Ubungsaufgabe - Vektorrechnung

Vektor Fähren
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Übungsaufgabe - Vektorrechnung
Aufgabe - Fähren
Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fähren F1 und F2 . Die Fähre F1 fährt in 40
Minuten mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig von Ort A(16|4) zum Ort B(12|20).
Die Fähre F2 fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 25 km/h geradlinig vom Ort
C(4|0) zum Ort D(25|15) (Alle Koordinaten in km).
a) Skizzieren Sie die Routen der beiden Fähren.
b) Wo befindet sich die Fähre F1 eine halbe Stunde nach dem Verlassen des Ortes A?
c)
Beide Fähren verlassen gleichzeitig die Orte A bzw. C. Wie viele Minuten nach
Abfahrt kommen sich die beiden Fähren am nächsten? Wie weit sind sie in diesem
Augenblick voneinander entfernt?
Lösung
a) Skizze:
y
B
20
18
F1
16
D
14
F2
12
10
8
6
4
A
2
C
0
0
2
4
x
6
8
10
12
14
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b) Da sich die Fähren geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, können
ihre Routen durch Geraden ausgedrückt werden. Für F1 kann man ansetzen:
# »
F1 : ~x = OA + t · ~v , t ∈ R
# »
Der Richtungsvektor ~v verläuft parallel zum Vektor AB, es gilt also:
# »
~v = k · AB, k ∈ R,
wobei k eine geeignet zu wählende Konstante ist. Sie lässt sich auf zwei Arten
bestimmen.
# »
1. Nutze die Beziehung s = v · t. Die Fähre benötigt für die Strecke |AB| die Zeit
T . Es gilt also:
# »
|AB| = |~v | · T
# »
= |k · AB| · T
# »
= k · |AB| · T
1 = k·T
1
k =
T
2.
Durch Punktprobe mit B. Zur Zeit t = 0 befindet sich F1 in A, zur Zeit t = T
in B.
# »
# »
# »
OB = OA + T · k · AB
# » # »
# »
OB − OA = T · k · AB
# »
# »
AB = T · k · AB
1 = k·T
1
k =
T
Da die Geschwindigkeit in km/h angegeben ist, ist es sinnvoll, t in Stunden anzugeben. Für T = 40 min folgt T = 2/3 h (Dreisatz: 40 min / 60 min = T / 1 h ⇒
T = 2/3 h). Damit ergibt sich k zu 3/2. Die Gerade lautet schließlich:
# » 3
# »
F1 : ~x = OA + · t · AB
2
3
16
−4
=
+ ·t·
4
16
2
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Oder vereinfacht:
16
−6
F1 : ~x =
+t·
4
24
Die Position der Fähre F1 nach einer halben Stunde ergibt sich durch Einsetzen von
t = 1/2. Es gilt:
1
# »
−6
16
OP =
+ ·
24
4
2
16
−3
=
+
4
12
13
=
16
⇒ P(13|16)
c)
Zur Lösung dieser Teilaufgabe muss auch die Route von F2 durch eine Gerade
ausgedrückt werden. Dies erfolgt völlig analog zu Teilaufgabe a) durch den Ansatz
# »
F2 : ~x = OC + t · ~v , t ∈ R,
# »
mit ~v = k · CD. In a) fanden wir die Relation k = 1/T . Nun ist aber nicht die
Fahrzeit T , sondern die Geschwindigkeit v = 25 km/h gegeben. Aus dieser lässt
sich T über die Gleichung s = v · t bestimmen. Die zurückgelegte Strecke entspricht
# »
genau der Länge des Vektors CD. Es gilt also:
# »
|CD|
T =
v
1 21 =
·
25 15 1 √ 2
· 21 + 152
25
√
666
=
25
=
25
Daraus folgt k = √
. Die Gerade F2 lautet damit:
666
25
# »
# »
F2 : ~x = OC + √
· t · CD
666
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4
~x =
+
0
4
=
+
0
25
25 − 4
√
·t·
15 − 0
666
25
21
√
·t·
15
666
Die Positionen beider Fähren können allgemein durch von der Zeit abhängige Punkte
dargestellt werden. Wir nennen sie im Folgenden Gt bzw. Ht . Aus den Geradendarstellungen folgt für die Punkte:
Gt (16 − 6t | 4 + 24t)
und
Ht
25
25
4 + 21 · √
· t 15 · √
·t .
666
666
Es folgt eine um diese Punkte ergänzte Skizze, wobei für t ein beliebiger Wert
angenommen wurde.
y
B
20
18
F1
16
D
14
F2
Gt
12
10
8
6
Ht
4
A
2
C
0
0
2
4
x
6
8
10
12
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Der Abstand zwischen den Fähren zu jeder Zeit t entspricht der Länge des Verbin# »
# »
dungsvektors Ht Gt (oder Gt Ht , da es nur um den Betrag geht, ist die Richtung des
Vektors irrelevant). Also:
# »
d(t) = |Ht Gt |


525
16 − 6t − 4 + √
·
t


666


= 



375
√
4
+
24t
−
·
t
666


12 − 6 + √525 · t 

666


= 



4 + 24 − √375 · t 666
s
2 2
525
375
12 − 6 + √
=
· t + 4 + 24 − √
·t
666
666
Der Zeitpunkt, an welchem sich die Fähren am nächsten kommen, entspricht dem
Wert von t, für welchen d(t) minimal wird. Das Minimum von d(t) kann mit dem
GTR bestimmt werden und ergibt sich zu tmin ≈ 0.355 h. Der zugehörige Abstand
folgt durch Einsetzen von tmin in d(t). Es folgt d(tmin ) ≈ 7.82 km. Die Antwort
lautet schlussendlich:
Ungefähr 21.3 Minuten nach Abfahrt kommen sich die Fähren mit einem
Abstand von etwa 7.82 km am nächsten.
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