Ähnlichkeit 9 Mathematische Inhalte Im Auge behalten Zentrische Streckung Ähnlichkeitsabbildung Vergrössern und verkleinern in der Ebene Beziehung zur Proportionalität der Längen verhältnisse aufzeigen und V olumen ist nicht proportional. und im Raum 23 9 22 Ähnlichkeit Die Texte ungsmittel. Weise ein Gestalt in gewisser gramms sind Buchstaben en eines Textpro weil gleiche h» eine exakte edenen Schrift uns lesbar, Begriff «ähnlic Die verschi Schrift für atik hat der geänderter Form haben. In der Mathem bleiben trotz die gleiche verwandt sind. , wenn sie ähnlich oder sind ähnlich Zwei Figuren g. zentrische Streckun f erzeugt, heisst g, die der Pantogra Die Abbildun Streckzentrum. steckt, heisst tor. dem die Nadel heisst Streckfak ert werden, Der Punkt, in Längen vergröss welchem die Der Faktor, mit tionalitätsfaktor. er ähnlich. t dem Propor gur zueinand Er entsprich gur und Bildfi Originalfi er proportional. g nennt man sind zueinand Bei einer Streckun hender Strecken sich entsprec Die Längen Streckung Bedeutung: heissen Zwei Figuren sie kongruent, wenn sind, d. h., deckungsgleich Form und wenn sie in timmen. Grösse übereins Buchstaben ng deiner Abbildu und verkleinern Vergrössern 6 in der Ebene er vergrössern oder am Comput einem Kopierer erungsgeräte, sich leicht mit ische Vergröss t du Figuren lassen dazu mechan Dazu brauchs ern. Früher dienten n Pantografen. und verklein del und Baue einen einfache eine Steckna der Pantograf. Textilklebeband, zum Beispiel – 25 cm Länge, chen von 20 vier Grillstäb Zeichenmappe). (zum Beispiel nterlage eine Kartonu 4 und verkleinern im Raum kleinen Kubis? Oberfläche des besteht die Kubis? Würfelseiten äche des grossen A Aus wie vielen besteht die Oberfl Würfelseiten kleine Kubi? B Aus wie vielen besteht das Würfeln C Aus wie vielen das grosse Kubi? Würfeln besteht D Aus wie vielen ModelltierDas sind «Kubis», Beide Kubis chen aus Würfeln. Form. Das haben die gleiche hoch, ist 3-mal so grosse Kubi und 3-mal so 3-mal so lang kleine. breit wie das 7 kleine Kubi. ere damit das 10 und vergröss zwischen 1 und Kubis? anderen Faktor äche des neuen Wähle einen besteht die Oberfl Würfelseiten A Aus wie vielen das neue Kubi? man mit Würfeln besteht allgemein, wenn B Aus wie vielen äche und Volumen rn sich Oberfl C Wie verände 1 liegt? k streckt? dem Faktor zwischen 0 und k Faktor t, wenn der D Was geschieh 8 B Beschreibe 2 1 4 3 9 afen e deinen Pantogr Unterlage. Befestig geeignete dargestellt. (A3) auf eine nächsten Seite grosses Blatt nd wie auf der A Lege ein Stück Klebeba und einem ABC. mit der Nadel verfolge, Nadel ein Dreieck afen ab und der Nähe der Gelenk des Pantogr B Zeichne in dem oberen Dreieck mit C Taste das rechten Spitze Ende macht. C an der äusseren ab. punkten A, B, was das rechte Dreiecksseiten teten Original Punkte auf den den abgetas einige weitere D Zeichne zu Bilde ebenso te A’, B’, C’. stellst du fest? Bildpunk die Dreieck. Was te zu einem fest? die Bildpunk Was stellst du E Verbinde Bildpunkte. und Original F Verbinde mskelette eines Die Vorderar eines Hundes, Elefanten und , Grösse gebracht auf gleiche dass machen deutlich, sein verhältni schwere Tiere Skelett robusteres mässig viel als grosse Körper. mehr Oberfläche ustausch is zum Volumen für den Wärmea he Oberfläche haben im Verhältn Tiere zusätzlic Kleine Körper en müssen grosse überhitzt. In heissen Gegend Körper nicht kann, damit sich der cm hoch springen entwickeln, Floh etwa 20 » 2 mm grosser springen können. et: «Wenn ein über ein Haus Mühe Jemand behaupt ohne engrosser Floh müsste ein mensch du dazu? Was meinst Andere geometrische Abbildungen, z. B. Kongruenzen benötigen. 06.05.15 08:02 Zusammenhäng s_LUs.indd 84011_mathbuch_sb_plu e ähnlicher erkennen und im Raum der Ebene Figuren in 22-23 Mögliche Lernsicherung Form und Raum Grössen, Funktionen, Daten und Zufall n u ✕ ✕ ✕ Würfel, Klebeband oder Leim, Holzstäbchen, Karton als Unterlage, Stecknadeln, Fotokopiergerät, Papier in verschiedenen DIN-Formaten, Couverts in DIN-Formaten Lexikon und Begriffe Ähnlich, kongruent, Streckung, Streckzentrum, Streckfaktor, DIN-Format g n u Querverbindungen jeweils . Vergleiche Kubis wachsen n, grösseren ihre Längen, in Bezug auf ähnlicher Figuren entsprechende Eigenschaften allgemein die . und Volumen Winkel, Flächen ähnliche . kleine Kubi zu A Lass das und Volumen Längen, Flächen 5 Die Ähnlichkeit ist neben der Kongruenz eine im Alltag häufig vorkommende geometrische Abbildung, beispielsweise bei der Erstellung massstabgetreuer Pläne oder Modelle. Dabei ist der zentrale Inhalt, dass bei einer Vergrösserung mit dem Faktor k (k > 1) die Längen k-mal so gross, die Flächen k 2-mal so gross und die Volumen k 3-mal so gross werden. Gleiches gilt bei Verkleinerung (k < 1). Dieses grundlegende Verständnis der Ähnlichkeit ist am besten mit Handlungen zu erreichen. Für die entsprechende Erfahrung in der Ebene kann ein Pantograf gebaut werden oder man kann mit einem Fotokopiergerät Vergrösserungen und Verkleinerungen durchführen und die Auswirkungen des Streckfaktors auf Strecken und Flächen hinterfragen. Für die entsprechende räumliche Erfahrung wird vorgeschlagen, eine Figur, bestehend aus Würfeln, mit einem vorgegebenen Faktor zu vergrössern. Proportionalität Quadratische und kubische Funktionen LU 8 «Ecco!» Projekt: LU 30 «Regelmässige Körper» Vernetzung Als Anwendung kann man anschliessend verschiedene Formate untersuchen. Besonders geeignet ist die Unter suchung der DIN-A-Formate. Es erlaubt Einblick in die Festlegung von Normen, welche bei zunehmender Globalisierung an Bedeutung gewinnen. Es ist auch gut möglich, entsprechende Erfahrungen am Computer zu sammeln. Zur Heterogenität t Hilfsmittel ktor und den Streckfa Verhältnis stehen 4F. . In welchem aus Aufgabe der beiden Dreiecke die Umfänge B Vergleiche Verhältnis stehen sind. kongruent sind. benpaare, die Sinn ähnlich A Suche Buchsta im mathematischen benpaare, die B Suche Buchsta Stäben ein V-Stück Stelle aus zwei Stäben mit zwei weiteren 1 _ her (1). Bilde Seite = 3 gramm: kurze 2 des Stabes (2). ein Parallelo _ lange Seite = 3 des Stabes, Lege die Stäbe die Gelenke: nd Konstruiere das Klebeba Abstand auf mit ca. 2 mm e das (3). Befestig ein sie und wickle Klebeband tück (4) mit Parallelogramms die sind 5 Bei . (5) auf dem V-Stück . llen sichtbar neuen Klebeste Tätigkeitsbereiche LP 21 Mathematisieren und Darstellen ntrum e das Streckze A Bestimm . In welchem er? sie zueinand der beiden Dreiecke die Flächeninhalte C Vergleiche er? anderen Figur. sie zueinand ent mit einer das Experim Wiederhole Bauanleitung Massstab Modellbau Formate Geografische Karten Baupläne Erforschen und Argumentieren unterscheiden worin sie sich D 2 3 Anwendungsfelder 5 untersuchen beschreibe, ein Paar und 14 A jeweils Wähle aus den haben. gemeinsam und was sie 1 14 13 12 11 10 9 8 Vergrössern Operieren und Benennen 5 4 3 2 1 7 6 s s a F e t r 5 e 1 i 0 g i 2 r i r n o u k J heissen Zwei Figuren sie in der ähnlich, wenn timmen, d. h., Form übereins Figur wenn die kleinere getreues durch massstab kongruent zur Vergrössern gemacht Figur anderen Bei ähnlichen werden kann. die Längen sind Figuren hender sich entsprec er prozueinand Strecken portional. Zahl und Variable Hinweise zum Vorgehen Vergrössern und verkleinern von Flächen Davor Zu einem Quader sind die Seitenlängen gegeben. mathbuch 2 LU 10 «Dreiecke – Vierecke» LU 19 «Grundfläche · Höhe» Der Quader wird mit einem Streckfaktor, z. B. k = 4, vergrössert, mit einem zweiten Streckfaktor, z. B. k = __ 14 , verkleinert. Die Lernenden berechnen und skizzieren die Längen, die Oberfläche und das Volumen des vergrösserten bzw. verkleinerten Quaders. Mindestanforderungen: –– Die Grundidee, dass Längen mit dem Faktor k, Flächen mit dem Faktor k 2 und Volumen mit dem Faktor k 3 vergrössert bzw. verkleinert werden, ist in den Berechnungen ersichtlich. –– Die Rechnungen mit illustrativen Skizzen unterstützen Lernkontrolle: «Teste dich selbst» Lernzielkontrolle Einbettung im Schuljahr Lernstandserhebung LU 4 «Formeln für Formen» Grundlegung LU 14 «Pyramide und Kegel» Vertiefung LU 24 «Grösse – Lage – Form» t Rechentraining «Massstab – Ähnlichkeit» Kopfgeometrie Ich kann … Zusätzlich kann ich … jemandem den Unterschied zwischen kongruenten und ähnlichen Figuren erklären. eine Figur von einem Punkt aus auch mit einem negativen Streckfaktor vergrössern oder verkleinern. eine Figur von einem Punkt aus mit einem Streckfaktor ver grössern oder verkleinern. an Beispielen erklären, dass die Fläche einer mit dem Streck faktor k vergrösserten oder verkleinerten Figur mit dem Faktor k 2 vergrössert oder verkleinert wird. an Beispielen erklären, dass das Volumen einer mit dem Streckfaktor k vergrösserten oder verkleinerten Figur mit dem Faktor k 3 vergrössert oder verkleinert wird. anhand der Seitenlängen zweier Dreiecke entscheiden, ob sie ähnlich sind oder nicht. Längen, Flächen, Winkel und Volumen einer zu einer gege benen Figur ähnlichen Figur bei bekanntem Streckfaktor be rechnen. begründen, warum die Papier formate A0 bis A6 zueinander ähnlich sind. Voraussetzungen Keine besonderen Voraussetzungen notwendig, Kenntnisse von Kongruenzabbildungen sinnvoll Zusammenhänge ähnlicher Figuren in der Ebene und im Raum erkennen Angebot online D209-01
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