8. Bewegungsgleichungen, Turbulenz

PAS I
Inhalt 8. Sitzung
Kap. 3. Strömungen in Oberflächengewässern
3.4 Bewegungsgleichungen für Wasser
Physik Aquatischer Systeme I
3.5 Turbulenz und Reynolds'sche Schubspannung
8. Navier-Stokes-Gleichung und
Turbulenz
W. Aeschbach-Hertig
Institut für Umweltphysik
Universität Heidelberg
2
3.4 Bewegungsgleichungen für Wasser
2. Druckgradientenkraft
Euler-Gleichung
Bewegungsgleichung für ideale (reibungsfreie) Flüssigkeit in
einem Inertialsystem:
F dv ∂v
1
=
=
+ ( v ⋅ ∇ ) v = −ge z − ∇p
ρV dt ∂t
ρ
Mit den Kräften:
1. Schwerkraft:
FG
= −∇Φ ≈ −ge z
ρV
2. Druckgradientenkraft:
Druckkraft: Betrag pA, Richtung
FP
1
= − ∇p
ρV
ρ
FP,x = A ⎣⎡p ( x ) − p ( x + dx )⎦⎤ = − A
3
zu − A
∂p
∂p
dx = − dV
∂x
∂x
4
Schubspannung und Reibungskraft
3. Reibungskraft (Schubspann.gradientenkraft)
Schubspannung
∂v
τxz = −η x
∂z
Vorzeichen:
minus weil Impulstransport entgegen
v-Gradient
Resultierende Kraft
durch τ-Gradient:
Reibungskraft: Betrag τA, Richtung ⊥ zu A, zu ± v
FR,xz = A ⎣⎡τ xz ( z ) − τ xz ( z + dz )⎦⎤ = − A
∂τxz
∂τ
dz = − xz dV
∂z
∂z
FR,xz = −
5
∂τ
⋅ A ⋅ dz
∂z
6
1
3. Reibungskraft (innere Reibung)
Kräfte in der geophysikalischen Fluiddynamik
resultierende Kraft in x-Richtung durch Gradient in z-Richtung:
FR,xz
∂2v
1 ∂τ xz
∂ ⎛ ∂v ⎞
=−
= − ⎜ −ν x ⎟ = ν 2x
ρV
ρ ∂z
∂z ⎝
∂z ⎠
∂z
ν konstant
0
⎞
⎛
Rotationsvektor im
⎜ ω ⋅ cos ϕ ⎟
Ω
=
lokalen System:
⎜
⎟
⎜ ω ⋅ sin ϕ ⎟
⎝
⎠
mit
ω = 2π Tag = 7.29 ⋅ 10−5 s−1
gesamte x-Komponente der Reibungskraft:
Zentripetalkraft:
FR,x
⎛ ∂ 2v
∂2v
∂2v ⎞
= ν ⎜ 2x + 2x + 2x ⎟ = ν∇ 2 v x = ν∆v x
ρV
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
In 3-D:
4. Trägheitskräfte aufgrund der Erdrotation:
FZ
= Ω × (Ω × r )
ρV
Maximaler Betrag am Äquator:
ω2r = 0.034 m s-2 << g
⇒ wird in g bzw. Φ berücksichtigt
⎛ vx ⎞
⎛ ∂2
FR
∂2
∂2 ⎞ ⎜ ⎟
= ν ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ⎜ v y ⎟ = ν∇ 2 v = ν∆v
ρV
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎜ ⎟
⎝ vz ⎠
Corioliskraft:
FC
= −2 ( Ω × v )
ρV
7
8
Navier-Stokes-Gleichung im System Erde
Wirkungen der Corioliskraft auf der Erde
Einsetzen aller Kräfte (Beschleunigungen) in die Grundform der
Bewegungsgleichung ergibt die Navier-Stokes-Gleichung:
dv ∂v
1
=
+ ( v ⋅ ∇ ) v = −∇Φ − ∇p − 2(Ω × v) + ν∆v
dt ∂t
ρ
Horizontale Kraftkomponente für horizontale Strömung (vz = 0):
⎛ v y ⋅ sin ϕ ⎞
⎛ vy ⎞
FC,h
= −2 ( Ω × v )h = 2ω ⎜
⎟=f⎜
⎟
ρV
⎝ −v x ⋅ sin ϕ ⎠
⎝ −v x ⎠
mit f = 2ω·sinϕ:
Coriolisparameter
Ortsbeschleunigung
Gravitationsbeschleunigung
Feldbeschleunigung
Coriolisbeschleunigung
Druckgradientenbeschleunigung
Reibungsbeschleunigung
N-Hemisphäre, f > 0: Ablenkung nach rechts
9
Navier-Stokes-Gleichung komponentenweise
10
Eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichung
∂v
1
+ ( v ⋅ ∇ ) v = −ge z − ∇p − 2( Ω × v) + ν∆v
∂t
ρ
In Komponenten, mit x = ( x1,x 2 ,x 3 ) und v = ( v1,v 2 ,v 3 )
∂v1
∂v
∂ 2 v1
1 ∂p
+ ∑ vj 1 = −
− 2ω ( v 3 cos ϕ − v 2 sin ϕ ) + ν ∑
ρ ∂x1
∂t
∂x j
j
j ∂x j
∂v 2
∂v
∂2v 2
1 ∂p
+ ∑vj 2 = −
− 2ω ( v1sin ϕ ) + ν ∑
∂t
∂
ρ
∂
∂x j
x
x
j
j
j
2
∂v 3
∂v
∂ 2v 3
1 ∂p
+ ∑ v j 3 = −g −
+ 2ω ( v1cos ϕ ) + ν ∑
∂t
∂x j
ρ ∂x 3
∂x j
j
j
Anisotropie horizontal/vertikal ⇒ oft: v1 ~ v2 ~ vh >> v3 = vz
Kopplung wegen Corioliskraft
Nichtlinearität wegen Feldbeschleunigung
11
12
2
Turbulenzkriterium: Reynoldszahl
Turbulenzkriterium: Reynoldszahl
Turbulenzerzeugung durch nichtlineare Terme:
(v ⋅ ∇) v
Vergleich von Termen der N-S-Gleichung (Kräften bzw.
Beschleunigungen) führt zu dimensionslosen Zahlen, z.B.:
Turbulenzzerstörung durch molekulare Reibung: ν∆v
Was überwiegt?
Ansatz: Schätze Größenordnung der Terme, indem Größen
durch Kombinationen typischer Werte (Geschwindigkeit etc.)
bzw. typischer Skalen (Länge) ersetzt werden.
Reynoldszahl: Re =
Re > Rec ~ 1000: Strömung turbulent
Immer der Fall für große Skalen in
Oberflächengewässern
Mit typ. Geschwindigkeit U und Längenskala L werden:
2
( v ⋅∇) v ∼ UL
ν∆v ∼ ν
Feldbeschleun. ( v ⋅ ∇ ) v U2 L UL
=
∼
=
Reibungsbeschl.
ν∆v
νU L2
ν
Bsp. See:
U ~ 0.1 m/s, L ~ 1000 m, ν ~ 10-6 m2/s:
Re ~ 108 >> Rec
U
L2
13
Osborne Reynolds, 1842-1912
14
Zur Reynoldszahl
3.5 Turbulenz und Reynold'sche Schubspannung
Experiment zur Bestimmung von Rec
Reynolds-Aufspaltung: Methode zur Parametrisierung
der nichtlinearen Terme in der N-S-Gleichung
Grundidee: Aufspaltung der Geschwindigkeitskomponenten in Mittelwert und Fluktuationen
τ
v i = Vi + v i′
mit
Vi = v i =
1
v i ( t ) dt
τ ∫0
und
v i′ = 0
skalenabhängig!
1. Schritt: Symmetrisierung
⎛
∂
∑ ∂x ( v v ) = ∑ ⎜ v
Strömungsmuster für
verschiedene Re
i
j
Skalierung mit Re
j
j
j
⎝
j
∂v ⎞
∂v
∂v i
∂v
∂v
+ vi j ⎟ = ∑ v j i + vi ∑ j = ∑ v j i
∂x j
∂x j ⎠
∂
∂x j
x
j
j ∂x j
j
j
div v = 0
aus Stewart, 2003
15
Reynolds-Aufspaltung II
16
Reynolds-Aufspaltung III
4. Schritt: Vernachlässigung der NL-Terme für Mittelwerte
2. Schritt: Aufspaltung
∂
∂
∑ ∂x ( v v ) = ∑ ∂x ( ( V + v ') ( V + v ' ) )
i
j
j
i
j
j
i
j
Vj
j
j
∂
=∑
( Vi Vj + vi' v j'+ Vvi j'+ Vjvi')
j ∂x j
5. Schritt: Schließungsschritt
v i' v j' = − A ij
3. Schritt: Erneute Mittelung
0
0
∂
∂
∑ ∂x ( v v ) = ∑ ∂x ( V V + v ' v ' + Vv ' + V v ' )
i
j
j
=∑
j
j
i
j
∂Vi
=0
∂x j
j
i
j
i
j
j
i
j
∂
( V V + vi' v j') = ∑ Vj ∂∂Vx i + ∑ ∂∂x ( vi' v j' )
∂x j i j
j
j
j
j
div V = 0
17
∂Vi
∂x j
v i' v j'
Reynolds-Stress
(turbulente Schubspannung, analog zu τij)
A ij
eddy viscosity, turbulente Viskosität
(analog zu ν)
18
3
Impulsfluss durch Turbulenz: Reynolds-Stress
Turbulente Reibung
Fluss von x-Impuls durch vertikale Strömung: jpx,z = ( ρv x ) v z
Zusammenfassung:
∑v
Aufspaltung v i = Vi + v i′ einsetzen und mitteln:
(
) (
)(
jpx,z = ρ Vx + v x′ Vz + v z′ = ρ Vx ⋅ Vz + v x′ ⋅ v z′
Reynolds-Stress:
(
τ xz,turb = jpx,z,turb = ρ v x′ ⋅ v z′
j
)
⇒
τ xz,turb = − A xz
∂v i
∂x j
∂
∑ ∂x ( v ' v ')
ReynoldsAufspaltung
i
j
NL-Terme
j
j
turbulente Reibung
Mit dem Gradientenansatz folgt für die turb. Reibungsterme
)
−
Turbulenz führt zu Impulsdiffusion, analog zur Viskosität:
∂V
v x′v z′ ≡ − A xz x
∂z
j
( )
1 ∂τij,turb
∂
∂ ⎛ ∂Vi ⎞
=
v i′v j′ = −
⎜ A ij
⎟
∂x j
ρ ∂x j
∂x j ⎝ ∂x j ⎠
In Analogie zu den Termen der molekularen Reibungskraft
∂
( ρVx )
∂z
FR,ij
Gradientenansatz
ρV
=−
∂ ⎛ ∂v i ⎞
1 ∂τij
=
⎜ν
⎟
ρ ∂x j ∂x j ⎝ ∂x j ⎠
19
Turbulente Viskosität
20
Einsetzen in Navier-Stokes-Gleichung
∂v1
∂v
∂ 2 v1
1 ∂p
+ ∑ vj 1 = −
− 2ω ( v 3 cos ϕ − v 2 sin ϕ ) + ν ∑
∂t
∂x j
ρ ∂x1
j
j ∂x j
Die turbulenten Impuls-Diffusionskoeffizienten Aij (turbulente
Viskosität, eddy viscosity) sind analog zur molekularen
Viskosität ν, aber viel größer.
∂v 2
∂v
∂2v2
1 ∂p
+ ∑ vj 2 = −
− 2ω ( v1sin ϕ ) + ν ∑
x
x
∂t
∂
ρ
∂
∂x j
j
j
j
2
Die Aij sind i. A. anisotrop ⇒ durch Tensor zu beschreiben.
∂v 3
∂v
∂2v3
1 ∂p
+ ∑ v j 3 = −g −
+ 2ω ( v1cos ϕ ) + ν ∑
∂t
∂x j
ρ ∂x 3
∂x j
j
j
Oft lässt sich der Tensor auf 2 Komponenten reduzieren :
Ah (horizontal) und Az (vertikal)
Die turbulenten Viskositäten sind abhängig von der Skala des
Systems, aber meist gilt: Ah >> Az >> ν
Atmosphäre: ν ≈ 10-5 m2/s, Az ≈ 10-1… 10 m2/s
Ozean:
ν ≈ 10-6 m2/s, Az ≈ 10-5… 10-1 m2/s, Ah ≈ 10… 105 m2/s
• vi ersetzen durch Mittelwerte Vi
• NL Terme (Feldbeschleunigung) → Turbulente Reibung
• Viskose Reibung vernachlässigen (große Skala, ν << Aij)
• Vertikale Strömung vernachlässigen (vz << vx, vy): 2-D
21
2-D linearisierte N-S-Gleichungen
22
Vereinfachte 2-D linearisierte N-S-Gleichungen
∂Vx
∂V ⎞ ∂ ⎛
∂V ⎞ ∂ ⎛
∂V ⎞
1 ∂p
∂ ⎛
=−
+ fVy + ⎜ A xx x ⎟ + ⎜ A xy x ⎟ + ⎜ A xz x ⎟
ρ ∂x
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
∂t
Def.: Horizontaler Laplace Operator
∂Vy
Def.: u = Vx, v = Vy
∂t
=−
∂V ⎞ ∂ ⎛
∂V ⎞ ∂ ⎛
∂V ⎞
∂ ⎛
1 ∂p
− fVx + ⎜ A yx y ⎟ + ⎜ A yy y ⎟ + ⎜ A yz y ⎟
ρ ∂y
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
∇h2 ≡
∂2
∂2
+
∂x 2 ∂y 2
vereinfachte Gleichungen
Mit Coriolisparameter f = 2ω·sinϕ
∂u
1 ∂p
∂ 2u
=−
+ fv + A h∇h2u + A z 2
∂t
ρ ∂x
∂z
Annahme: Horizontal isotrope Turbulenz
∂v
∂ 2v
1 ∂p
=−
− fu + A h∇h2 v + A z 2
∂t
ρ ∂y
∂z
A xx = A xy = A yx = A yy ≡ A h = const.
A xz = A yz ≡ A z = const.
Ausgangspunkt für Beschreibung der Ozeanzirkulation
23
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4

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