Dr. J. P. Schröder SS 2015 Vorkurs für Naturwissenschaftler Verständnisfragen zur 1. Vorlesungswoche Nachdem Sie Ihr Manuskript vervollstaendigt haben etc., koennen Sie mit den folgenden Fragen Ihr Wissen testen. §1 - reelle Zahlen 1. Wie begruendet man die Binomischen Formeln? 2. Wie lautet die Formel fuer die geometrische Reihe und wie kommt man auf die Formel? §2 - Funktionen 1. Was ist eine Funktion f : R → R? 2. Wie berechnet man die Nullstellen eines quadratischen Polynoms? (Stichwort quadratische Ergaenzung) 3. Wie ist der Betrag |.| definiert und was besagt die Dreiecksungleichung? §3 - Grenzwerte 1. Wann sagen wir, dass eine Folge an gegen eine Zahl a ∈ R konvergiert, d.h. an → a? Beschreiben Sie den Sachverhalt anschaulich, ohne die Schreibweise “∀ε > 0...” zu verwenden. 2. Was ist der Grenzwert limn→∞ 5 + 1/n (ohne Beweis)? 3. Wann schreiben wir limx→a f (x) = b? 4. Wann heisst eine Funktion f : R → R stetig? 5. Seien a, b ∈ R feste Koeffizienten und f (x) = ax + b. Bestimmen Sie den Abstand |f (x) − f (y)| und begruenden Sie: ist x ≈ y, so ist auch f (x) ≈ f (y). Was hat dies mit der Stetigkeit von f zu tun? §4 - Diff ’barkeit 1. Wann heisst eine Funktion f : R → R diff’bar (in einem Punkt a ∈ R)? 2. Beweisen Sie durch Grenzuebergang im Differenzenquotienten, dass f (x) = 1/x2 differenzierbar ist in allen Punkten a 6= 0. Bestimmen Sie ausserdem die Ableitung. 3. Was besagen Ketten-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel? 4. Wie kann man anhand der Ableitung einer Funktion f sehen, ob f konstant ist? 1 §5 - Lokale Extrema 1. Wann heisst a ∈ R lokales Extremum von f : R → R? 2. Wie kann man Kandidaten a ∈ R bestimmen, in denen f ein lokales Extremum haben koennte? 3. Betrachten Sie den Differenzenquotienten a lokales Minimum, so ist f 0 (a) = 0. f (x)−f (a) x−a fuer x = a ± 1/n, um zu zeigen: Ist §6 - Integration 1. Wie ist das Integral einer nicht-negativen, stetigen Funktion f : R → R definiert? 2. Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Koennen Sie eine Beweisidee angeben (etwa durch eine Skizze)? 3. Begruenden Sie die Substitutionsregel und die Formel fuer partielle Integration. §7 - Taylorformel 1. Geben Sie das Taylorpolynom Tn einer Funktion f : R → R mit Entwicklungspunkt a ∈ R vom Grad n an. Formulieren Sie dann die Taylorformel. 2. Nutzen Sie (ex )0 = ex und e0 = 1 um das n-te Taylorpolynom der Exponentialfunktion ex zu bestimmen mit Entwicklungspunkt a = 0. Skizzieren Sie ex , T0 , T1 , T2 . 3. Welche Integrationsregel war hilfreich beim Beweis der Taylorformel? 4. Geben Sie ein hinreichendes Kriterium an dafuer, dass f in a ein lokales Minimum besitzt. Denken Sie dabei an das Taylorpolynom T2 . §8 - Lineare Gleichungssysteme (LGS) 1. Was ist ein LGS? Wie kann man es mit Hilfe von Matrizen und Vektoren einfacher schrieben? 2. Wie funktioniert das Gauß’sche Eliminationsverfahren? 1 1 a 3. Loesen Sie fuer a, b ∈ R fest das LGS ·x= . 1 −1 b 2
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