LS-S. 29 Aufgabe 10 Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100 cm2 ein möglichst großes Volumen besitzen. Bestimmen Sie die Maße dieses Kartons. Lösung Extremalbedingung: V a2 h soll maximal sein. Nebenbedingung: O a2 4ah 100 4ah 100 a2 h Zielfunktion: V(a) a2 100 a2 4a 100 a2 100 a2 1 a a3 25a 4a 4 4 100 a2 0 100 a2 0 a 100 10 h 4a Definitionsbereich: 0 a 10 Gesucht ist das absolute Maximum der Zielfunktion. Ableitungen: 3 3 V(a) a2 25 , V(a) a 4 2 Lokale Maxima: 3 3 100 100 100 V(a) 0 a2 25 0 a2 25 a2 a a 4 4 3 3 3 Da 100 nicht im Definitionsbereich liegt, kann nur 3 100 5,7735 Hochstelle sein. 3 100 100 3 100 100 ist Hochstelle. V 0 V 0 3 3 2 3 3 2 100 100 200 100 100 100 100 100 100 100 200 3 3 V 3 96,225 3 3 4 3 4 3 4 3 12 ist lokales Maximum. 100 Vergleich mit den Randwerten V(0) V(10) 0 zeigt, dass V 96,225 3 das absolute Maximum der Zielfunktion ist. Gesuchte Abmessungen: a 100 5,7735 ., 3 h 100 5,77352 2,8868 , V 96,225 4 5,7735
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