Die Hamilton-Jacobi

Kapitel 7
Die Hamilton-Jacobi-Theorie
Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz
7.1
Einleitung
Um die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen
q̇k
ṗk
∂H(q, p)
∂pk
∂H(p, q)
= −
∂qk
=
zu vereinfachen, führten wir die kanonischen Transformationen ein. Durch diese wurden die alten Orte und
Impulse durch neue Orte und neue Impulse ausgedrückt, derart dass
pk
=
pk (α, β)
und
qk = qk (α, β) und
H(p, q) → H(p(α, β), q(α, β)) → H̄(α, β)
∂H(α, β)
−
= α̇k und
∂βk
∂H(α, β)
= β̇k
∂αk
mit
Ziel dieses Kapitels ist es, zu der alten Hamiltonfunktion, die von den alten Orten und alten Impulsen abhängt,
eine erzeugende Funktion S(q, α) zu konstruieren, die sie in eine neue Hamiltonfunktion, die nur noch von den
neuen Impulsen abhängen soll, kanonisch transformiert, d.h.
H(p(α, β), q(α, β)) = H̄(α)
7.2
Die Hamilton-Jacobi-Theorie für nicht explizit zeitabhängige
Hamiltonfunktion
Für dieses H̄(α) muss dann gelten
∂H(α)
∂βk
∂H(α)
β̇k =
∂αk
⇒ βk
α̇k = −
wobei δk
= 0 ⇒ αk = const.
= const. = γk
= γk t + δk
= const.
117
nur Fkt. von αi
Finden wir also die erzeugende Funktion S(q, α), die H(p, q) auf H̄(α) transformiert, so sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung; die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit (“kräftefreie“ Bewegung).
Wir suchen nun die erzeugende Funktion S(q, α). Aus dem vorherigen Kapitel wissen wir, dass für S(q, α)
[zeitunabhängig] gelten muss:
pk
=
βk
=
∂S(q, α)
∂qk
∂S(q, α)
∂αk
Einsetzen führt dann zu
H(p, q) ⇒ H
∂S(q, α)
∂qk
, qk = H̄(αk ) = E(αk )
Dies ist die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung für den zeitunabhängigen Fall. Aus dieser Differentialgleichung lässt sich dann S(q, α) bestimmen.
Die physikalische Bedeutung von S:
Wir bilden die totale Ableitung von der Zeit von S. Es ist
d
S(q, α)
dt
=
s n
X
∂S
∂qk
k=1
=
(und wegen α̇k = 0) =
=
=
X
q̇k +
o
∂S
α̇k
∂αk
(pk q̇k + βk α̇k )
k=1
s
X
pk q̇k
k=1
s
X
∂T
q̇k = 2T
∂ q̇k
k=1
s
X
k=1
∂L
q̇k
∂ q̇k
Integration über die Zeit liefert dann
S=
Z
t2
2T dt = W
t1
Es ist also S(q, α) identisch mit dem Wirkungsintegral.
7.3
Die Hamilton-Jacobi-Theorie für explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion
Es gilt
E = H(p, q, t)
Sei
p0
q0
≡ −E
≡ t
Wir definieren nun
118
κ = H(pk , qk , q0 ) + p0 = 0
In diesem Fall suchen wir nun eine erzeugende Funktion S, die auch von den Koordinaten mit dem Index 0
abhängt.
S(qk>0 , αk>0 , p0 , α0 ) ⇒ S(qk , αk )
(k = 0, 1, . . . , s)
Wegen
∂S(q, α)
= pk
∂qk
(k = 0, 1, . . . , s)
und Einsetzen in κ folgt
∂S(q, α)
, qk>0 , q0 +
∂qk>0
∂q0
∂S(q, α)
∂S(q, α)
H
, qk>0 , t +
∂qk>0
∂t
H
∂S(q, α)
=
0
=
0
oder
Dies ist die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung für den zeitabhängigen Fall.
Die physikalische Bedeutung von S(qk>0 , αk>0 , t, α0 ):
Hierzu bilden wir das totale Differential von S nach der Zeit. Es ist
d
S(q, α) =
dt
(wegen α̇k = 0) =
s
X
∂S(q, α)
k=0
s
X
k=0
=
=
∂αk
∂qk
pk q̇k +
k=1
=
(wegen p0 = −E = −H) =
(wegen H = T + U ) =
=
∂S(q, α)
q̇k
∂qk
∂S(q, α)
q̇k
∂qk
s
X
∂S(q, α)
k=1
s
X
α̇k +
q̇k +
∂S(q, α) ∂q0
∂q0 ∂q0
∂S(q, α)
∂t
2T + p0
2T − H
2T − T − U
T −U =L
Es ist also die totale Ableitung von S(qk>0 , αk>0 , t, α0 ) identisch mit der Lagrange-Funktion. Integration über
die Zeit liefert dann die Wirkung S:
S=
Z
t2
L(q, q̇)dt
t1
7.4
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung als Grenzfall der Schrödingergleichung in der Quantenmechanik
Für ein Teilchen im Raum mit der potentiellen Energie U (q) und dem Impuls p lautet die Hamiltonfunktion
wegen E = H
H(p, q) =
p2
+ U (q)
2m
119
In der Quantenmechanik geht in Cartesischen Koordinaten der generalisierte Impuls p über in
~ ∂ i ∂q
Einsetzen in H(p, q) führt zu
"
−
~2 ∂ 2
+ U (q)|ψ(q) = Eψ(q)
2m ∂q 2
(7.1)
Dies ist eine Differentialgleichung zur Bestimmung von ψ(q). Substitution ψ = eiS/~ (S von q abhängig)! Es ist
∂ 2 is/~
e
∂q 2
=
=
∂ i ∂S iS/~ e
∂q ~ ∂q
1 ∂S 2 iS/~
i ∂ 2 S iS/~
e
− 2
e
2
~ ∂q
~ ∂q
Einsetzen in (7.1) und Division durch eiS/~ führt dann zu
1 ∂S 2
i~ ∂ 2 S
−
+ U (q) = E
2m ∂q
2m ∂q 2
(7.2)
Führt man nun den Grenzübergang zur klassischen Physik durch (~ → 0), so geht (7.2) in
1 ∂S 2
+ U (q) = E
2m ∂q
die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung über.
Der Grenzübergang klassische Mechanik zur Quantenmechanik geht nicht, da die klassische Mechanik zwar ein
Grenzfall der Quantenmechanik ist (~ → 0), aber nicht umgekehrt!
7.5
Beispiele zur Hamilton-Jacobi-Theorie (zeitunabhängig)
a) Der 1-dimensionale harmonische Oszillator:
Zunächst diskutieren wir den 1-dimensionalen Fall mit beliebigem Potential U (q). Somit gilt für die Hamiltonfunktion
H(p, q) =
p2
+ U (q)
2m
und damit lautet die Hamilton-Jacobigleichung
1 ∂S(q, α) 2
+ U (q) = E
2m
∂q
Beim 1-dimensionalen Oszillator ist E die einzige Konstante der Bewegung. Da α (der neue Impuls)
ebenfalls Konstante der Bewegung sein muss, setzen wir
α≡E
(Beim zeitunabhängigen Fall lässt isch immer ein αk gleich E setzen.) Somit erhalten wir
120
∂S(q, α) 2
∂q
+ 2mU (q) =
⇒ (7.2)
Da β =
∂S(q,α)
∂α
2mα
Z qp
2m(α − U (q̃))dq̃
S(q, α) =
q0
folgt hieraus
(7.2)
Z
β=
q
q0
m
p
dq̃
2m(α − U (q̃))
Wegen der Hamilton’schen Bewegungsgleichungen ist aber auch
β̇
⇒ β
∂ H̄(α)
∂E
∂α
=
=
=1
∂α
∂α
∂α
= t − t0
=
(7.3)
Unser Ziel ist es nun, die neuen Koordinaten in die alten Koordinaten zurück zu transformieren, damit
wir die Bewegung in p(t) und q(t) darstellen können.
∂S(q, α)
∂q
p
p
(wegen 1) =
2m(α − U (q)) = 2m(E − U (q))
p(t) =
Aus (7.2) und (7.3) folgt
t − t0 =
q
Z
q0
m
p
dq̃
2m(E − u(q̃))
(7.4)
(7.5)
Um diesen Ausdruck näher zu bestimmen, gehen wir nun zu dem speziellen Fall des harmonischen Oszillators mit U (q) = 21 αq 2 über und erhalten aus
(7.4)
(7.5)
Ausführung des Integrals führt zu
r
1
2m(E − αq 2 ) und aus
2
Z q
m
q
t − t0 =
dq̃
q0
2m(E − 21 αq̃ 2 )
p(t) =
t − t0 =
r
m
arc sin
a
r
a
q
2E
und somit
q(t) =
r
2E
sin
a
r
a
(t − t0 )
m
und damit
√
p(t) = 2mE cos
r
a
(t − t0 )
m
Dies ist die wohlbekannte Lösung des harmonischen Oszillators.
121
b) Der 3-dimensionale anisotrope harmonische Oszillator
Hier ergibt sich die Hamilton-Funktion zu
H(p, q) =
mit
pi
3 2
X
pi
ai + qi2
2m
2
i=1
=
∂S(q, α)
∂qi
führt dies zur Hamilton-Jacobi-Gleichung
)
(
3
∂S 2
X
2
+ mai qi = 2mE(αi )
∂qi
i=1
Um diese Differentialgleichung zu lösen, machen wir folgenden Separationssatz
S(q1 , q2 , q3 , α1 , α2 , α3 ) = S1 (q1 , α) + S2 (q2 , α) + S3 (q3 , α)
Einsetzen in die Hamilton-Jacobi-Gleichung führt dann zu
"
3
∂S (q , α) 2
i
X
i i
+ mαi qi2 = 2mE(αi )
∂qi
i=1
Da die Funktionen Si (qi ) von verschiedenen Variablen abhängen, müssen die einzelnen Summanden konstant sein:
∂S (q , α) i i
+ mαi qi2
∂qi
Setze daher
∂Si (qi , α)
+ mαi qi2
∂qi
mit
E
= 2mαi
=
3
X
αi
i=1
Damit erhalten wir drei unabhängige lineare Oszillatoren und wegen Beispiel (a) somit die Lösungen:
qi (t) =
pi (t) =
(i
=
r
2αi
sin
ai
r
ai
(t − t0 )
m
r
√
ai
2mαi cos
(t − t0 )
m
1, 2, 3)
c) Teilchen im homogenen Schwerefeld:
Gegeben: homogenes Schwerefeld in negativer z-Richtung mit
122

x
 y 
z


px
p =  py 
pz

=
=
Für die Hamiltonfunktion ergibt sich
H=

x0
 y0 
z0


px 0
 py 0 
pz0

für t = t0 und
für t = t0
p2x + p2y + p2z
+ mgz
2m
wegen
px =
∂S(x, y, z, α1 , α2 , α3 )
∂x
(für py , pz analog)
ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung zu
∂S 2
∂x
+
∂S 2
∂y
+
∂S 2
∂z
+ 2m2 gz = 2mE(α)
Diese Differentialgleichung versuchen wir wieder durch einen Separationssatz zu lösen. Es sei
S = S1 (x) + S2 (y) + S3 (z)
so folgt
∂S 2
1
∂x
+
∂S 2
2
∂y
+
∂S 2
3
∂z
+ 2m2 gz = 2mE(α)
(7.6)
Da wir wissen, dass die Impulse in x-Richtung und y-Richtung und die Energie Konstanten der Bewegung
sind, setzen wir
∂S1
= α1 ≡ px = px0
∂x
(7.7)
∂S2
= α2 ≡ py = py0
∂y
(7.8)
und E ≡ α3 , damit aus (7.6)
∂S3
=±
∂z
aus (7.7) folgt
aus (7.8) folgt
aus (7.9) folgt
q
2m(α3 − mgz) − α21 − α22
Si (x) =
S2 (y) =
S3 (z) =
Z
x
x
Z 0y
y
Z 0z
z0
123
α1 dx̃ = α1 (x − x0 )
α2 dỹ = α2 (y − y0 )
q
2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22 dz̃
(7.9)
Hiermit bestimmen wir die βi :
β1
=
β2
=
β3
=
−1/2
Z z 3
X
∂Si
dz̃
α1 2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22
= (x − x0 ) ∓
∂α1
z0
i=1
−1/2
Z z 3
X
∂Si
2
2
α2 2m(α3 − mg z̃) − α1 − α2
= (y − y0 ) ∓
dz̃
∂α2
z0
i=1
−1/2
Z z
3
X
∂Si
2
2
2m(α3 − mg z̃) − α1 − α2
= ±m
dz̃
∂α3
z0
i=1
(7.10)
(7.11)
(7.12)
Aus den Hamilton’schen Bewegungsgleichungen gewinnen wir
β̇3
=
⇒ β3
=
β̇2
=
⇒ β2
=
β̇1
=
⇒ β1
=
∂ H̄(α)
∂E
∂α3
=
=
=1
∂α3
∂α3
∂α3
t − t0
(7.13)
∂ H̄(α)
∂E
∂α3
=
=
=0
∂α2
∂α2
∂α2
const.
(7.14)
∂ H̄(α)
∂E
∂α3
=
=
=0
∂α1
∂α1
∂α1
const.
(7.15)
Aus (7.13) und (7.14) und (7.15) erkennt man, dass
β1
=
β2
=
α1
β3
m
α2
(y − y0 ) −
β3
m
(x − x0 ) −
und
Mit den Anfangsbedingungen und β3 = t − t0 folgt β1 = β2 = 0 und somit
x − x0
=
y − y0
=
α1
(t − t0 )
m
α2
(t − t0 )
m
und
Aus (7.15) und β3 = t − t0 folgt aber
t − t0
=
=
±m
∓
Z
z
z0
2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22
−1/2
dz̃
−1/2 1
z
2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22
mg
z0
Multiplikation mit mg, Einsetzen der Grenzen, Ausdruck mit unterer Grenze z0 auf linke Seite und Quadratur der so gewonnen Gleichung ergibt:
124
m2 g 2 (t − t0 )2
q
2mg(t − t0 ) 2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22
∓
2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22
2mα3 − 2m2 gz − α21 − α22
q
2mg · (t − t0 ) 2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22 − 2m2 gz0
+
=
⇒ m2 g 2 (t − t0 )2
∓
−2m2 gz
=
Daraus ergibt sich dann
1
t − t0
z − z0 = − g(t − t0 )2 ±
2
m
q
2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22
wobei
α3 − mgz0 = E − U0 = T0
Wir betrachten nun den Wurzelausdruck:
√
q
2mT0 − α21 − α22 :
wegen α21
= p2x = p2x0
und α22
= p2y = p2y0
und T0
ist
√
=
p2y
p2
p2x0
+ 0 + z0
2m 2m 2m
"
#1/2
p2
p2y0
p2z0 x0
2
2
=
2m
− px 0 − py 0
+
+
2m 2m 2m
=
= (p2x0 + p2y0 + p2z0 − p2z0 − p2y0 )1/2
= (p2z0 )1/2
= |pz0 |
Die tabellarische Übersicht der gewonnen Ergebnisse
z − z0
=
x − x0
=
y − y0
=
px
py
=
=
1
− g(t − t0 )2 + pz0 /m(t − t0 )
2
pz
(t − t0 )
m
py
(t − t0 )
m
α1 = const.
α2 = const.
zeigt, dass das die Bewegung einer Wurfparabel ist.
d) Teilchen unter Einfluss einer konservativen zentralen Kraft:
Zur Aufstellung der Hamiltonfunktion in Polarkoordinaten benötigt man die Impulse. Man erhält sie aus
der Lagrangefunktion
L(q, q̇) =
=
T −U
1
m(ṙ2 + r2 ϑ̇2 + r2 sin2 ϑϕ̇2 ) − U (r)
2
125
damit folgt für die generalisierten Impulse
pr
=
pϑ
=
pϕ
=
∂L
= mṙ
∂ ṙ
∂L 2
r ϑ̇
∂ ϑ̇ m
∂L
= mr2 sin2 ϑϕ̇ = Jz
∂ ϕ̇
Für die Hamiltonfunktion ergibt sich somit
H=
p2ϕ
p2
p2r
+ ϑ2 +
+ U (r)
2m 2mr
2m sin2 ϑr2
Da es sich um ein Zentralpotential handelt, ist das Problem eben. Wir legen die x-, y-Ebene in diese
Bewegungsebene, d.h.
π
2
ϑ̇ = 0
ϑ =
Daraus folgt für die Hamiltonfunktion
H=
p2ϕ
p2r
+
+ U (r) = E
2m 2mr2
Dies führt dann zur Hamilton-Jacobi-Gleichung
2mE =
h ∂S(r, ϕ, α , α ) i2
1 h ∂S(r, ϕ, α1 , α2 ) i2
1
2
+ 2
+ 2mU (r)
∂r
r
∂ϕ
Wir machen wiederum einen Separationssatz:
S
=
2mE
=
S2 (ϕ) + S1 (r) und es folgt
h ∂S (r, α , α ) i2
1 h ∂S2 (ϕ, α1 , α2 ) i2
1
1
2
+ 2
+ 2mU (r)
∂r
r
∂ϕ
Konstanten der Bewegung sind hier die Energie E und der Drehimpuls in z-Richtung Jz = pϕ . Wir setzen
daher
α1
α2
≡
≡
E
Jz = pϕ
Es ist aber:
∂S2
= α2 ⇒ S2 (ϕ) = α2 ϕ
∂ϕ
(mit der Anfangsbedingung ϕ0 = 0)
Daraus folgt dann
126
2mα1
=
∂S1
∂r
=
S1
=
h ∂S i2
1
r∂r
+ α22
1
+ 2mU (r)
r2
α2
2mα1 − 22 − 2mU (r)
r
Z τr
α2
2m(α1 + U (r̃)) − 22 dr̃
r
τ0
Bestimmung von β2 :
∂(S1 + S2 )
β2 =
=ϕ+
∂α2
Z
τ
τ0
r̃2
−α2
p
dr̃
2m(α1 − U (r̃) − α22 /r2
Zur Berechnung spezialisieren wir nun auf das spezielle Gravitationspotential U (r) = − γr . Es folgt dann
durch Substitution r1 = µ
β2 = ϕ + α2
Z
µ
µ0
Ausführung des Integrals führt zu
ϕ − β2 −
mit µ =
1
r
dµ
p
2m(α1 + γµ) − α22 µ2
n
µ − mγ/Jz2 o
π
= arc sin − q 2 1
m γ
2
+ 2mE
Jz4
Jz2
folgt
r(ϕ)
mit: εi
Jz2 /mγ
1 + ε cos(ϕ − β2 )
s
2EJz
=
1+
mγ 2
=
Dies ist die bekannte Lösung des Problems:
ein Kegelschnitt!
127

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