Übungsaufgabe zum 07.12.2015 Hinweis: Die Geschwindigkeit v stellt die zeitliche Änderungsrate des Weges dar. Die Ableitung der Weg-‐Zeit-‐Funktion s(t) ist die Geschwindigkeit-‐Zeit-‐Funktion v(t) eines Bewegungsprozesses. Δs s(b) − s(a) Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [ a;b] : v = = Δx b−a Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 : v(t 0 ) = sʹ′( t 0 ) = lim t → t0 s(t) − s(t 0 ) t − t0 € m 1. Ein Pfeil wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 30 senkrecht abgeschlossen. € s Unter dem Einfluss der Schwerkraft lässt sich die Flughöhe des Pfeils durch die Weg-‐ Zeit-‐Funktion s(t) = 30t − 5t 2 beschreiben. Die Körpergröße des Schützen kann vernachlässigt werden. € a. Zeichnen Sie die Weg-‐Zeit-‐Funktion s und die Geschwindigkeits-‐Zeit-‐Funktion v. b. Wie hoch ist der Pfeil nach einer Flugzeit von 4s, fällt er oder steigt er? € hat er seine maximale Flughöhe erreicht? Wie groß ist diese? c. Wann d. Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Pfeil auf dem Boden auf? 1 16 2. Gegeben sei die Funktion f mit f (x) = − x 3 − x 2 + . 6 3 a. Ermitteln Sie die Gleichung der Wendenormalen. In welchen weiteren Punkten schneidet die Wendenormale den Graphen von f? € b. Für −5 ≤ x ≤ 0 beschreibt der Graph von f modellhaft den Querschnitt einer Senke. Am tiefsten Punkt wird ein Osterfeuer angezündet. Bestimmen Sie diesen Punkt. c. Eine Einheit entspricht 10m im Gelände. Wie hoch muss eine Aussichtsplattform € am rechten Rand der Senke mindestens sein, damit eine Person, deren Augenhöhe 1,67 m beträgt, von dort das Feuer beobachten kann? 3. Gegeben sei die Funktion f mit f (x) = x 4 − 6,25x 2 + 9 . a. Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen und Symmetrie. b. Die Wendetangenten bilden mit der x-‐Achse ein Dreieck. Bestimmen Sie die € Eckpunkte und Innenwinkel dieses Dreiecks. c. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel g mit dem Scheitel S(0/9) und den Nullstellen x1 = -‐1,5 und x2 = 1,5.
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