Einführung in die formale Demographie

Einführung in die formale Demographie
R OLAND R AU
Universität Rostock, Wintersemester 2015/2016
23. November 2015
c Roland Rau
Einführung in die formale Demographie
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Vergangene Vorlesung: Abschluss, Sterbetafel /
Sterbetafelbevölkerung
Beginn: stabiles Bevölkerungsmodell
c Roland Rau
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Lassen Sie uns zurückgehen zum Ausgangspunkt der
gesamten Vorlesung Einführung in die formale Demographie.
Wir wollen untersuchen
Nt1 ⇒ Nt2
Mit den gegebenen Annahmen (konstante, altersspezifische
Fertilität, konstante, altersspezifische Mortalität, keine
Migration) ist uns ja die “Blackbox” (⇒) bekannt. Daher
verschiebt sich nun unsere Frage hin zu:
Nt1 ⇒ ?
c Roland Rau
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Wie erreicht man nun in einer solchen Situation die erste
Altersklasse (also Alter “Null”) zu einem späteren Zeitpunkt
(n1,t=2 = n1 )?
F1 x1 + F2 x2 + F3 x3 + . . . + Fω xω = n1
In menschlichen Bevölkerungen sind in aller Regel (bei
einjährigen Altersstufen) die ersten und letzten Werte von F
gleich Null.
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Wie erreicht man nun in einer solchen Situation die zweite Altersklasse (also Alter 1)
zu einem späteren Zeitpunkt (n2,t=2 = n2 )?
Mittels der Überlebenswahrscheinlichkeiten px aus der Sterbetafel:
p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + . . . + pω xω = n2
Dies wird zu (man kann Alter(sstufe) 2 ja nur aus Alter(sstufe) 1 erreichen):
p1 x1 + 0x2 + 0x3 + . . . + 0xω
=
n2
p1 x1 + 0 + 0 + . . . + 0
=
n2
Und Altersgruppe 3 (Alter 2)? Ganz analog:
p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + . . . + pω xω
=
n3
0x1 + p2 x2 + 0x3 + . . . + 0xω
=
n3
0 + p2 x2 + 0 + . . . + 0
=
n3
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Dies lässt sich natürlich so fortführen.
Die resultierende Matrix für alle Altersstufen hat eine charakteristische
Struktur, die nach ihrem Erfinder Patrick Holt Leslie (1945) als Leslie-Matrix
bezeichnet wird. Diese hat die Form:

F1
 p1

0

0

.
 ..
0
F2
0
p2
0
..
.
0
F3
0
0
p3
..
.
0
...
...
...
...
..
.
...
Fω−1
0
0
0
..
.
pω−1

 

n1,t2
n1,t1
Fω


 
0 
  n2,t1   n2,t2 
 n3,t1   n3,t2 
0 

 



=
0 
  n4,t1   n4,t2 
..   ..   .. 
.  .   . 
nω,t2
nω,t1
0
Oder aber kompakter:
An(t) = n(t + 1)
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Numerisches Beispiel

0
A = 0.9
0

0·1
n(t = 2) = 0.9 · 1
0·1
+
+
+

1·0
0·0
0.1 · 0
0·0
n(t = 3) = 0.9 · 0
0·0

0 · 0.9
n(t = 4) = 0.9 · 0.9
0 · 0.9
1
0
0.1

3
0 ;
0
 
1
n(t = 1) = 0
0
 
3·0
0
0 · 0 = 0.9
0·0
0
+
+
+
+
+
+
1 · 0.9
0 · 0.9
0.1 · 0.9
+
+
+
1·0
0·0
0.1 · 0
c Roland Rau
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
+
+
+
  
0
0
0 = 0.9
0
0
 

3·0
0.9
0 · 0 =  0 
0·0
0.09
 

3 · 0.09
0.27


0 · 0.09 = 0.81
0 · 0.09
0
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Was wird langfristig mit dieser Bevölkerung geschehen?
N(t = 1) = 1;
N(t = 2) = 0.9;
N(t = 3) = 0.99;
N(t = 4) = 1.08;
0.6
0.8
Altersgruppe 1
Altersgruppe 2
Altersgruppe 3
0.2
0.4
Anteil der Altersgruppen
1.05
1.00
0.95
0.90
0.0
0.85
Gesamtbevölkerung
1.10
1.0
1.15
?
1
2
3
4
Zeit
1
2
3
4
Zeit
c Roland Rau
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8 / 36
1000
100
Gesamtbevölkerung
10
1
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
Zeit
c Roland Rau
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9 / 36
1.0
0.6
0.4
0.2
0.0
Anteil der Altersgruppen
0.8
Altersgruppe 1
Altersgruppe 2
Altersgruppe 3
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
Zeit
c Roland Rau
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Ist dies immer so?
Ein weiteres Beispiel (Caswell, 2001, S. 11):


 
0
1 5
1
A = 0.3 0 0 ; n = 0
0 0.5 0
0
c Roland Rau
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11 / 36
3
2
Gesamtbevölkerung
1
0
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
Zeit
c Roland Rau
Einführung in die formale Demographie
12 / 36
1.0
0.6
0.4
0.2
0.0
Anteil der Altersgruppen
0.8
Altersgruppe 1
Altersgruppe 2
Altersgruppe 3
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
Zeit
c Roland Rau
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Ist dies immer so?
Beispiel: USA, Frauen, 1965, 0–44 Jahre in 15-jährigen
Altersgruppen (Keyfitz and Beekman, 1984, S. 95):




0.4271 0.8498 0.1273
29, 415
0
0  ; n = 20, 886 (in 1, 000)
A = 0.9924
0
0.9826
0
18, 040
c Roland Rau
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14 / 36
1e+13
1e+11
Gesamtbevölkerung
1e+09
1e+07
1e+05
0
20
40
60
80
100
Zeit
c Roland Rau
Einführung in die formale Demographie
15 / 36
1.0
0.8
0.6
t(relmatrix)
0.4
0.2
0.0
0
20
40
c Roland Rau
60
80
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100
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Erste, asymptotische Ergebnisse
Unter den gegebenen Annahmen des stabilen
Bevölkerungsmodells:
wächst (oder schrumpft) eine Bevölkerung langfristig mit
der gleichen Rate
wird der Anteil der Altersgruppen langfristig konstant
werden.
c Roland Rau
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Erstellen einer Projektionsmatrix
Schritt 1: Erstellen eines “Life-Cycle-Graphs”
Schritt 1.1: Definition der interessierenden Stadien eines
Organismus. Bei menschlichen Bevölkerungen meist Alter
(bzw. Altersstufen)
Altersstufe 1
Altersstufe 2
Altersstufe 3
c Roland Rau
Altersstufe 4
Altersstufe 5
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Altersstufe 6
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Erstellen einer Projektionsmatrix
Schritt 1: Erstellen eines “Life-Cycle-Graphs”
Schritt 1.1: Definition der interessierenden Stadien eines
Organismus. Bei menschlichen Bevölkerungen meist Alter
(bzw. Altersstufen)
Schritt 1.2: Auswahl eines Projektionsintervals (z.B. 1 Jahr,
5 Jahre, 15 Jahre)
Altersstufe 1
Altersstufe 2
Altersstufe 3
c Roland Rau
Altersstufe 4
Altersstufe 5
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Altersstufe 6
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Erstellen einer Projektionsmatrix
Schritt 1: Erstellen eines “Life-Cycle-Graphs”
Schritt 1.1: Definition der interessierenden Stadien eines
Organismus. Bei menschlichen Bevölkerungen meist Alter
(bzw. Altersstufen)
Schritt 1.2: Auswahl eines Projektionsintervals (z.B. 1 Jahr,
5 Jahre, 15 Jahre)
Schritt 1.3: Welchen Beitrag leistet eine (Alters-)Stufe vom
Beginn eines Projektionsintervalls bis zum Ende eines
Projektionsintervalls?
Prinzipiell zwei Möglichkeiten:
Überleben in die nächste Altersstufe
Reproduktion in die erste Altersstufe
Bitte beachten Sie: Diese Beiträge beziehen sich nur, wenn eine
Altersdifferenzierung vorgenommen wird. Bei anderen Übergängen (z.B.
Familienstand) kann dies völlig anders sein.
c Roland Rau
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Erstellen einer Projektionsmatrix
...
Schritt 1.3: Welchen Beitrag leistet eine (Alters-)Stufe vom
Beginn eines Projektionsintervalls bis zum Ende eines
Projektionsintervalls?
Prinzipiell zwei Möglichkeiten:
Überleben in die nächste Altersstufe
Reproduktion in die erste Altersstufe
Altersstufe 1
Altersstufe 2
Altersstufe 3
c Roland Rau
Altersstufe 4
Altersstufe 5
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Altersstufe 6
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Erstellen einer Projektionsmatrix
...
Schritt 1.4: Eintragen von Koeffizienten von (Alters-)Stufen
zu (Alters-)Stufen, wo tatsächlich ein Beitrag geleistet wird
— Siehe Schritt 1.3, ⇒ Reproduktion und Überleben
(zuerst symbolisch, also F1 , F2 , . . . ; p1 , p2 , . . .)
F3
Altersstufe 1
p1
Altersstufe 2
p2
F5
F4
Altersstufe 3
c Roland Rau
p3
Altersstufe 4
p4
Altersstufe 5
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p5
Altersstufe 6
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Erstellen einer Projektionsmatrix
Schritt 2: Umsetzen des Lifecycle-Graphs in eine
Projektionsmatrix.
aij bezeichnet das Element der Matrix A, das in der i-ten
Zeile und der j-ten Spalte steht (d.h. der erste Index
bezeichnet die Zeile; der zweite Index bezeichnet die
Spalte)
Generelle Regel:
Das Element aij beschreibt den Beitrag
der j-ten Altersstufe zur i-ten Altersstufe.
c Roland Rau
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Erstellen einer Projektionsmatrix
F3
Altersstufe 1
p1
Altersstufe 2
p2
Altersstufe 3

⇒
F5
F4
p3
Altersstufe 4
p4
Altersstufe 5
0 0 F3 F4 F5
p1 0 0 0 0

 0 p2 0 0 0
A=
 0 0 p3 0 0

 0 0 0 p4 0
0 0 0 0 p5
c Roland Rau
p5
Altersstufe 6

0
0

0

0

0
0
Einführung in die formale Demographie
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Anderes Beispiel: Großer Schwertwal — Orca
Quelle:
Solange B RAULT, Hal C ASWELL
(1993):
Pod-Specific Demography of Killer
Whales (Orcinus Orca).
Ecology 74(5), 1444-14454
Bildquelle: Wikipedia, Bild ist in der “Public Domain”
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/37/Killerwhales_jumping.jpg
c Roland Rau
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Anderes Beispiel: Großer Schwertwal — Orca
F3
1: Yearling
2: Juvenile
F2
1
3: Reproductive Adults
2
G1
G2
P2
P1

P1
G1
A=
0
0
3
G3
P3
F2
P2
G2
0
F3
0
P3
G3

0
0

0
P4
c Roland Rau
4: Postreproductive
Adults
4
P4

0
0.9775

A=
0
0
0.0043
0.9111
0.0736
0
0.1132
0
0.9534
0.0452
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
0
0 

0 
0.9804
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Erstellen einer Projektionsmatrix
Bisher waren die numerischen Werte immer gegeben, z.B. —
siehe Caswell (2001, S. 11)


0
1 5
A = 0.3 0 0
0 0.5 0
Doch wo kommen diese Werte her?
(Ich beziehe mich dabei stark auf Wachter (1997).)
c Roland Rau
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Statistische Daten ⇒ Projektionsmatrix
25
25
20
20
15
15
Unser Beispiel:
Altersdifferenzierte Bevölkerung
in 5-jährigen Altersstufen
Wir beginnen mit der
Subdiagonalen.
Wie lautet die Wahrscheinlickeit,
dass eine Person im Alter
15 6 x < 20 weitere 5 Jahre
später noch am Leben ist?
(siehe Lexis-Diagramm)
t
c Roland Rau
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t+5
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Statistische Daten ⇒ Projektionsmatrix
Unser Beispiel:
Altersdifferenzierte Bevölkerung in
5-jährigen Altersstufen
25
25
20
20
15
15
Wir beginnen mit der Subdiagonalen.
Wie lautet die Wahrscheinlickeit,
dass eine Person im Alter
15 6 x < 20 weitere 5 Jahre später
noch am Leben ist? (siehe
Lexis-Diagramm)
⇒ Die Anzahl der Lebenden am
Ende des Projektionsintervalls geteilt
durch die Anzahl der Lebenden am
Anfang des Projektionsintervalls
Wie wir uns erinnern ist n Lx aus der
Sterbetafel die durchschnittliche
Bevölkerung in der Altersgruppe
x → x + n. (und in Bezug auf die
Sterblichkeit haben wir im stabilen
Modell die gleichen Annahmen wie
im stationären Modell).
c Roland Rau
t
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t+5
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Statistische Daten ⇒ Projektionsmatrix
Daher kommen auf die Subdiagonalen die Werte


F1 F2 F3 . . .
 5 L5
0
0 . . .
 5 L0



0 . . .
 0 55LL105


5 L15
0
. . .
0
5 L10


..
..
..
..
.
.
.
.
n Lx+n
n Lx
:
Oder im vorherigen Beispiel:

0
 L2
 L1
0

A=
0

0
0
0
0
L3
L2
0
0
0
c Roland Rau
F3 F4 F5
0 0 0
0 0 0
L4
0 0
L3
L5
0 L4 0
0 0 LL56

0
0

0


0

0
0
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Statistische Daten ⇒ Projektionsmatrix
Was kommt jedoch in die erste Zeile?
Schrittweise:
1
ganz einfach: Multiplikation der altersspezifischen
Fertilitätsraten (nur für Töchter!) mit dem gewählten
Zeitabstand:
n fx · n
2
es überleben jedoch nicht alle Neugeborenen das erste
Lebensjahr (oder 5 Jahre, oder . . . je nach Intervallbreite n)
c Roland Rau
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Statistische Daten ⇒ Projektionsmatrix
2
es überleben jedoch nicht alle Neugeborenen das erste
Lebensjahr (oder 5 Jahre, oder . . . je nach Intervallbreite n)
Vorher (für Subdiagonale):
25
Jetzt (für erste Zeile):
25
20
5
5
0
0
20
t
15
t+5
15
t
t+5
c Roland Rau
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Statistische Daten ⇒ Projektionsmatrix
2
es überleben jedoch nicht alle Neugeborenen das erste
Lebensjahr (oder 5 Jahre, oder . . . je nach Intervallbreite n)
D.h. wir haben im Nenner
5 · l0
und im Zähler:
l4.5 + l3.5 + l2.5 + l1.5 + l0.5 = L4 + L3 + L2 + L1 + L0 = 5 L0
Daher haben wir eine etwas kompliziertere Formel:
n fx
·n
⇒
n L0
n · l0
· n · n fx =
n L0
l0
n fx
. . . und hier geht es nächste Woche weiter!
c Roland Rau
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Literatur
Brault, S. and H. Caswell (1993). Pod-Specific Demography of Killer Whales (Orcinus
Orca). Ecology 74(5), 1444–1454.
Caswell, H. (2001). Matrix Population Models. Construction, Analysis, and
Interpretation. Second Edition. Sunderland, MA: Sinauer.
Keyfitz, N. and J. A. Beekman (1984). Demography Through Problems. Problem
Books in Mathematics. Springer-Verlag.
Leslie, P. H. (1945). On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics.
Biometrika 33, 183–212.
Wachter, K. W. (1997). Essential demographic methods. Unpublished Lecture Notes.
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Lizenz
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18057 Rostock
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Fax.: +49-381-498 4395
Email: [email protected]
Sprechstunde im WS 2015/2016: Mittwochs, 09:00–10:00
(und nach Vereinbarung)
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