5. Cartesische Geometrie III: Orthogonale Gruppen und Dirac Strings.
In diesem Abschnitt nutzen wir die Eigenschaften der komplexen Multiplikation und des
Quaternionenprodukts aus, um niedrigdimensionale Gruppen von Drehungen zu studieren.
Für 3-dimensionale Drehgruppen erhalten wir eine wirkliche Überraschung.
Drehungen und Spiegelungen.
Definition. Eine lineare Abbildung L : Rn → Rn , 0 ≤ α ≤ 2π, heißt orthogonale
Abbildung, wenn
L(v) · L(w) = v · w.
Satz. (Orthogonalitäts Kriterium) Eine lineare Abbildung L : Rn → Rn ist orthogonal genau dann wenn k L(v) k=k v k, für alle v ∈ Rn .
Beweis. Sei L orthogonal. Dann ist k L(v) k2 = L(v) · L(v) = v · v =k v k2 .
Sei k L(v) k=k v k, für alle v ∈ Rn . Dann ist
k v + w k2 = (v + w) · (v + w) = v 2 + 2v · w + w2 =k v k2 +2v · w+ k w k2
und so
2v ·w =k v +w k2 − k v k2 − k w k2 =k L(v +w) k2 − k L(v) k2 − k L(w) k2 = 2L(v)·L(w).
Dies beweist den Satz. ♦
Definition. Für jedes 0 ≤ α ≤ 2π, definiere die lineare Abbildung:
v1
cos(α) sin(α)
2
2
Rα : R → R , v 7→
− sin(α) cos(α)
v2
Diese Abbildung heiß Rotation um den Winkel α.
Satz. Jede orthogonale Abbildung ist ein Produkt von Rotationen.
Beweis. Mit Hilfe von Rotationen kann man das Bild jede Koordinatenachse zunächst
in Koordinaten Unterräume und schließlich in die Koordinatenachse selbst drehen. Eine
lineare Abbildung, die alle Koordinatenachsen in sich überführt, ist aber die Identität. ♦
Mit Hilfe der komplexen Multiplikation gibt es eine folgende elegante, alternative Definition
für Rotationen:
Klaus Johannson, Geometrie
38
. Geometrie
Definition. Definiere, für alle a ∈ S 1 ⊂ C, eine Abbildung durch
ra : C → C, z 7→ az.
Satz. ra ist eine orthogonale Abbildung bzgl. C, aufgefasst als R-Vektorraum.
Beweis. k a ×C z k=k a k · k z k=k z k. ♦
Lemma. Sei w ∈ Rn ein beliebiger Einheitsvektor, d.h. w · w = 1. Dann ist
Sw : Rn → Rn , Sw (v) := v − 2(v · w)w
die Spiegelung an der Ebene Ew senkrecht zu w.
Beweis. Die Spiegelung an der Ebene Ew ist gegeben durch v ′ = v − 2cw, wobei cw
gleich der Projektion von v auf w ist. Da w · w = 1 ist c = w · v (siehe Vorlesung:
Cartesische Geomtrie, Teil I) und somit folgt das Lemma. ♦
Rotationsgruppen.
Definition. Man bezeichnet
On R := { L ∈ Matn R | L(v) · L(w) = v · w }
SOn R := { L ∈ On R | det L = +1 }
und nennt On R, SOn R die orthogonale bzw. die spezielle orthogonale Gruppe.
Satz. On R und SOn R bilden, zusammen mit dem Matrixprodukt, eine Gruppe.
Beweis. Determinanten Produktsatz. ♦
Die Rotationsgruppe SO2 R.
Wir möchten zeigen, dass SO2 R = S 1 . Hierfür gibt es zwei Beweise. Der erste Beweis
benutzt die elementaren trigonometrischen Identitäten:
2
2
cos (α) + sin (α) = 1 und
Wir setzen
sin(α ± β)
cos(α ± β)
= sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β)
= cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β)
cos(α) − sin(α)
R(α) =
sin(α)
cos(α)
und haben
R(α + β) = R(α)R(β).
Satz. SO2 R ∼
= S 1 (als Gruppen).
Klaus Johannson, Geometrie
§6 Cartesische Geometrie III
39
Beweis. Definiere
ϕ : S 1 → SO2 R, eiα 7→ R(α).
Dann ist
ϕ(eiα · eiβ ) = ϕ(ei(α+β) ) = R(α + β) = R(α)R(β)
und ϕ offenbar ein Isomorphismus. Dies beweist den Satz. ♦
Für den zweiten Beweis, benutzen wir eine elegante, alternative Definition für Rotationen,
die diesmal die Existenz der komplexen Multiplikation ausnutzt.
Definition. Definiere, für alle a ∈ S 1 ⊂ C, eine Abbildung durch
ra : C → C, z 7→ a ×C z.
Satz. ra ist eine orthogonale Abbildung bzgl. C, aufgefasst als R-Vektorraum.
Beweis. Klar. ♦
Satz. Die Abbildung
ϕ : S 1 → SO2 R, a 7→ La
wobei La : C → C, z 7→ a ×C z, ist ein Gruppenisomorphismus.
Beweis. ϕ(ab) = Lab mit Lab (z) = (ab)×C z = a×C (b×C z) = La (Lb (z)) = (La ◦Lb )(z).
Dies beweist den Satz. ♦
Echte und unechte Drehungen.
Wir möchten jetzt die Gruppe SO3 R, d.h. die Drehungen des drei-dimensionalen
Raumes R3 verstehen. Hier brauchen wir eine Idee. Der Trick besteht darin, eine
Dimension zu borgen, und R3 als Koordinaten Unterraum des vier-dimensionalen
Raumes R4 zu betrachten. Genauer wählen wir die kanonische Einbettung
R3 → R4 , [x1 , x2 , x3 ] 7→ [x0 , x1 , x2 , x3 ]
Diese Einbettung induziert eine Einbettung
SO3 R → SO4 R, R 7→ R ⊕ 1,
A 0
bezeichnet.
der orthogonalen Gruppe, wobei A ⊕ B die Matrix
0 B
Klaus Johannson, Geometrie
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. Geometrie
Nun verwenden wir die Tatsache, dass man in R4 das Quaternionenprodukt hat, d.h. wir
betrachten R4 als Raum, Q, der Quaternionen. Für die Quaternionen
v = ae + bi + cj + dk
bezeichnet man ae als den Realteil und bi + cj + dk als den Imaginärteil von v.
Somit ist
Q = Re ⊕ Im(Q)
wobei Im(Q) = {bi + cj + dk | b, c, d ∈ R }. Die Einbettung
R3 → R4 = Q = Re ⊕ Im(Q), [x1 , x2 , x3 ] 7→ 1e + x1 i + x2 j + x3 k,
In Q unterscheiden wir zwischen echten und unechten Drehungen. Wir definieren
SO(Q) = SO4 R
EO(Q] = {f ∈ SO4 R | f (e) = e }
und nennen EO(Q) die Gruppe der echten orthogonale Abbildungen. Da, nach
Konstruktion, SO3 R = EO(Q) können wir jetzt EO(Q) studieren. Da Q mehr Struktur
hat als R4 haben wir es jetzt leichter. Insbesondere können wir, für alle u, w ∈ S 3 , die
folgenden Abbildungen
Ru,w : R4 → R4 , v 7→ u ×Q v ×Q w
Lw : R4 → R4 , v 7→ w ×Q v ×Q w̄.
definieren. Dann gilt
Satz. Ru,w ∈ SO(Q) und Lw ∈ EO(Q) ⊂ SO(Q).
Beweis. Es is
k Ru,w (v) k2 =k u ×Q v ×Q w k2 = (u ×Q v ×Q w) ×Q u ×Q v ×Q w
= u ×Q v ×Q w ×Q w̄ ×Q v̄ ×Q ū
= (w · w)(v · v)(u · u)e
= (v · v)e =k v k2
Lw (e) = w ×Q e ×Q w̄ = w ×Q w̄ = (w · w)e = e.
Somit sind Ru,w , Lw ∈ SO(Q) und Lw ∈ EO(Q).
Tatsächlich sind mit dem obigen Satz alle echten und unechten, orthogonale Abbildungen
gefunden:
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§6 Cartesische Geometrie III
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Satz. (Charakterisierung von orthogonalen Abbildungen) Es gilt:
(1) Für jedes f ∈ SO(Q) gibt es Quaternionen u, w ∈ S 3 mit
f (v) = Ru,w (v) = u ×Q v ×Q w,
für alle v ∈ Q.
(2) Für jedes g ∈ EO(Q) gibt es ein w ∈ S 3 mit
g(v) = Lw (v) = w ×Q v × w̄,
für alle v ∈ Q.
Beweis. ad (1) Man zeigt zuerst, dass man durch Rw,w alle Drehungen erhält.
Wir wissen, dass die erste der folgenden Identitäten gilt (Lemma aus voriger Vorlesung):
⇒
2(v · w)e = v ×Q w̄ + w ×Q v̄
2(v̄ · w)e = v̄ ×Q w̄ + w ×Q v
⇒ 2(v̄ · w)e ×Q w = (v̄ ×Q w̄ + w ×Q v) ×Q w
⇒
2(v̄ · w)w = v̄ ×Q w̄ ×Q w + w ×Q v ×Q w
⇒
⇒
2(v̄ · w)w = v̄ ×Q (w · w)e + w ×Q v ×Q w
2(v̄ · w)w = (w · w)(v̄ ×Q e) + w ×Q v ×Q w.
und so
2(v̄ · w)w − v̄ = w ×Q v ×Q w
da w ∈ S 3 . Damit gilt:
Sw (v) = v − 2(v · w)w = −w ×Q v̄ ×Q w = w ×Q (−v̄) ×Q w,
für alle w ∈ S 3 . Insbesondere ist
Se (v) = −v̄.
Also ist
Rw,w (v) := w ×Q v ×Q w = Sw (−v̄) = Sw (Se (v)) = (Sw ◦ Se )(v)
ein Produkt von zwei Spiegelungen, also eine Drehung. Mehr noch man erhält so alle
Drehungen. Weiter ist (Ru,u ◦ Rw,w )(v) = u ×Q (w ×Q v ×Q w) ×Q u = (u ×Q w) ×Q v ×Q
(w ×Q u) = Ru,w . Also sind alle Produkte von Drehungen von der Form Ru,w . Aber
alle orthogonalen Abbildungen sind Produkte von Drehungen. Dies beweist (1).
ad (2) Wegen (1) gibt es u, w ∈ S 3 , so dass g = Ru,w . Nun ist e = g(e) = Ru,w (e) =
u ×q e ×Q w = u ×Q w und so u−1 = w. Aber u ×Q ū = (u · u)e = e und so u−1 = ū
(wegen eindeutigkeit der Einheit). Dies beweist (2). ♦
Klaus Johannson, Geometrie
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. Geometrie
Die Rotationsgruppe SO3 R.
In diesem Abschnitt möchten wir zeigen, dass SO3 R gleich S 3 ist - dies stimmt nicht
so ganz und der kleine Unterschied verbirgt ein wichtiges physikalischen Phänomen (siehe
Anhang).
Satz. SO3 R ∼
= S 3 /Z2 , d.h. es gibt einen surjektiven Homomorphismus ψ : S 3 → SO3 R
mit ker(ψ) = Z2 .
Beweis. Man definiere
ψ : S 3 → SO3 R = EO(Q), v 7→ (Lv : R4 → R4 ),
wobei Lv (w) := v ×Q w ×Q v̄.
1. Behauptung. Lv ist orthogonale Abbildung, für alle v ∈ S 3 .
Beweis der 1. Behauptung. Es ist
k Lv (w) k=k v ×Q w ×Q v̄ k=k v k · k w k · k v̄ k=k w k,
wenn k v k= 1. Dies beweist die 1. Behauptung.
2. Behauptung. ψ : S 3 → SO3 R ist ein Homomorphismus.
Beweis der 2. Behauptung.
Lv×Q v′ (w) = (v ×Q v ′ ) ×Q w ×Q v ×Q v ′ = v ×Q (v ′ ×Q w ×Q v ′ ) ×Q v̄
= Lv (v ′ ×Q w ×Q v ′ ) = Lv ◦ Lv′ (w),
für alle w. Dies beweist die 2. Behauptung.
3. Behauptung. ψ : S 3 → SO3 R
Beweis der 3. Behauptung. Sei
Rwi , wi ∈ S 3 . Demnach ist g(v)
u ×Q e ×Q w = u ×Q w. Somit ist
ist surjektiv.
g ∈ SO3 R. Dann ist g ein Produkt von Rotationen
= u ×Q v ×Q w mit u, w ∈ S 3 . Aber e = g(e) =
w = u−1 = ū. Also ist
g(v) = u ×Q v ×Q ū = Lu (v)
Also ist ψ(u) = Lu = g. Dies beweist die 3. Behauptung.
4. Behauptung. ker(ψ) = Z2 .
Beweis der 4. Behauptung. Sei v ∈ ker(ψ). Dann ist v ∈ S 3 mit w = v ×Q w ×Q v̄,
für alle w ∈ R3 = Im(Q). Also ist v −1 ×Q w = w ×Q v̄ und so v̄ ×Q w = w ×Q v̄. Also
ist v̄ und so v vertauschbar mit allen Quaternionen. Dann ist aber v ∈ Re, denn das
Klaus Johannson, Geometrie
§6 Cartesische Geometrie III
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Zentrum der Quaternionen ist Re (siehe oben). Somit ist v = ±e da v ∈ S 3 . Also ist
ker(ψ) = {±e} = Z2 . Dies beweist die 4. Behauptung.
Die Existenz des Gruppen Isomorphismus S 3 /Z2 ∼
= SO3 R folgt aus der Existenz des
obigen surjektiven Homomorphismus ψ und dem ersten Isomorphie Satz.
Damit ist der Satz bewiesen. ♦
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. Geometrie
Anhang: Das Dirac String Experiment.
Die Tatsache, dass SO3 R nicht gleich S 3 , sondern gleich S 3 /Z2 ist, hat eine interessante
physikalische Konsequenz. Um diese zu beschreiben, betrachte man den Vesuchsaufbau
im linken oberen Bild:
Dirac Strings kann man entwirren
Das linke obere Bild zeigt eine kleine, bewegliche Kugel, die innerhalb einer grösseren,
festen Kugel sitzt und mit der größeren Kugel mit drei Fäden verbunden ist. Jetzt drehe
man die kleine Kugel - wie gezeigt - um ihre Achse. Und zwar entweder einmal um
sich selbst (d.h. Drehung um 360o ) oder zweimal um sich selbst (d.h. Drehung um
720o ). Die Aufgabe besteht darin nach beiden Versuchen, die drei Fäden (die sich natürlich
verwickeln) zu entwirren.
Die obige Sequenz von Bildern zeigt, dass die Fäden entwirrt werden können, wenn der
innere Ball zweimal ganz um seine Achse gedreht wird. Der wichtigste Schritt in der
obigen Sequenz ist der von rechts oben nach rechts unten. In diesem Schritt wird der
dritte (untere) Bogen von hinten nach vorne gezogen.
Es ist aber auch eine Tatsache der Erfahrung, dass es nicht geling die Fäden des Dirac
String Experiments zu entwirren, wenn die kleie Kugel nur einmal um ihre Achse gedreht
wird (bitte probieren!). Dies hängt mit der Tatsache zusammen, dass SO3 R = S 3 /Z2 .
Wir können dies hier leider nicht exakt zeigen, aber man kann doch ein intuitives Argument
geben, das schon ziemlich überzeugend ist.
Hierzu brauchen wir den folgenden, mehr anschaulichen Beweis für den obigen Satz, dass
SO3 R = S 3 /Z2 (d.h. gleich dem projektiven Raum RP 3 ) ist. Also noch einmal (diesmal
ohne Gruppenstruktur):
Satz. SO3 R = S 3 /Z2 = RP 3 .
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§6 Cartesische Geometrie III
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Beweis. Jedes Element von SO3 R ist eine Drehung. (siehe unten). Jede Drehung ist
gegeben durch eine Achse, d.h. einen Punktepaar in S 2 und einen Winkel, und damit
durch einen Punkt in dem 3-Ball mit Radius π. Gegenüberliegende Punkte von S 2 = ∂B 3
sind gleich und müssen also identifiziert werden. Damit ist SO3 R = B 3 / ∼= RP 3 . ♦
Nun kann man sich die Verdrehung der obigen Strings als einen Weg w : I → SO3 R von
Rotationen vorstellen, d.h. als einen Weg in SO3 R = RP 3 . Dieser Weg ist der folgende:
Weg von Rotationen in
SO3 R
Hier ist wichtig, dass der Weg die äussere Sphäre S in zwei Punkten triftt, die unter Z2
äquivalent sind. Diese äußere Sphäre wird unter der Projektion S 3 → S 3 /Z2 zu einer
projektiven Ebene P 2 ⊂ SO3 R. Der Weg w der Rotationen wird zu einem geschlossenen
Weg in S 3 /Z2 B 3 /Z2 , welcher die projektive Ebene P 2 nur in einem Punkt schneidet.
Damit kann es keine Abbildung
f : D2 → SO3 R
geben, welches den geschlossenen Weg w der Rotationen zusammenzieht. Andernfalls
besteht f −1 (P 2 ) aus Bögen und Kurven in D2 . Alle Randpunkten in ∂D liegen in ∂D.
Weiter hat f −1 (P 2 ) nur einen Endpunkt in ∂D. Also ist die Anzahl der Endpunkte
von f −1 (P 2 ) gleich 1, also ungerade. Dies aber ist unmöglich:
Ich kann nirgends enden, da die Zahl der Endpunkte im Rand ungerade sein soll
Denn f −1 (P 2 ) ein System von Kreisen und Bögen in der Scheibe D2 ist, deren Endpunkte
alle im Rand von D2 liegen müssen (aber die Zahl der Endpunkte im Rand ist nach
Konstruktion ungerade!).
Das Material von diesem Abschnitt ist aus [Ebbinghaus et al, Numbers, Springer Verlag].
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