Polvorgabe im Zustandsraum (Zusammenfassung) Ackermann Formel

Polvorgabe im Zustandsraum
(Zusammenfassung)
x&x&==AA⋅ x⋅ x++BB⋅ u⋅ u
uu==−−KK⋅ x⋅ x
x&x&==(A
(A−−BB⋅ K
⋅ K) ⋅)x⋅ x==AAF ⋅ x⋅ x
F
s s⋅ I⋅ I−−AAF ==s s⋅ I⋅ I−−AA++BB⋅ K
⋅K
F
s s⋅ I⋅ I−−AA++BB⋅ K
⋅ K==∆∆SOLL ==(s(s−−pp1 ) ⋅)(⋅s(s−−pp2 ) ⋅)...
⋅ ...⋅ (⋅s(s−−ppn ) )==
1
SOLL
2
n
ccn ⋅ s⋅ sn n++ccn −1 ⋅ s⋅ sn −n1−1++......++c1c⋅ s⋅ s++cc0
1
0
n
n −1
Ackermann Formel
n−2
bn −1 ⋅ s⋅ sn −n1−1++bb
n − 2+ ... + b1 ⋅ s + b0
n−2 ⋅ s
+ ... + b1 ⋅ s + b0
GG( s( )s )== b
n −1 n
n − 2 n⋅−s
1
aan ⋅ s⋅ s n++aan −1 ⋅ s⋅ s n −1++......++aa
+ a0
1 ⋅s
n
n −1
1 ⋅ s + a0
11
00 ...... 00 
  00
 00 

 0

 0  
00
11 ...... 00  
 0
  0 

...;
AA==  ....
=
....
.... ...... .... ;B

 ; B = ...
 ;
0
0
0
...
1
0
 0
  0 
0
0
...
1 
−
 1  
−−aa2 ...... −−aan −1  
1
−aa0 0 −−aa
1
2
n −1 
1 
CC==[b[b
b
...
b
]
;
D
=
0
0
0
n −1 ]; D = 0
b
... b
0
0
n −1
 00 00 ...... 00 
00 


0  
 0 ⋅ [K1 K 2 ... K n ] =  ...... .... .... .... 
uu==−−KK⋅ x⋅ x; ; BB⋅ K
=
⋅ K =.. ⋅ [K1 K 2 ... K n ] = ..
.... .... .... 
  ..

 .. 
K ... K 
11 
K
 K1 1 K2 2 ... Kn n 
11 ...... 00 
  00
  ...
 
..
..
..
..
..
..  
 ...
AAF ==AA−−BB⋅ K
⋅ K==  ..

F
..
..
1

..
..
1 
  ..
K − K ... − K 
−
− K1 1 − K2 2 ... − Kn n 
s s⋅ I⋅ I−−AAF ==s sn n++(a(an −1 ++KKn ) ⋅)s⋅ sn −n1−1++......++(a(1a++KK2 ) ⋅)s⋅ s++(a(a0 ++KK1 ) )
F
n −1
n
1
∆∆SOLL ==s sn n++ccn −1 ⋅ s⋅ sn −n1−1++......++c1c⋅ s⋅ s++c0c
SOLL
n −1
1
0
aan −1 ++KKn ==ccn −1 ; ; KKn ==ccn −1 −−aan −1
n −1
n
n −1
n
n −1
n −1
2
0
1
Gilt nur für
Regelungsnormalform
Ackermann Formel
[[
]]
−1
2
n
−1
KK==[0[0 00 ....
(A) )
.... 1]1⋅]⋅BB AA⋅ B
⋅ B AA 2⋅ B
⋅ B ....
.... AA n⋅ B
⋅B ⋅∆
⋅ ∆C C(A
n
n −1
∆∆C (A
(A) )==AA n++ccn−1 ⋅ A
⋅ A n −1++....
....++c1c⋅ A
⋅ A++c0c ⋅ I⋅ I
n −1
C
1
0
Regelbarkeit des Systems:
[B[B
2
AA⋅ B
⋅ B AA 2⋅ B
⋅B
2
BB AA⋅ B
⋅ B AA 2⋅ B
⋅B
....
....
....
....
]]
AAn n⋅ B
nicht
⋅B
nichtsingular
singular
n
AA n⋅ B
⋅ B≠≠00
Ackermann Formel
[[
]]
−1
2
n
−1
KK==[0[0 00 ....
(A) )
.... 1]1⋅]⋅BB AA⋅ B
⋅ B AA 2⋅ B
⋅ B ....
.... AA n⋅ B
⋅B ⋅∆
⋅ ∆C C(A
n
n −1
∆∆C (A
(A) )==AA n++ccn−1 ⋅ A
⋅ A n −1++....
....++c1c⋅ A
⋅ A++c0c ⋅ I⋅ I
n −1
C
1
0
Regelbarkeit des Systems:
[B[B
2
AA⋅ B
⋅ B AA 2⋅ B
⋅B
2
BB AA⋅ B
A
2⋅ B
⋅B A ⋅B
....
....
....
....
]]
AAn n⋅ B
nicht
⋅B
nichtsingular
singular
AAn n⋅ B
≠
0
⋅B ≠ 0
Optimale Regelung
Die klassischen Methoden der
Reglereinstellung sowie die
Methode der Polvorgabe
berücksichtigen nicht den Verlauf
der Stellgröße u(t), was in der
Praxis zu Veränderungen der
Eigenschaften des Regelkreises
führt.
Optimale Regelung ermöglicht die Auslegung des Reglers auch im
Hinblick auf Stellgröße. Dabei wird für ein System:
x&x(t)
& (t)==gg(x(t)
(x(t), u(t)
, u(t), t,)t )
ein Verlauf u(t) ermittelt, der folgendes Gütefunktional minimiert wird
t1
t1
JJ==∫ hh(x(x(t(),
u(t ), t )dt
∫ t ), u(t ), t )dt
0
0
LQR (linear-quadratische) Regelung
LQR Regelung ist ein
Regekverfahren für lineare
Systeme mit einem quadratischen
Gütefunktional:
x&x(t)
& (t)==AA⋅ x⋅ x++BB⋅ u⋅ u
t2
t2
((
))
JJ==∫ xx⋅ Q
⋅ x⋅ xT T++uu⋅ R
⋅ u⋅ uT Tddt
t
⋅
Q
⋅
R
∫
t1
t1
Die Stellgröße u(t) wird ermittelt als:
uuOPT ==−−KK⋅ x⋅ x; ;
OPT
T
KK==RR−1−1⋅ B
⋅ BT⋅ P
⋅ P; ;
Die Matrix P errechnet sich aus der Differentialgleichung
oder
LQR mit Matlab

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