astro-STEOP Beispiele zum Thema Rechnen mit Potenzen - POT I + II Rechnen mit Potenzen - Beispielangaben zu POT I & II Unter Rechnen mit Potenzen verstehen wir grob Rechenoperationen, wo Hochzahlen1 vorkommen. Wir bezeichnen die auftretenden Symbole folgendermaßen. Definition: xn sei eine Potenz, deren Basis x und deren Exponent n ist. Die Potenz xn kann als die Rechenoperation verstanden werden, n mal die Basis x mit sich selbst zu multiplizieren. Ein negativer Exponent −n bedeutet n-fache Division. das heißt x−n = 1/xn und rationale2 Exponenten √ n m/n m bedeuten x = x . Einige Rechenregeln zur Wiederholung: xn · x xn x xn · x−m (x · y)n = xn+1 = xn−1 = xn−m = xn · y n In Abbildung 1 sind Graphen positiver und negativer Potenzen abgebildet. Die Funktion x im linken Bild sowie x−1 = 1/x im rechten Bild ist schwarz gestrichelt. x1/2 (links) und x−1/2 (rechts) sind grau durchgezogen, x2 (links) und x−2 (rechts) sind grau gepunktet und x3 (links) und x−3 rechts sind schwarz durchgezogen gezeichnet. Auffällig ist, dass alle positiven Potenzen durch den Nullpunkt sowie den Punkt (1, 1) gehen und -2 2.5 2.5 2.0 2.0 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1 -1 2 -2 1 -1 -0.5 -0.5 -1.0 -1.0 (a) 2 (b) Abbildung 1: Graphen positiver und negativer Potenzen allen negativen Potenzen nie den Nullpunkt erreichen und durch (1, 1) gehen. Potenzen treten in der Physik und der Astronomie sehr häufig in Form von Gesetzen und Beziehungen zwischen Funktionen und ihren Variablen. Ein einfaches Beispiel aus der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v. Die kinetische Energie als Funktion dieser beiden Variablen ist dann durch Ekin (m, v) = mv 2 /2 gegeben. Ein Beispiel aus der modernen Physik (19. Jhd) ist das StefanBoltzmann-Gesetz, wo die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers mit strahlender Fläche A als Funktion von Fläche und Temperatur durch P (A, T ) = σAT 4 gegeben ist, wobei σ die sogenannte Stefan-BoltzmannKonstante3 ist. Im Folgenden werden drei astronomische Beispiele zum Rechnen mit ganzzahligen und rationalen Potenzen vorgestellt. Auf dem Lösungsblatt finden sich einige astrophysikalische Hintergründe und Zusatzinfos zu den herzuleitenden Beziehungen sowie Interpretationen der Ergebnisse. Für die mathematische Lösung der Aufgaben ist eine Kenntnis bzw. ein Verständnis der vorkommenden physikalischen Begriffe nicht nötig. 1 Wir beschränken uns hier auf reelle Basen x, für die komplexen Zahlen wird es gerade bei den Wurzeln dann etwas komplizierter. 2 Rationale Zahlen sind gebrochene ganze Zahlen, also zum Beispiel 7/5 . 3 Die Stefan-Boltzmann-Konstante ist eine wichtige Naturkonstante, ihr Wert ist σ = 5.67 · 10−8 W . m2 K astro-STEOP http://www.univie.ac.at/astro-steop/ 1 astro-STEOP Beispiele zum Thema Rechnen mit Potenzen - POT I + II Beispiel POT I: Bestimmung der Frei-Fall-Zeit Im ersten Beispiel soll ein bisschen Fingerfertigkeit im Umgang mit Potenzen geübt werden. Ausgangspunkt bietet eine astrophysikalische Beziehung für die Frei-Fall-Zeit bzw. -Zeitskala. Das ist die hypothetische Zeit, die eine Kugel aus Gas benötigen würde, um unter ihrer eigenen Schwerkraft zusammen zu fallen, wenn es keine Gegenkraft (Gasdruck) gibt4 . Behauptung: Die Frei-Fall-Zeitskala tff ist gegeben durch r 3π tff (ρ) = 32Gρ (1) wobei G die Gravitationskonstante und ρ die Dichte (= Masse/Volumen) des Gases bezeichnet. Die Dichte als physikalische Variable kommt in der Astrophysik sehr häufig und in ganz unterschiedlichen Größenordnungen vor. So zeigt sich im intergalaktischen Raum, also den Bereichen zwischen Galaxien eine Dichte von nur einem Wasserstoffatom pro Kubikmeter, d.h. etwa 1.6 · 10−27 kg/m3 , in extrem kompakten Sternresten, sogenannten Neutronensternen werden Dichten von bis zu 1018 kg/m3 vermutet. Die (Massen)Dichte ist dabei nichts anderes als die Masse pro Volumen und obige Beziehung für tff lässt sich daher auch leicht in andere Variablen umschreiben. Aufgabe 1: Bestimmt die Frei-Fall-Zeit tff als Funktion der Masse M und des Radius R einer Kugel, wobei Masse und Radius mit rationalen Exponenten angegeben werden sollen. Aufgabe 2: Wie groß ist die Frei-Fall-Zeit für einen Gasnebel mit der Dichte ρ = 3.2 · 10−19 kg/m3 in Jahren? 3 Die Gravitationskonstante G = 6.67 · 10−11 kgms2 . Beispiel POT II: Das Jeans-Kriterium Die Frei-Fall-Zeit ist eine erste Abschätzung, wie lange eine Gaswolke unter dem Einfluss ihrer eigenen Schwerkraft zum Kollabieren benötigt, wenn man den Gasdruck quasi ausschaltet. Eine bereits etwas fortgeschrittenere bzw. realistischere Frage aus der Theorie zur Sternentstehung ist, unter welchen Bedingungen eine Gaskugel der Dichte ρ mit einer gewissen Temperatur T (und einem damit verbundenen Gasdruck) zu kollabieren beginnt. In diesem Fall gibt es mit dem Gasdruck eine Gegenkraft zur Schwerkraft, die das Zusammenfallen zumindest erschwert. Der Kollaps findet dann statt, wenn entweder die Dichte und damit die Schwerkraft groß , oder die Temperatur und damit der Gasdruck klein wird. Wird dieses Jeans-Kriterium (benannt nach James Jeans) als Bedingung für die Ausdehnung einer solchen Gaswolke ausgedrückt, erhalten wir die sogenannte Jeans-Länge. Abbildung 2: Jeans-Länge einer Gaswolke Behauptung: Die Jeans-Länge λJ einer Gaswolke mit Dichte ρ und Temperatur T , ab welcher der Gasdruck den Kollaps nicht mehr verhindern kann, ist gegeben durch s T λJ (T, ρ) = c , (2) ρ wobei sich die Konstante c aus mehreren Naturkonstanten und Eigenschaften des Gases zusammensetzt. 4 2 Auf dem Lösungsblatt wird herausgearbeitet, warum diese Frage für die Sternentstehung interessant ist. astro-STEOP http://www.univie.ac.at/astro-steop/ astro-STEOP Beispiele zum Thema Rechnen mit Potenzen - POT I + II Wenn wir mit λJ die kritische Ausdehnung einer Wolke bezeichnen und annehmen, dass diese kugelförmig ist, λJ 3 dann ist λ2J ihr Radius bzw. 4π 3 ( 2 ) ihr Volumen. Die Jeans-Masse ist nach der Formel Masse = Dichte × Volumen folgendermaßen definiert. Definition: Die kritische Jeans-Masse MJ , aber der eine Gaswolke mit Dichte ρ und Ausdehnung λJ kollabiert, ist 3 π 4π λJ MJ (ρ, λJ ) = ρ = ρλ3J . (3) 3 2 6 Aufgabe 3: Wie lautet die die Jeans-Masse MJ als Funktion der Temperatur T und der Dichte ρ. Gib die Formel wieder mit Hilfe rationaler Exponenten an. Hinweise zur Bearbeitung Tipp: Für Aufgabe 1 und Aufgabe 3 empfiehlt es sich, gleich mit rationalen Exponenten nach der Formel √ xm/n = n xm zu rechnen. Tipp: Man sollte eigentlich mit den oben angeführten Rechenregel für Potenzen auskommen. Tipp: Nicht vergessen, auch die Einheiten der Variablen zu potenzieren. astro-STEOP http://www.univie.ac.at/astro-steop/ 3
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