LS-S. 29 Aufgabe 10 Ein nach oben offener Karton mit

LS-S. 29 Aufgabe 10
Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen
Oberfläche von 100 cm2 ein möglichst großes Volumen besitzen.
Bestimmen Sie die Maße dieses Kartons.
Lösung
Extremalbedingung: V  a2  h soll maximal sein.
Nebenbedingung:
O  a2  4ah  100  4ah  100  a2  h 
Zielfunktion:
V(a)  a2 
100  a2
4a
100  a2
100  a2
1
 a
  a3  25a
4a
4
4


100  a2
 0  100  a2  0  a  100  10 
h 
4a


Definitionsbereich: 0  a  10
Gesucht ist das absolute Maximum der Zielfunktion.
Ableitungen:
3
3
V(a)   a2  25 , V(a)   a
4
2
Lokale Maxima:
3
3
100
100
100
V(a)  0   a2  25  0  a2  25  a2 
a
a 
4
4
3
3
3
Da 
100
nicht im Definitionsbereich liegt, kann nur
3
100
 5,7735 Hochstelle sein.
3
 100 
 100 
3  100 
100
ist Hochstelle.
V 
 0  V 
 


  0 
 3 
 3 

2 3 
3




2
100
100
200
100 
100 
 100 
100
100
100
100 200
3 
3 
V



 3 

 96,225

 3 
3
4
3
4
3
4
3
12


ist lokales Maximum.
 100 
Vergleich mit den Randwerten V(0)  V(10)  0 zeigt, dass V 
 96,225
 3 


das absolute Maximum der Zielfunktion ist.
Gesuchte Abmessungen:
a
100
 5,7735 .,
3
h
100  5,77352
 2,8868 , V  96,225
4  5,7735

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