Statistik - WING ASW Aufgabe 1 - Sommersemester 2013 - 2 3 4 5 Melanie Kaspar 6 7 8 Punkte Summe Punkte Gesamtpunkte: Nachklausur Statistik Hinweise: • Die Klausur besteht aus 5 Seiten mit insgesamt 10 Aufgaben. Sie müssen aus jeder der beiden Kategorien jeweils 3 Aufgaben lösen, d.h. insgesamt 6 Aufgaben lösen. Maximal sind 100 Punkte erreichbar, in jeder Kategorie 50 Punkte. • Bearbeitungszeit: 120 Minuten. • Geben Sie immer den Lösungsweg an! • Zugelassene Hilfsmittel: – Nicht programmierbarer Taschenrechner – Formelsammlungen “Deskriptive Statistik” und “Wahrscheinlichkeitsrechnung” – Tabelle “Normalverteilung” Viel Erfolg! 1 9 10 Statistik - WING ASW - Sommersemester 2013 - Melanie Kaspar Teil Deskriptive Statistik - 3 aus 5 Aufgaben lösen Aufgabe 1 20 Punkte (10 P + 4P + 6P) Es wurde die Durchlaufzeit von 30 Signalen (in ms) durch ein Übertragungssystem gemessen. Das Ergebnis zeigt folgende Tabelle: a) Stellen Sie eine Klassenhäufigkeitsverteilung auf und skizzieren Sie das Histogramm. Achten Sie dabei auf die korrekte Beschriftung der Achsen. b) Geben Sie auf Basis der oben genannten Tabelle einen Wert für den Median und den Modus der Durchlaufzeit an. c) Geben Sie auf Basis des Histogramms / der Klassenhäufigkeitsverteilung Näherungswerte für den Median und das arithmetische Mittel der Durchlaufzeit an. Aufgabe 2 15 Punkte (12,5P + 2,5P) a) Geben Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate eine geeignete Funk1 an, die für folgende Meßdatenpaare tion vom Typ f (x) = a0 + a1 · x+1 (xi ,yi ), i = 1, ..5 am besten passt: xi yi 0 3 0 2 1 2 2 2 2 3 b) Welchen Beobachtungswert für y sagen Sie an der Stelle x = 3 voraus? 2 Statistik - WING ASW - Sommersemester 2013 - Melanie Kaspar Aufgabe 3 15 Punkte Im Jahr 2013 haben in der Karnevalszeit von 1000 Autofahrern 180 einen Unfall verursacht. Davon hatten 30% Alkohol im Blut. Man weiß darüber hinaus, dass der Prozentsatz der Autofahrer insgesamt, die in der Karnevalszeit unter Alkohol fahren, bei 20% liegt. D.h., wir nehmen an, dass 200 der 1000 betrachteten Autofahrer unter Alkohol gefahren sind. Untersuchen Sie, ob das Merkmal “Alkohol im Blut” vom Merkmal “Unfall” stochastisch unabhängig ist oder nicht! Tipp: Stellen Sie im ersten Schritt aus den Angaben im Text eine zweidimensionale Häufigkeitstabelle auf. Aufgabe 4 15 Punkte In einer Stadt wurde an 4 ausgewählten Tagen die durchschnittliche Außentemperatur und der Stromabsatz des Elektrizitätswerkes festgestellt: Untersuchen Sie mit einem geeigneten Maß, ob mit sinkenden Temperaturen der Stromverbrauch linear zunimmt! Aufgabe 5 15 Punkte 6 Personen wurden nach Ihrem Alter (Jahre) und nach der persönlichen Bedeutung, die ein Sport-Produkt für sie hat befragt. Die Bedeutung wurde auf einer Skala von –2,-1, 0,1,2 bewertet, dabei bedeutet -2 = sehr wenig, ...., +2 = sehr hoch. Diese Bewertungen werden Ihrem Alter gegenüber gestellt: Bedeutung Alter 1 47 2 60 -2 20 0 50 1 45 -1 21 Wie bewerten Sie die Behauptung, dass die Bedeutung des Produktes mit steigendem Alter sinkt? 3 Statistik - WING ASW - Sommersemester 2013 - Melanie Kaspar Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung - 3 aus 5 Aufgaben lösen Aufgabe 6 20 Punkte (je 5 Punkte) In einem Lebensmittelladen befinden sich in einem Posten von 50 Lebensmittelpackungen der Firma XYZ 5 abgelaufene Packungen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Käufer, der (a) eine dieser Packungen kauft, eine abgelaufene Packung erhält? (b) mit wie vielen Packungen muss man im Durchschnitt rechnen? b) Im Laden steht eine Inventur an. Dabei wird auch das Haltbarkeitsdatum überprüft. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite überprüfte Packung abgelaufen ist? (b) Bei wie vielen Packungen muss man durchschnittlich das Haltbarkeitsdatum überprüfen, bis man die erste nicht mehr haltbare Packung findet? Aufgabe 7 15 Punkte Es wird mit 4 gleichmäßigen Würfeln gewürfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Mindestens einer der 4 Würfel zeigt eine Sechs. b) Höchstens einer der 4 Würfel zeigt eine Sechs. c) Es wurden genau 3 Sechsen gewürfelt. Aufgabe 8 15 Punkte Eine Krankheit kommt bei ca. 5% der Bevölkerung vor. Ein Test zur Erkennung der Krankheit führt bei 99% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 2% der Gesunden. a) In wieviel Prozent aller Fälle tritt bei dem Test eine Reaktion ein? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, die Krankheit wirklich hat? 4 Statistik - WING ASW - Sommersemester 2013 - Melanie Kaspar Aufgabe 9 15 Punkte Bei der Produktion von Rohren schwankt der Normwert des Innendurchmessers X wie folgt normalverteilt um 100mm: X ∼ N (100, (0, 1)2 ). Alle Rohre, deren Innendurchmesser nicht im Intervall [99, 85; 100, 15] mm liegen, gelten als Ausschuß! a) Berechnen Sie die Ausschußrate (Anteil aller Rohre, die Ausschuss sind) der Produktion! b) Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100 mm herum, d.h. das ǫ, so dass genau 1% aller Rohre außerhalb des Toleranzbereiches [100 − ǫ, 100 + ǫ] liegen! Aufgabe 10 15 Punkte Auf der Kirmes wird Ihnen folgendes Spiel angeboten: Sie werfen mit 2 Würfeln. Fällt eine Doppelsechs, so gewinnen Sie 20 Euro. Ist die Augensumme der beiden Würfel 3, so gewinnen Sie immerhin noch 5 Euro und sind beide Augenzahlen ungerade, so bekommen Sie als Trost noch 50 Cent. Ihr Einsatz pro Spiel beträgt dabei 2 Euro. Würden Sie dieses Spiel spielen, d.h. ist Ihr erwarteter Gewinn größer als der Einsatz? 5
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