann-Verfahren
Ausleger
Für den abgebildeten Ausleger sind nach
dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte
S10 = -30 kN, S11 = -27,4 kN,
S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN
Fachwerke
Wirklinien
Man benötigt
der Kräftepaare
zwei Kräftepaare
einzeichnen
– daher
werden die drei
einzelnen
F zu einer
Schnittpunkte
markieren
undKräfte
verbinden
Resultierenden 3 F zusammen gefasst.
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Folie 44
Culmann-Verfahren
Ausleger
Für den abgebildeten Ausleger sind nach
Ein Parallelogramm der
dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte
unbekannten Kräfte mit R2
S10 = -30 kN,
liefert die fehlenden Beträge
S11= -27,4 kN,
S12
S12 = 51,88 kN
zu ermitteln.
R1 hat eine gleich große,
entgegen gesetzte
F = 8 kN
Resultierende R2
S11
R1
Ein Parallelogramm mit
der bekannten Kraft...
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S10
...liefert S10 und
damit auch R1
Folie 45
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Folie 46
Knotenpunkt-Verfahren
Brücken-FW
Aufgabe
Aufgabe
Ein Fachwerk wird mit den
äußeren Kräften
F1 , F2 , F3 , sowie FA
und FB belastet.
Die Stabkräfte
("innere Kräfte")
S1 bis S8 sollen mit Hilfe
des Knotenpunkt-Verfahrens ermittelt werden.
Lösung:
S1 = -5,75 kN
S2 = 8,13 kN
S3 = -4 kN
Fachwerke
S7 = -1,77 kN
S4 = - 5,75 kN
Lösung
S8 = -6,25 kN
S5 = -2,475 kN
S6 = 7,5 kN
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S9 = -5 kN
S10 = 8,84 kN
S11 = -6,25 kN
Folie 47

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