Lösungen

Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen – Lösungen
1. Bestimme den Definitionsbereich D und die Lösungsmenge L der folgenden
Gleichungen. (G = Q)
5
12x 18
a)
2 5x 4 25x² 2
2x 1 2x 3 2(5
b)
x 5
x 5
x²
4
0
5x
8x)
25
1
80x² 96x
6 11 10x
45x² 80
9x 12
4x 5
6x 8
Lösung a)
2 2
D Q\
;
5 5
HN: (2 – 5x)(2 + 5x)
x=0
L={0}
Lösung c)
4 4
D Q\
;
3 3
HN: 30(3x + 4)(3x – 4)
x=1
L={1}
c)
Lösung b)
D = Q \ {5; –5}
HN: (x + 5)(x – 5)
führt zur allgemeingültigen Gleichung
0=0
L = Q \ {5; –5}
2. Bestimme die Lösungsmenge L der folgenden Gleichungen und stelle fest,
welche Bedingungen gelten müssen, damit die Nenner der Brüche nicht null
werden und damit bei den Äquivalenzumformungen nicht durch null dividiert
wird.
2x 3a x a
x
x a
D Q \ {0}; x a
a)
HN : x(x a)
1
b)
x
a
x a x a
D Q; x a x
L
{x | x
3a}
HN : (x a)(x a)
L {x | x 2a}
x
a a
0
x
a x
a a
x² 5a²
x² a²
a
0
3. Gib die Lösungsmenge L der nachstehenden Ungleichungen an.
a) (3x 2)² 5 (3x 4)(3x 4) 11
5 3x x 4 6 2x
b)
3
6
2
3x 2 3x 1
2x 3
x
c)
8
2
3
x 3
a) L {3,2,1,0, 1,...}
oder L {x | x 3 x Z}
4 x Q}
b) L {x | x
6
x|x
x Q
c) L
7
4. Bestimme mit Hilfe der Zahlengeraden die Lösungsmenge L der nachstehenden Ungleichungen.
3
1
x 5
Lösung a)
D Q \ {5}
a)
b)
Fall 1: x
5
x
2;
Fall 2 : x
5
x
2; L 2
{x | 2
x
x
2 5}
L
L1
L2
x
3
x 5
x 5
L1
{x |
5}
Lösung b)
D Q \ { 5}
Fall 1: x
5
x
3; L1
{x | x
Fall 2 : x
x
3; L 2
{x | x
L
L1
L2
5
{x | x
5
x
3}
5}
3}
Lösung c)
D Q \ { 2;1}
Fall 1: x 1; HN : (x 2)(2x 2)
x 1 x
Fall 2 : x
x
L
L1
L2
L1
{x | x
4}
2; HN : (x 2)(2x 2)
2 x
Fall 3 : 2
2
4;
0
0
4; L 2
x 1; HN : (x 2)(2x 2) 0
x 1 x 4; L3 {x | 2 x 1}
L3
{x | 2
x 1 x
4}
c)
1
x 2
1
2x 2
5. Für zwei Darlehen von 3 500 € und 7 500 € müssen bei einer Bank 585 € Jahreszinsen bezahlt werden. Zu wie viel Prozent ist das erste Darlehen ausgeliehen, wenn das zweite Darlehen 1% niedriger verzinst wird als das erste?
x% Zinsfuß für 3 500 € Darlehen
3500 x 7500 (x 1)
585
100
100
x 6
6% für 3 500 €
5% für 7 500 €
6. Ein Darlehen von 8 000 € wird zu 6%, ein zweites Darlehen von 7 200 € zu 7%
ausgeliehen. Nach wie vielen Tagen bringt das zweite Darlehen 15 € mehr Zinsen als das erste Darlehen?
x Tage
8000 6 x
7200 7 x
15
100 360
100 360
x 225
Nach 225 Tagen bringt das zweite Darlehen 15 € mehr Zinsen.
7. Zum Zähler und Nenner des Bruches 7 soll dieselbe Zahl addiert werden. Wie
9
heißt die Zahl, wenn der neue Bruch den Wert
5
annimmt?
6
Gesuchte Zahl: x
7 x 5
9 x 6
x 3
Die gesuchte Zahl ist 3.
8. Verlängert man die Seiten eines Quadrates um 3 cm, so wächst sein Flächeninhalt um 81 cm². Berechne die Seiten des ursprünglichen Quadrates.
Seitenlänge des ursprünglichen Quadrates: x
Seitenlänge des neuen Quadrates: x + 3
(x 3)² x² 81
x 12
Das ursprüngliche Quadrat hat eine Seitenlänge von 12 cm.
9. Ein Vater ist jetzt 42, sein Sohn 14 Jahre alt. Vor wie vielen Jahren war der Vater achtmal so alt wie der Sohn?
heute
Vater
42
Sohn
14
42 – x = 8(14 – x)
hat als Lösung:
x = 10
Vor 10 Jahren war der Vater achtmal so alt wie der Sohn.
vor x Jahren
42 – x
14 – x
10. Die Einerziffer einer zweistelligen Zahl ist doppelt so groß wie die Zehnerziffer.
Vertauscht man die Ziffern, so erhält man eine Zahl, die um 36 größer ist als
die ursprüngliche Zahl.
Zehnerziffer: x
vor dem Vertauschen
nach dem Vertauschen
Z
x
2x
E
2x
x
Wert der Zahl
10x + 2x
20x + x
10x + 2x + 36 = 20x + x
x=4
Die zweistellige Zahl ist 48.
11. Eine Bäckerei will eine neue Gebäckmischung auf den Markt bringen. Es werden 50 kg einer Sorte I mit 125 kg einer Sorte II gemischt. Die ganze Mischung
hat einen Wert von 1 050 €. Wie viel € kostet 1 kg jeder Sorte, wenn 1 kg der
Sorte II um 1,40 € teurer ist als 1 kg der Sorte I?
Kilopreis Sorte I: x
Kilopreis Sorte II: x + 1,4
50x + 125(x + 1,4) = 1050
x=5
1 kg der Sorte I kostet 5 €; 1 kg der Sorte II kostet 6,40 €.

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