Grundlagen

1.5 Statisches und Dynamisches Verhalten von Messsystemen
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Kenngrößen
Linearität
1.5.1 Statisches Verhalten
• Kenngrößen
• Linearität
• Messbereich
• Bei Messgeräten mit linearem Zusammenhang wird die maximale
Abweichung von der geforderten Geraden angegeben.
• Bereich derjenigen Werte der Messgröße, für die gefordert ist, dass
die Messabweichungen innerhalb festgelegter Grenzen bleiben.
• Messabweichung (Fehler)
• Linearität wird angegeben in
• Abweichung eines aus Messungen gewonnenen und der Messgröße
zugeordneten Wertes vom wahren Wert (siehe 1.3).
1.: Prozent vom Skalenendwert
• Auflösung
• Angabe zur quantitativen Erfassung des Merkmals eines
Messgerätes, zwischen nahe beieinanderliegenden Messwerten
eindeutig zu unterscheiden.
• Kleinste Änderung des Eingangssignals, die detektiert werden kann.
2.: Prozent vom Messwert
• Messgerätedrift, Drift
• Langsame zeitliche Änderung des Wertes eines messtechnischen
Merkmals eines Messgerätes.
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Kenngrößen
Linearität
• Linearität in Prozent vom Skalenendwert
J. G. Webster (Editor): “The Measurement, Instrumentation, and Sensors
Handbook” CRC Press, 1999.
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Kenngrößen
Linearität
• Linearität in Prozent vom Messwert
J. G. Webster (Editor): “The Measurement, Instrumentation, and Sensors
Handbook” CRC Press, 1999.
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Güteklassen
Lineare Kennlinie
• Die Klassenangabe gibt den zulässigen Anzeigefehler in Prozent vom Messbereichsendwert an.
Messinstrument
Feinmessinstrumente
• Kennlinie: Beschreibt die Ausgangsgröße als
Funktion der Eingangsgröße (statisch)
y = f (x)
Klasse Anzeigefehler
0,1
0,2
0,5
Betriebsmessinstrumente 1
1,5
2,5
5
•
± 0,1%
± 0,2%
± 0,5%
± 1%
±1,5%
± 2,5%
± 5%
z.B. Spannung (Ausgangsgröße y) als Funktion der Kraft (Eingangsgröße
x) oder Widerstand als Funktion der Temperatur
• Angestrebt wird lineare Kennlinie, bei der die
Ausgangsgröße proportional zur Eingangsgröße ist
• y =k⋅x
(1)
•
Tritt eine Konstante auf, nennt man die Kennlinie affin-linear
•
Eine affin-lineare Kennlinie kann durch Subtraktion der Konstanten in eine
lineare (proportionale) Kennlinie überführt werden
y = k ⋅ x + k0
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Lineare Kennlinie
Linearisierung
• Vorteile einer linearen Kennlinie
• Linearisierung
• Ersatz der Kennlinie durch affin-lineare Funktion
• Berechnung einer linearen
Approximation um den
Arbeitspunkt x0
• Konstante Empfindlichkeit
Ausgangsgröße y
• Kalibrierung erfordert wenig aufwand
• Fehlerabschätzung einfach
y = k ⋅ x + k0
y =k⋅x
ylin =
dy
dx
( x − x0 ) + y 0
x0
y
Ausgangsgröße
y
• Besonders einfache Beschreibung
• Nur ein bzw. zwei Parameter werden benötigt
y0
k0
x0
x
Eingangsgröße
x
Eingangsgröße x
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Umkehrspanne
• Empfindlichkeit
• Umkehrspanne
• Änderung des Wertes der Ausgangsgröße eines Messgerätes
bezogen auf die sie verursachende Änderung des Wertes der
Eingangsgröße, d.h. die Ableitung der Ausgangsgröße
Signal Output S y
Ausgangsgröße
150
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Kenngrößen
Empfindlichkeit
• Differenz der Werte, die sich für den gleichen Wert der Messgröße
ergeben, wenn von einem kleineren Wert oder einem größeren Wert
ausgehend gemessen wird
Niedrige Empfindlichkeit
100
S=
50
0
dy
dx
x0
Hohe Empfindlichkeit
0
20
40
60
80
100
Eingangsgröße
Physical Input Xx
P. H. Sydenham,
Handbook of Measurement Science, Vol. 2, Chichester, U.K., John Wiley & Sons, 1983.
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1.5.2 Dynamisches Verhalten
• Ideales Messgerät: Messergebnis folgt Eingangsgröße
ohne Zeitverzögerung
• Reales Messgerät: Zeitverzögerung aufgrund von
Kapazitäten, Massen, Datenverarbeitung
• Dynamischer Fehler: Vorübergehend auftretende
Abweichung aufgrund der Zeitverzögerung
• Tritt nur auf, wenn sich die Eingangsgröße ändert
• Je schneller sich die Eingangsgröße ändert, desto größer die
Auswirkung
Dynamische Fehler
• Zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens wird
standardisiertes Eingangssignal betrachtet
• Wichtiges Eingangssignal: Sprungfunktion
⎧0 für t ≤ 0
x(t ) = ⎨
⎩1 für t > 0
x(t)
y(t)
•
•
•
1. 0 …Tt: y(t) reagiert noch gar nicht
2. Tt…Tt+Tein: y(t) reagiert
3. Tt+Tein…∞: y(t) hat seinen
Endwert (innerhalb Toleranzband)
erreicht
t
Totzeit Tt
Einschwingzeit Tein
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Totzeit, Einschwingzeit
• Je kleiner Tt und Tein, desto kleiner
ist der dynamische Fehler
• Differentialgleichung erster Ordnung
x(t)
K ⋅ x(t ) = y (t ) + T ⋅ y ′(t )
y(t)
• Ideales System:
• Lösung für Sprungfunktion:
t
⎛
− ⎞
γ (t ) = K ⎜1 − e T ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
• Funktionswerte:
t
Totzeit Tt
• Tt = 0
• Tein= 0
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Messsystem 1. Ordnung
Einschwingzeit Tein
• Systeme können klassifiziert werden nach
Differentialgleichungen, die das Zeitverhalten
beschreiben
γ (T ) ≈ 0,63 ⋅ K
γ (2,303 ⋅ T ) ≈ 0,9 ⋅ K
K
K⋅x(t)
y(t)
T
T90 = 2,303 ⋅ T
2T
• Beispiel: Temperatursensor mit endlicher Wärmekapazität
Überschwingen und Dämpfung
Messsystem 2. Ordnung
• Messgeräte, bei denen bewegte Massen auftreten (z.B
Zeigerinstrumente) können oft durch Differentialgleichung
zweiter Ordnung beschrieben werden
• Dimensionslose Darstellung φ (t ) = ξ (t ) + 2 Dξ ′(t ) + ξ ′′(t )
• Zeitverhalten γ(t) hängt stark von Dämpfung D des Systems
ab
• D<1: Überschwingen
D = 0,1
• D>1: Langsame Annäherung
γ(t)
D = 0,3
• In der Messtechnik wird
D = 1 bevorzugt
D=1
D=5
t
15
t
T90: Zeit, die das System benötigt,
um 90 % des Beharrungswertes
anzuzeigen

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