Aufgabe A 1.20 (Lösung)
A = {1, 2, 3, 4}, T = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
Graphische Darstellung der Relation T ⊆ A × A
Variante 1: Pfeildarstellung
1
2
3
4 (A)
Variante 2: Koordinatensystem
(A) 4
3
2
1
1
2
3
4 (A)
a) Die reflexive Hülle Trefl von T ist die Relation T ∪ I A .
Dabei ist I A = {( x, x ) | x ∈ A} die Identitätsrelation. Es ergibt sich
Trefl = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
1
2
(A) 4
4 (A)
3
3
2
1
1
2
3
4 (A)
2
3
4 (A)
b) Die symmetrische Hülle Tsymm von T ist T ∪ T −1 . Man erhält
Tsymm = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}
(A) 4
1
2
3
4 (A)
3
2
1
∞
1
c) Die transitive Hülle T+ von T ist T j , mit T2 = T T ={(1, 3), (2, 4)},
j=1
T3 = (T T) T ={(1, 4)}, T j = Φ (j = 4, 5, …). Man erhält
T+ = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (2, 4), (1, 4)}.
1
2
3
4 (A)
T+ stellt eine strikte Ordnungsrelation dar.
Die Pfeildarstellung von T allein (s. o.) ist
das sogenannte HASSE-Diagramm, in dem
nur die direkten Verbindungen (ohne
Zwischenglieder) eingezeichnet werden.
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