Messunsicherheitsbilanz für die Bereichskalibrierung

Messunsicherheitsbilanz für die
Bereichskalibrierung
Rüdiger Kessel
PTB Braunschweig
[email protected]
Inhalt
• Kalibrierung eines linearen Messprozesses
• Modell des Messprozesses
• Ableitung der Mess- und Kalibriergleichungen
• Messunsicherheitsbudgets
• Messgenauigkeit
• Kalibrierung von nichtlinearen Messprozessen
• Virtueller linearer Messprozess
• Korrekturfunktionen
• Messunsicherheitsbudgets mit Korrekturfunktion
• Messgenauigkeit mit Korrekturfunktion
• Vorhersage der Messunsicherheit
2
Untersuchte Messverfahren
Direkte Messung:
Messgröße
Y
Anzeige
X
Messgerät oder
Messprozess
Im Ersten Schritt: Messprozesse mit linearer Kennlinie
Linearer Messprozess
Messgröße
Anzeige
X
X
Y
Y
3
Modell des linearen Messprozesses
Messgröße
Linearer Messprozess
Anzeige
X
Y
res
Yzero
Nullpunktoffset
Messprozessgleichung:
Messgleichung:
lin(Y)
Kcal
Abweichung Kalibrierfaktor Rundung durch
der Kennlinie
die Anzeige
 Y  Yzero  lin (Y )

round 
,  res   X
Kcal


Yi   X i  X res,i   Kcal  lin (Y )i  Yzero
Im Rahmen der Kalibrierung zu bestimmen:
K cal , Yzero und lin (Y )i
4
Untersuchung eines realen Messgerätes
Punkt
Ycal,i
Xcal,i
Xcal
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0
0.0000
2.0
0.2039
4.0
0.4080
6.0
0.6120
8.0
0.8160
10.0
1.0201
12.0
1.2242
14.0
1.4283
16.0
1.6325
18.0
1.8367
20.0
2.0410
Kennlinie des Messgerätes
Punkt 0 wird zur Bestimmung von
Yzero benutzt.
1.5
1
K cal
0.5
0
0
0.
0
–0.0025
–0.005
Kcal  Xcal – Ycal
5.0
10.0
Punkt 10 wird für die Bestimmung
von Kcal benutzt.
(Annahme Yzero = 0)
Y
 cal,10
X cal,10
15.0
20.0
Ycal
Ycal
Die Residuen werden zur Ableitung
ein Spezifikation für Abweichung
der Kennlinie genutzt:
lin Y i   lin
Residuen – Abweichung der Kennlinie
5
Ableitung der Kalibriergleichungen
Messprozessgleichung:
Kalibrierung mit 2 Punkten:
Y  Yzero  lin (Y )
 X  X res
Kcal
X
X
cal,l
, Ycal,l 
cal,u
, Ycal,u 
(Nullpunkt)
(Bereichsende)
Hinweis: In den Kalibrierpunkten ist die Abweichung der Kennlinie
von einer Geraden per Definition gleich null.
Kcal 
X
Ycal,u  Ycal,l
cal,u
 X res,u    X cal,l  X res,l 
Yzero  Kcal   X cal,l  X res,l   Ycal,l
6
Messunsicherheitsbudgets
Kalibrierfaktor
Größe
Wert
Ycal,10
Xcal,10
Xcal,0
Xres,10
Xres,0
Kcal
20.00000
2.041
0.0
0.0
0.0
9.7991
Standardmessunsicherheit
Sensitivitätskoeffizient
Unsicherheitsbeitrag
Beitragskoeffizient
2.3×10–3
0.49
1.1×10–3
97.1 %
29×10–6
29×10–6
1.1×10–3
–4.8
4.8
–140×10–6
140×10–6
1.5 %
1.5 %
Standardmessunsicherheit
Sensitivitätskoeffizient
Unsicherheitsbeitrag
Beitragskoeffizient
29×10–6
1.1×10–3
–1.0
1.0
–29×10–6
1.1×10–3
0.0 %
13.0 %
29×10–6
2.9×10–3
3.1×10–3
9.8
–1.0
280×10–6
–2.9×10–3
0.8 %
86.1 %
Messung in der Mitte des Bereichs
Größe
Wert
Yzero
Kcal
X5
Xres,5
linY),5
Y5
0.0
9.7991
1.0201
0.0
0.0
9.9961
7
Messgenauigkeit des Messgerätes
Größe
Y0
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Wert
0.0
1.9980
3.9980
5.9971
7.9961
9.9961
11.9961
13.9961
15.9971
17.9980
20.0000
Erweiterte
Unsicherheit
Erweiterungsfaktor
–3
5.8×10
5.8×10–3
5.9×10–3
6.0×10–3
6.1×10–3
6.2×10–3
6.4×10–3
6.6×10–3
6.9×10–3
7.1×10–3
7.4×10–3
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
Ablesungen müssen mit
Kcal = 9,7991 multipliziert werden,
dann kann über den gesamten
Bereich eine Messunsicherheit
kleiner gleich 7,4  10-3 erreicht
werden
und die Messabweichungen
liegen innerhalb der erweiterten
Messunscherheit.
Y = Y  Ycal
Eine Vorhersage der
Messunsicherheit ist möglich.
0.005
0
Messgenauigkeit wird als
Vorhersage der Messunsicherheit
verstanden.
–0.005
–0.01
0
5
10
15
20Y
8
Nichtlineare Messgeräte
Virtueller linearer Messprozess
Messgerät
Nichtlineare Korrektur
X
flin(X)
X
Y
flin(X)
X
Y
Messprozessgleichung:
Messgleichung:
Kalibriergleichungen:
Y  Yzero  lin (Y )
 f lin  X  X res 
Kcal
Yi  flin  X i  X res,i   Kcal  lin (Y )i  Yzero
Kcal 
Ycal,u  Ycal,l
f lin  X cal,u  X res,u   f lin  X cal,l  X res,l 
Yzero  Kcal  flin  X cal,l  X res,l   Ycal,l
9
Beispiel für eine Korrekturfunktion
flin  X   a  b  X  c  X 2  d  X 3
a
b
c
d
=
=
=
=
0
9.806
–2.251×10–3
–5.753×10–4
Die Parameter der Funktion wurden aus den Kalibrierpunkten durch
Regression bestimmt.
Die Unsicherheit der Parameter a, b, c und d hat keinen Einfluss auf die
Messungen mit der Korrekturfunktion.
Es existieren (beliebig) viele Korrekturfunktionen, die die Linearität
verbessern. Nachdem eine Funktion gewählt wurde, ist die Funktion
vollständig bekannt.
10
Abweichung von der linearen Kennlinie
K cal  f lin X cal   Yzero  Ycal
Residuen nach der
Anwendung der
Korrekturfunktion.
0.0007
0
–0.0007
0
5
10
15
20
Ycal
Die Korrekturfunktion hat
die Abweichung von einer
linearen Kennlinie deutlich
reduziert.
Die Spezifikation für die Grenze der möglichen Abweichung von einer linearen
Kennlinie kann auf lin = 0.0007 reduziert werden.
lin Y i   lin
11
Messunsicherheitsbudgets mit Korrektur
Kalibrierfaktor
Größe
Wert
Ycal,10
Xcal,10
Xcal,0
Xres,10
Xres,0
Kcal
20.00000
2.041
0.0
0.0
0.0
1.00001
Standardmess
unsicherheit
Sensitivitätskoeffizient
Unsicherheits
beitrag
Beitragskoeffizient
2.3×10–3
0.050
120×10–6
97.1 %
29×10–6
29×10–6
120×10–6
–0.49
0.49
–14×10–6
14×10–6
1.5 %
1.5 %
Standardmessunsicherheit
Sensitivitätskoeffizient
Unsicherheitsbeitrag
Beitragskoeffizient
29×10–6
120×10–6
280×10–6
400×10–6
1.3×10–3
9.8
10
–1.0
–1.0
280×10–6
1.2×10–3
–280×10–6
–400×10–6
5.0 %
82.4 %
2.5 %
10.1 %
Messung in der Mitte des Bereichs
Größe
Wert
X5
Xres,5
Kcal
Yzero
linY),5
Y5
1.0201
0.0
1.00001
0.0
0.0
10.0003
12
Messgenauigkeit des Messgerätes
mit Korrektur
Größe
Wert
Y0
0.0
Y1
1.9994
Y2
4.0005
Y3
6.0004
Y4
8.0000
Y5
10.0003
Y6
12.0002
Y7
13.9998
Y8
16.0000
Y9
17.9997
Y10
20.0000
Y = Y  Ycal
Erweiterte
Unsicherheit
Erweiterungsfaktor
990×10–6
1.2×10–3
1.4×10–3
1.8×10–3
2.1×10–3
2.5×10–3
3.0×10–3
3.4×10–3
3.8×10–3
4.3×10–3
4.7×10–3
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
Ablesungen müssen mit flin(X)
korregiert werden.
flin  X   a  b  X  c  X 2  d  X 3
a = 0
b = 9.806
c = –2.251×10–3
d = –5.753×10–4
Eine Vorhersage der
Messunsicherheit ist möglich,
allerdings hängt die
Messunsicherheit deutlich vom
Messwert ab.
0.005
0
–0.005
–0.01
0
5
10
15
20
Y
13
Entwicklung einer Spezifikation für die
Vorhersage der Messunsicherheit
U(Y), kp95 = 2.0
0.0048
UpredY   0.00019  Y  0.001
Anpassung einer
einhüllenden Gerade an
die berechneten
Messunsicherheiten.
0.0024
0
0
5
10
15

20
Y
Y  1.00001 9.806  X  2.251103  X 2  5.753 104  X 3
Upred (Y )  0.00019  Y  0.001

(kp95 = 2.0)
14
Zusammenfassung
• Lineare Messprozesse sind die Voraussetzung für die
Bereichskalibrierung
• Lineare Messprozesse lassen sich mit Hilfe von 2
Punkten kalibrieren
• Die Abweichung der Kennlinie von einer Geraden muss
bestimmt werden. Dazu sind ggf. weitere Informationen
(Messpunkte) notwendig.
• Mit Hilfe von nichtlinearen Korrekturfunktionen kann die
Abweichung der Kennlinie von einer Geraden reduziert
werden.
• Mit Hilfe der Daten aus der Bereichskalibrierung kann in
vielen Fällen die Messunsicherheit vorhergesagt werden.
15

Download Report