Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik Dr. Astrid Brinkmann Spezielle Themen der Mathematik: Reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Funktionen Warm-up Übungen 0 (Keine Abgabe dieser Übungen) Mein teurer Freund, ich rat Euch drum Zuerst Collegium Logicum. Da wird der Geist Euch wohl dressiert, In spanische Stiefeln eingeschnuert, Dass er bedaechtiger so fortan Hinschleiche die Gedankenbahn, Und nicht etwa, die Kreuz und Quer, Irrlichteliere hin und her. (Goethe, „Faust“) Aufgabe 1 In der Mathematik haben wir es mit Aussagen zu tun. Eine mathematische Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem prinzipiell feststeht, ob es wahr (w) oder falsch (f) ist (Aristoteles). a) Geben Sie an, welche der folgenden sprachlichen Gebilde Aussagen sind, und entscheiden Sie ggf., ob es sich um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt. (i) Jede Primzahl ist ungerade. (ii) Jede Quadratzahl ist durch 2 teilbar. (iii) Für alle m 1 existiert ein n , so dass n m . (iv) Das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist stets durch 6 teilbar. (v) Es gibt eine rationale Zahl, die nicht reell ist. (vi) 0, 9 ist gleich 1. (vii) Die Gleichung x 2 5 x 6 0 hat zwei Lösungen in der Menge der ganzen Zahlen . (viii) Die Gleichung x 3 1 0 hat keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen . 1 m steht für: m ist eine natürliche Zahl. b) Formulieren Sie folgende Aussagen mit Hilfe von „Es gibt ...“ und „(Für) alle ...“. 1 Beispiel: Aus „Ist x eine reelle Zahl und x 0 , so ist 0 “ wird „Für alle x mit x x 1 und x 0 gilt 0 “. x (i) Politiker sind bestechlich. (ii) Manche Politiker sind bestechlich. (iii) Die Gleichung 3x 2 hat keine Lösung in . (iv) Ist eine reelle Zahl 0 , so ist 2 0. c) Bilden Sie die Negation (d. h. die Verneinung) folgender Aussagen. (i) Für alle reellen Zahlen 0 gilt ( ) 2 0 . (ii) Es gibt eine natürliche Zahl m, so dass n m für alle natürlichen Zahlen n gilt. Aufgabe 2 Es seien die folgenden Teilmengen von gegeben: M1 = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, M2 = { z z ist gerade und 0 z 7 }, M3 = { z z 10 }, M4 = { z es gibt ein y mit z = y2}, M5 = { z z = z2}. Untersuchen Sie die gegebenen Mengen paarweise auf Inklusion und geben Sie Ihre Antwort in Form einer Tabelle nach folgendem Muster: M1 M2 M3 M4 M5 M1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 M2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 M3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 M4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 M5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Kreuzen Sie das Feld i.k an, wenn Mi Mk gilt. Aufgabe 3 Beweisen Sie durch vollständige Induktion über n. a) Für alle n gilt: 20 21 2 2 ... 2n 1 2 n 1 . b) Für alle n gilt: 12 22 32 ... n 2 1 n( n 1)(2n 1) . 6 c) Für alle n gilt: 1 1 1 1 n ... . 1 2 2 3 3 4 n (n 1) n 1 Aufgabe 4 Wir beweisen durch vollständige Induktion, dass alle Katzen die gleiche Augenfarbe haben: Für n 1 ist die Behauptung offensichtlich. Wir nehmen jetzt an, dass je n Katzen die gleiche Augenfarbe haben, und beweisen, dass das auch für je n 1 Katzen gilt. n Katzen ... 1. Katze 2. Katze n 1 n n 1 n Katzen Bild 1 Wir nehmen n 1 willkürlich ausgewählte Katzen und nummerieren sie (Bild 1). Nach der Induktionsvoraussetzung haben die Katzen mit den Nummern 1 bis n die gleiche Augenfarbe und auch die n Katzen mit den Nummern 2 bis n 1 . Zu beiden Mengen gehört z. B. die Katze Nr. 2, also haben alle n 1 Katzen die gleiche Augenfarbe. Wo steckt der Fehler? Aufgabe 5 Betrachten Sie folgenden Textauszug aus Maaß, Jürgen & Wildt, Michael. 2012. „Vernetzen lohnt sich: Nachhaltig Lernen hilft Zeit sparen!“ In: Astrid Brinkmann (Reihenhrsg.). Astrid Brinkmann, Jürgen Maaß, Hans-Stefan Siller, Matthias Brandl (Bandhrsg.). Mathe vernetzt – Anregungen und Materialien für einen vernetzenden Mathematikunterricht. Band 2. Aulis Verlag, S. 9–22. ISBN 978-3-7614-2859-7. zur Entdeckung der Irrationalität in Klasse 5/6 anhand von Zahlenrätseln und nehmen Sie dies zum Anlass, Folgendes zu wiederholen: Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen (auf Schulniveau), Quadratische Ergänzung bilden, Lösen quadratischer Gleichungen, Satz von Viëta, Faktorisieren quadratischer Terme. Textauszug: Jürgen: Irrationalität in Klasse 6? Das musst du genauer erklären! Michael: Ich gestalte in meinem Unterricht in Klasse 5 eine Unterrichtseinheit zum Thema ‚Zahlenrätsel’. Das Rätselformat ist einfach: „Ich denke mir zwei Zahlen, die addiert 7 und multipliziert 10 ergeben. Kennst du die beiden Zahlen?“ Man kann das, wie gesagt, schon in der Grundschule beginnen, sobald die Rechenoperationen so weit von den Lernenden beherrscht werden, dass der Rechenwiderstand nicht zu groß ist. Das Schöne daran ist: Solche Rätsel kann sich jeder ausdenken – auch jemand, der sein eigenes Rätsel nicht lösen könnte, wenn er es gestellt bekommt. Man muss ja nur zwei Zahlen als Lösungen nehmen und daraus das Rätsel herleiten. Solche Rätsel zu erfinden und zu lösen macht vielen unserer Gesamtschüler großen Spaß, denn damit kann man absolut autonom arbeiten, in Partneroder Gruppenarbeit. Dabei werden jede Menge Fehler gemacht. Und von selbst stellt sich dabei heraus, dass sich nicht alle Rätsel lösen lassen. Also gibt es in der ganzen Klasse Diskussionsbedarf, bei der eine formale Notation absolut sinnvoll ist und sofort von allen Beteiligten übernommen wird: Suche a und b mit: a b 7 und a b 10 . Wie man durch Versuch und Irrtum a und b bestimmt, ist ein Thema, an dem sich Schüler/innen sehr verschieden lang abarbeiten können, bis sie eine Strategie haben. Spannend wird es, wenn ein pfiffiges Mitglied der Lerngruppe oder ich als Lehrkraft die Sache vorantreibe: - Suche a und b mit: a b 7 und a b 10 - Suche a und b mit: a b 7 und a b 11 - Suche a und b mit: a b 7 und a b 12 - Suche a und b mit: a b 7 und a b 13 - Suche a und b mit: a b 7 und a b 14 usw. Das erste und das dritte Rätsel gehen. Die anderen nicht. Aber es gibt Unterschiede: Beim ersten Rätsel sind die beiden Zahlen 2 und 5. Beim dritten Rätsel sind die Zahlen 3 und 4. Also muss es doch für das zweite Rätsel zwei Zahlen geben, die zwischen 2 und 3 bzw. zwischen 4 und 5 liegen! Aber beim Rätsel Nr. 5 ist es anders: Wenn ich für a und für b 3,5 wähle und 3,5 3,5 ausrechne, so komme ich nicht auf 14! 14 lässt sich also nicht erreichen. Inzwischen hat nämlich sicher schon ein schnell denkendes Mitglied der Gruppe herausgefunden, dass man a b 8 und a b 100 niemals lösen kann, denn auf mehr als auf die Hälfte von 8, mit sich selbst malgenommen, kommt man nicht; die Grenze, die man für den Multiplikationsteil des Rätsels erreicht, ist 16. Das ‚größte lösbare Rätsel’ mit a b 8 ist a b 16 ! Es gibt also zwei Klassen von ‚nichtlösbaren Rätseln’: die, die sich wohl lösen lassen müssten, wenn man eine gebrochene Zahl nimmt, und die, die man trotzdem nicht lösen kann. Das ist ein schönes Ergebnis für starke Schüler/innen in Klasse 5, und ein wunderbares Motiv für Lernende, sich Dezimalzahlen anzueignen, die ja in der Umwelt der Fünftklässler sowieso ständig herumschwirren. Wie wäre es, wenn ich mal für das dritte Rätsel a = 2,4 und b = 4,6 ausprobiere? Dann ist ja a b 7 , und a b ist .... na, da brauchen wir in Klasse 5 eine Rechenregel für das Multiplizieren von Dezimalzahlen, aber die kann man ja bei einem Experten abfragen. Also wird mit viel Mühe herausgefunden, dass a b 11, 04 ist. Das ist ja schon haarscharf daneben, schon fast 11! Also muss man weiter probieren, und mit etwas Glück schafft man schon eine Lösung, die die 11 auf vier Nachkommastellen erreicht. Jürgen: Das alles in Klasse 5? Michael: Ich habe immer Schüler/innen in meinen fünften Klassen, die bei dem Thema nicht nur anbeißen, sondern Funken sprühen. Manche verbeißen sich in große Zahlen, wie a b 100 und a b 2400 . Andere begeben sich eher in analytische Gefilde. Auf jeden Fall wird Rechnen-Können zur gefragten Kompetenz, und das reicht – gemäß Kernlehrplänen – für die Klasse 5. Die Irrationalität kommt dann in Klasse 6: Für den Bruch 3/7 gibt es eine periodische Dezimalzahl. Die Lösungen von a b 7 und a b 11 führen aber nicht auf eine Periode. Zwar brechen beide Zahlen nach dem Komma nicht ab. Aber Periode und Rätsellösungszahlen verhalten sich verschieden. Bei den Rätselzahlen muss man ewig und immer weiter mittels ‚Versuch und Irrtum’ nach der nächsten Ziffer suchen, und niemals kommt man an eine Stelle, bei der man im Vorhinein sicher sein kann, wie sie heißen wird. Das gilt – so was können talentierte Sechstklässler selbst herausfinden und begründen: Das Produkt zweier verschiedener Endziffern, die sich auf eine Zahl mit der Endziffer 0 aufaddieren, ergibt keinesfalls eine Zahl mit der Endziffer 0! Auf die gleiche Überlegung stößt man übrigens auch, wenn man beim Rätsellösen die Bruchzahlperspektive einnimmt. a und b können also keine Brüche sein. Als Lehrer sage ich dann: Genau deshalb, weil man bei diesen Zahlen niemals auf eine Regelmäßigkeit (wie beim Umwandeln eines Bruchs in eine periodische Dezimalzahl) stößt, haben die Griechen diese Zahlen ‚unvernünftig’ genannt – wir sagen ‚irrational’. Wenn sich die Schüler/innen in Klasse 6 untereinander erklären, was der Unterschied zwischen einer periodischen Dezimalzahl und einer irrationalen Dezimalzahl ist, dann ist das hundertmal so lernwirksam, wie wenn ich früher im Mathe-E-Kurs Klasse 9 versucht habe, den Schüler/innen diesen Unterschied zu erklären. Und gleichzeitig lernen die Schüler/innen dabei alles, was sie zum Faktorisieren von quadratischen Gleichungen benötigen: Die Zahlenrätsel sind ja nichts anderes als die Bestimmung der Faktorisierungen zu x 2 7 x 10 , x 2 7 x 11 , x 2 7 x 12 , x 2 7 x 13 und x 2 7 x 14 , liefern also indirekt die Lösung von quadratischen Gleichungen. Wer das gelernt hat, der schafft damit, unter Zuhilfenahme eines Taschenrechners, alle Analysis-GrundkursaufgabenRechnungen im Zentralabitur innerhalb von 2 Minuten mit hinreichender Genauigkeit, einschließlich der nicht faktorisierbaren Fälle. Und die schneller lernenden Schüler/innen sind hochmotiviert, ein Verfahren zu erarbeiten, um im Falle quadratischer Gleichungen den Versuch-und-IrrtumAufwand des Probierens zu umgehen: Vor diesem Hintergrund erscheint das Verfahren des Faktorisierens durch quadratische Erweiterung als eine geniale Erfindung! Das ist dann ‚Vernetzung’ beim Lernen! Aufgabe 6: Goldene-Schnitt-Zahl2 Was haben der Parthenon in Athen, eine Geige und das Rathaus in Leipzig gemeinsam? An ihnen kann man ein besonderes Teilverhältnis entdecken, das als ästhetisch besonders ansprechend empfunden wird: den goldenen Schnitt oder das goldene Verhältnis. Es wurde in der Antike und in der Renaissance häufig benutzt. Was ist der goldene Schnitt? Wenn eine Strecke so geteilt wird, dass die größere Teilstrecke zur kleineren im gleichen Verhältnis steht wie die Gesamtstrecke zur größeren Teilstrecke, dann sagt man: Die Strecke ist nach dem goldenen Schnitt oder im goldenen Verhältnis geteilt. a 2 b Beim goldenen Schnitt gilt: ab a a b Diese Aufgabe ist zum Teil folgendem Buch entnommen: Brinkmann, Astrid (2013): Die 111 schönsten Mathematikaufgaben für den Unterricht in der Sekundarstufe I mit Lösungen. Aulis Verlag. ISBN 978-3-7614-2890-0. a) Bestätigen Sie, dass der Turm des Leipziger Rathauses dieses (in etwa) nach dem goldenen Schnitt teilt (s. Abbildung). Für die Teilstrecken a und b gilt: a = 55,62 m und b = 34,38 m. Das Verhältnis von etwa 1,62, das sich in der obigen Rechnung ergeben hat, ist für das goldene Verhältnis charakteristisch. Wo findet man den goldenen Schnitt bei den anderen Beispielen? Beim Parthenon teilt die Unterkante der Säulenauflage die Höhe des Tempels im goldenen Schnitt. Die Länge der Geige setzt sich aus der Länge des Resonanzkörpers und der Länge des Halses zusammen. Der Teilpunkt zerlegt die Länge der Geige nach dem goldenen Schnitt. b) Prüfen Sie das goldene Verhältnis beim Parthenon und bei der Geige, indem Sie die entsprechenden Strecken in den Abbildungen ausmessen. Weshalb kann man so vorgehen? c) Berechnen Sie die Goldene-Schnitt-Zahl a (Bezeichnungen aus obigem Kasten), indem b ab a nach a auflösen und damit a in Abhängigkeit (als Vielfaa b ches) von b darstellen. Sie die Gleichung d) Rechts sieht man das Emblem am Eingang des Osnabrücker Zoos im Original, unten eine Abbildung des Elefanten ohne Auge und ohne Zwischenräume. Der Elefant ist aus sechs immer kleiner werdenden Viertelkreisen zusammensetzt. Der Verkleinerungsfaktor von einem Radius zum nächsten ist immer gleich. Bestimmen Sie den Verkleinerungsfaktor. e) Das Freiburger Münster: der goldene Schnitt und noch mehr irrationale Zahlen in der Architektur3 Bei dem Freiburger Münster ist zum einen die Länge des Münsters gleich der Höhe des Münsterturms ist (210 Ellen 116 m), zum anderen sind beide Längen im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt, der Turm in Turmschaft und Turmhelm, d. h. die Strecke FS durch T2, und die Münsterlänge durch Langhaus und Chor, d. h. die Strecke AC durch T1. Interessant ist nun, dass die Baumeister der damaligen Zeit nicht die übliche Konstruktion, die in allen Schulbüchern dazu gezeigt wird, verwendet haben, sondern der folgenden Konstruktionsidee gefolgt sind: „Zeichne ein Einheitsquadrat, trage von B aus über A bis G dessen Diagonale ab. Diese Länge entspricht dem Langhaus. Zeichne über BD ein gleichseitiges Dreieck. Dessen Höhe entspricht dem Chor.“ Bestimmen Sie die Länge der roten Strecke EB und die der blauen Strecke FC und zeigen Sie: Das Verhältnis Chor : Langhaus ist dabei fast genau gleich dem Kehrwert der Goldenen Zahl, nämlich etwa 0,612! Ein merkwürdiger Zufall!(?) 3 Quelle: Brinkmann, Astrid; Bürker, Michael (2011): Bericht des Arbeitskreises „Vernetzungen im Mathematikunterricht“. http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/bzmu2011/_BzMU11_3_Arbeitskreise/BzMU11_AKVernetzung-BRINKMANN.pdf Wissenswertes über den goldenen Schnitt Bei antiken Statuen teilt der Bauchnabel die Körperlänge ungefähr nach dem goldenen Schnitt. Der Amerikaner Frank A. Lonc will bei 65 Frauen nachgemessen haben, dass dies heute noch zutrifft. Auch bei anderen Körperverhältnissen soll der goldene Schnitt auftauchen, nämlich am Kopf (Teilpunkt sind die Augenbrauen) und am Arm (Teilpunkt ist der Ellenbogen), vgl. die Abbildungen. Leonardo da Vinci skizzierte „Der Mensch nach Vitruv”, ein Proportionsschema der menschlichen Gestalt, in dem ebenfalls der goldene Schnitt auftaucht. (Vitruv war ein römischer Architekt, der den menschlichen Körper mit Kreis und Quadrat in Zusammenhang brachte.) Noch ein paar goldige Verhältnisse: Legt man ein Rechteck um ein Hühnerei, entsteht oft ein goldenes Rechteck (unten ist erklärt, was man darunter versteht). Auch die Front des UNOGebäudes in New York und (wieder einmal) des Parthenons in Athen bilden ein goldenes Rechteck. Was sind goldene Rechtecke? Bei goldenen Rechtecken stehen die Seitenlängen a und b im goldenen Verhältnis. Viele Menschen empfinden diese Rechtecke als besonders harmonisch und schön. Übrigens: Psychologen wollen herausgefunden haben, dass Kunden unbewusst Produkte bevorzugen, deren Verpackung an ein goldenes Rechteck erinnert.
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