Anwendung der Exponentialfunktionen - Mathematik

Dr. Fritsch, FGG
Mathematik
Klasse 10
Arbeitsblatt - Exponentialfunktionen
„Anwendungen“
1.
Wachstumsprozesse
1.1. Das Wachstum einer Euglenia-gracilis-Kolonie
Im Labor wurde über einen Zeitraum von 5 Tagen das Wachstum einer Population von Augentierchen (E. g.) durch Auszählen unterm Mikroskop ermittelt:
0
1
2
3
4
5
Zeit in Tagen ... Anzahl der Augentierchen ... 300 388 510 670 870 1125
(a)
Bestimmen Sie mit Hilfe des Protokolls eine Funktionsgleichung für das Wachstum
der Kolonie und skizzieren Sie deren Graphen!
(b)
Wie stark ist die Populationsgröße nach 10 Tagen angewachsen?
1.2. Zinseszinsrechnung
Ein Schüler und ein Millionär legen zur gleichen Zeit einen Teil ihres Kapitals bei der Müchelner Wald-und-Wiesen-Bank zu einem jährlichen Zinssatz von 2,5% an. Das Startkapital
beträgt 100,- € bzw. 1.000.000,- €.
(a)
Wie viel Kapital haben beide jeweils nach einem, nach drei und nach 10 Jahren?
(b)
Zu welchem Zeitpunkt können beide mit der Verdopplung Ihres Kapitals rechnen?
2.
Zerfalls-/Abbauprozesse
2.1. Radioaktiver Zerfall
Radioaktiver Schwefel zerfällt so, dass seine Masse jedes Jahr um 112 abnimmt. Die Anfangsmasse beträgt 10g.
(a)
Wie viel ist von dem Schwefel nach 1, 2, 3, 4, 5 bzw. 10 Jahren noch vorhanden? Geben Sie eine Funktionsgleichung an!
(b)
Zeichnen Sie den dazugehörigen Graphen!
2.2. Wertverfall
Ein neuer Motorroller der Marke F kostet 2.000,- € und hat einen jährlichen Wertverlust von
16%. Das Modell G kostet 2.400,- € bei 20% Wertverlust.
(a)
Geben sie Funktionsgleichungen zu den Funktionen und an, welche den aktuellen
Wert der Roller beschreiben!
(b)
Skizzieren Sie deren Graphen!
(c)
Welchen Wert haben die beiden Roller nach 6 Jahren?
(d)
Wann sind beide Roller gleichwertig?
Dr. Fritsch, FGG
Mathematik
Klasse 10
Lösungen - „Anwendungen Exponentialfunktionen“
1.
1.1.
Wachstumsprozesse
Das Wachstum einer Euglenia-gracilis-Kolonie
0
1
2
3
4
5
Zeit in Tagen ... 300 388 510 670 870 1125
Anzahl der Augentierchen ... Quotientenbildung ... ( + 1)/() 1,29 1,31 1,31 1,30 1,29
Die Quotientenbildung liefert einen relativ konstanten Wert von ca. 1,3 und weist damit auf
ein exponentielles Wachstum hin.
(a)
Funktionsgleichung: () = ∙ mit = 1,3
Bestimmung von : (0) = 300 = ∙ 1,3 = Funktionsgleichung: () = 300 ∙ 1,3
Anzahl N
600
500
400
300
200
N(t)=300*1,3^t
100
0
-3
(b)
-2
Anzahl nach 10 Tagen:
1.2. Zinseszinsrechnung
• Startkapital:
- Schüler:
-Millionär:
•
Zinssatz:
-1
0
1
2
3 Zeit t
(10) = 300 ∙ 1,3 = 4.135,7 ≈ 4.136
(0) = 100 (€)
(0) = 1.000.000 (€)
,!%
= % = 0,025
• Zinseszinsformel:
() = (0) ∙ (1 + ) bzw. () = (0) ∙ (1 + )
(a)
Endkapitalberechnung
Endkapital nach 1 Jahr:
• Schüler:
(1) = 100 ∙ 1,025 = 102,50 (€)
Millionär:
(1) = 1.000.000 ∙ 1,025 = 1.025.000,00 (€)
Endkapital nach 3 Jahren:
• Schüler:
(3) = 100 ∙ 1,025# = 107,70 (€)
• Millionär:
(3) = 1.000.000 ∙ 1,025# = 1.077.000,00 (€)
Endkapital nach 10 Jahren:
• Schüler:
(10) = 100 ∙ 1,025 = 128,01 (€)
(10) = 1.000.000 ∙ 1,025 = 1.280.084,54 (€)
• Millionär:
Dr. Fritsch, FGG
(b)
Mathematik
Verdopplungszeitpunkt:
Schüler:
200 = 100 ∙ 1,025
•
Millionär:
2.000.000 = 1.000.000 ∙ 1,025
•
•
(a)
•
(b)
⇒ =
%&'(
•
2.
2.1.
Klasse 10
)**
,
+**
-./(, !)
= 28,071 (Jahre)
⇒ =
%&'(
).***.***
,
+.***.***
-./(, !)
= 28,071 (Jahre)
Zerfalls-/Abbauprozesse
Radioaktiver Zerfall
Masse 0() = ∙ mit einer Abnahme von 112 (Zerfallsrate), d.h. =
Anfangsmasse:
0(0) = 10 = Funktionsgleichung: 0() = 10 ∙ ( ,
Wertetabelle:
1
2
3
4
5
10
Zeit in Jahren
Masse 0 in Gramm 9,167 8,403 7,703 7,061 6,472 4,189
Graph:
Masse m
12
10
m(t)=10*(11/12)^t
8
6
4
2
0
-3
-1
1
3
5
2.2. Wertverfall
(a)
Funktionsgleichungen zu den Funktionen und :
• Marke F:
o Kaufpreis:
= (0) = 2.000 (€)
o Abwertungsrate:
16% , d.h. = 0,84
o Wertfunktion:
() = 2.000 ∙ 0,84
• Marke G:
o Kaufpreis:
= (0) = 2.400 (€)
o Abwertungsrate:
20% , d.h. = 0,80
() = 2.400 ∙ 0,80
o Wertfunktion:
(c)
Wert nach 6 Jahren:
7
9
Zeit t
Dr. Fritsch, FGG
Mathematik
Klasse 10
• Marke F:
(6) = 2.000 ∙ 0,841 = 702,60 (€)
• Marke G:
(6) = 2.400 ∙ 0,801 = 629,15 (€)
(d)
Zeitpunkt der Gleichwertigkeit:
()
=
()
| ∶ 2.000
2.000 ∙ 0,84 = 2.400 ∙ 0,80
| ∶ 0,80
0,84
=
1,2 ∙ 0,80
| log(. )
1,05
=
1,2
| ∶ log(1,05)
∙ log(1,05) = log(1,2)
=
3,74
(Jahre)
(b)
Graph:
aktueller Wert
3000
2800
2600
Marke F
2400
2200
Marke G
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-3
-1
1
3
5
7
9
Zeit t

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