Berechnungen an Pyramiden

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Berechnungen an Pyramiden
Verwendete Symbole:
V – Volumen
AO – Oberfläche
AM - Mantelfläche
AG - Grundfläche
hP - Höhe der Pyramide
sK - Länge einer Seitenkante
hSF – Höhe einer Seitenfläche
e - Diagonale
f - Diagonale
AB - Grundseite a
BC - Grundseite b
V = 1 AG . h P
AO = AG + AM
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Bei Pyramidenberechnungen und entsprechenden Konstruktionen geht es immer um
Vierecke, Dreiecke, Winkelgrößen und den Satz des Pythagoras.
Außerdem gilt der Grundsatz: „Denken ist die erste Bürgerpflicht!“
AUFGABE7
1. Berechne Volumen, Mantel und Oberfläche
einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
a = 10 cm
h = 15 cm
2. Berechne Volumen, Mantel und Oberfläche
einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
a = 8 cm
hSF = 12 cm
3. Eine Pyramide hat ein Volumen von 180 cm³ und eine
Grundfläche mit dem Inhalt 60 cm². Wie hoch ist sie?
4. Welche Grundkantenlänge hat eine quadratische Pyramide die bei einem
Volumen von 363 cm³ eine Höhe von 9 cm hat?
5. Eine quadratische Pyramide hat eine 6 cm lange Grundkante und ist 6 cm hoch.
Wie lang sind ihre Seitenkanten?
6. Eine Pyramide ABCDS hat eine rechteckige Grundfläche mit den Kantenlängen
AB = a = 7,6 cm und BC = b = 6,0 cm. Die Körperhöhe h ist genau so lang wie die
Strecke a.
a) Konstruiere das Schrägbild der Pyramide.
b) Berechne das Volumen der Pyramide.
c) Berechne die Oberfläche der Pyramide.
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7. Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante von 56 mm Länge und eine
Körperhöhe von 72 mm Länge.
a) Berechne das Volumen der Pyramide in Kubikzentimetern.
b) Stelle die Pyramide im Grund-Aufriss-Verfahren dar.
Lege zweckmäßigerweise eine Grundkante parallel zur Rissachse.
c) Ermittele die wahre Länge einer Seitenkante durch Konstruktion oder
durch Rechnung und gib diese in Millimetern an.
8. Eine Pyramide mit der Spitze S hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck
ABCDEF mit einer Seitenlänge von 25 mm. Die Körperhöhe beträgt 60 mm.
a) Stelle den Körper im Grund-Aufriss-Verfahren dar.
b) Ermittele zeichnerisch und rechnerisch die wahre Länge einer Seitenkante.
c) Berechne Volumen und Oberfläche dieser Pyramide.
9. Das Dach eines Turmes hat die Form einer geraden Pyramide. Ihre Grundfläche ist ein
Quadrat mit der Seitenlänge a = 4,4 m. Die Höhe h der Pyramide beträgt 6,1 m.
a) Stellen Sie diese Pyramide im Maßstab 1 : 100 in Kavalierperspektive dar.
b) Das Dach dieses Turmes soll neu gedeckt werden. Für 1m² Dachfläche
sind 54 Ziegel zu planen. Berechne, wie viel Dachziegel insgesamt bereitgestellt werden
müssen.
10. Ein Körper ist aus einem Quader und einer Pyramide zusammengesetzt
(siehe Skizze 1).
a) Berechne das Volumen
dieses zusammengesetzten
Körpers.
b) Stelle diesen Körper in
senkrechter Zweitafelprojektion
im Maßstab 1: 1 dar.
Bezeichne alle Eckpunkte
entsprechend der Skizze.
Skizze 1 ( nicht maßstäblich
)
(Angaben in Zentimeter )
11. Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 6 cm und der
Körperhöhe h = 7 cm.
a) Stelle die Pyramide im Schrägbild dar.
b) Von der gegebenen Pyramide werden unabhängig voneinander folgende Größen
verändert :
( 1 ) die Körperhöhe wird verdoppelt
( 2 ) die Grundkantenlänge wird verdoppelt
( 3 ) sowohl die Grundkantenlänge als auch die Körperhöhe werden halbiert
In welchem Verhältnis steht jeweils das Volumen der Pyramide ( 1 ) , ( 2 ) bzw. ( 3 )
zum Volumen der gegebenen Pyramide?
c) Gib die Grundkantenlänge und Körperhöhe einer Pyramide an, deren Volumen
das 16-fache des Volumens der gegebenen Pyramide ist.
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12. Von einer geraden quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze S kennt man die Länge der
Quadratseite (AB = 17 mm) und die Höhe des Seitenflächendreiecks BCS (h BC = 30 mm).
a) Berechne den Inhalt der Mantelfläche und den Oberflächeninhalt der Pyramide.
b) Berechne das Volumen V und die Pyramidenhöhe h.
13. Die Kante eines Würfels ist 8 cm lang.
Diesem Würfel ist eine Pyramide so
einbeschrieben, dass ihre Spitze mit dem
Mittelpunkt der oberen Würfelfläche
zusammenfällt.
Die Ecken der Grundfläche der Pyramide sind die
Eckpunkte der Würfelgrundfläche.
a) Stelle diesen zusammengesetzten Körper
im Grundriss-Aufriss-Verfahren dar.
b) Berechne Volumen und Oberfläche der
Pyramide.
c) Berechne den Neigungswinkel einer
Seitenfläche gegen eine Würfelfläche.
d) Wie viel Prozent vom Würfelvolumen nimmt
das Pyramidenvolumen ein?
14. Die Kante eines Würfels ist 8 cm lang.
Diesem Würfel ist eine Pyramide so
einbeschrieben, dass ihre Spitze mit dem
Mittelpunkt der oberen Würfelfläche
zusammenfällt.
Die Ecken der Grundfläche der Pyramide sind die
Mittelpunkte der Seiten der Würfelgrundfläche.
a) Stelle diesen zusammengesetzten Körper
im Grundriss-Aufriss-Verfahren dar.
b) Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide.
c) Berechne den Neigungswinkel einer Seitenfläche
gegen die Würfelgrundfläche.
d) Wie viel Prozent vom Würfelvolumen nimmt
das Pyramidenvolumen ein?
15. Eine quadratische Pyramide hat den Oberflächeninhalt von 96 cm².
Ihre Grundkanten sind 6 cm lang.
a) Wie hoch ist sie?
b) Wie groß ist ihr Volumen?
16. Eine Pyramide hat eine Grundfläche von 20 cm² und eine Höhe von 12 cm. Welche Höhe muss
ein volumengleiches Prisma haben, wenn dieses eine halb so große Grundfläche besitzt?
17. Auf wie viel Prozent verändert sich der Rauminhalt einer Pyramide , wenn man bei einer
Grundfläche von 80 cm2 und einer Höhe von 12 cm die Höhe verdoppelt?
18. Bei einer quadratischen Pyramide werden die Grundkanten um 50% vergrößert. Um wie viel
Prozent steigt das Volumen, wenn die Höhe gleich bleibt?
19. Eine Pyramide wird parallel zur Grundfläche in halber Höhe durchgeschnitten. In welchem
Verhältnis stehen die Rauminhalte der beiden Teilkörper zueinander?
© Hartl 1/2013

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