Überquerungsstrategien Differentialgleichung Hund und Wurst Fakultät Grundlagen Februar 2016 Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Überquerungsstrategien Differentialgleichung Übersicht 1 Überquerungsstrategien 2 Differentialgleichung Bahnkurve Zeit Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 2 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Fluss Hund will zur gegenüberliegenden Wurst. Wurst (0|0) Hund (1|0) Die Geschwindigkeitsverteilung wird über die gesamte Flussbreite als konstant angenommen. In der Realität ist die Fließgeschwindigkeit in der Mitte größer! Einführung eines Koordinatensystems Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 3 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Strategie I Hund schwimmt immer senkrecht zur Fließrichtung. ~vH Der Hund wird abgetrieben“! ” Bahnkurve ist eine Gerade (grün). |~ vF | Er kommt an der Stelle 0 |~ vH | an. Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 4 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Strategie II Hund schwimmt soviel gegen Fließrichtung, dass Resultierende senkrecht Fluss. ~vH Der kommt Hund genau bei der Wurst an. Bahnkurve ist eine zur Fließrichtung senkrechte Gerade (grün). p Er benötigt mehr Zeit! Verhältnis: |~vH | : |~vH |2 − |~vF |2 Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 5 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Strategie III ~v ~vF Hund schwimmt immer in Richtung Wurst! ~H V Je nach Position verändert sich die Richtung von ~vH ; nicht aber der Betrag. Im ortsfesten Koordinatensystem erfolgt die Bewegung in Richtung der resultierende Geschwindigkeit ~v . Die Resultierende ~v ist immer tangential an Bahnkurve! Die Bahnkurve wird durch eine DGL 1. Ordnung beschreiben. Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 6 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Bahnkurve Zeit Herleitung ~v ~vH Wurst ~vF Hund schwimmt immer in Richtung Wurst. 0 ~vF = , |~vF | = v1 v1 x v 0 ~vH = − p , |~vH | = v0 2 2 y x +y − p v0 · x 2 2 x +y ~v = ~vF + ~vH = v ·y v1 − p 0 2 2 x +y ~v ist tangential zur Bahnkurve! v ·y p v1 − p 0 q 2 + y2 x x2 + y2 y dy v v1 · 1 + 1 = = − v0 · + = − x x v0 dx |{z} − pv0 · x 2 2 =ε x +y Ergebnis ist eine nichtlineare DGL 1. Ordnung. y Sie hängt nur vom Quotienten x ab! Fakultät Grundlagen Hund und Wurst y 2 x Folie: 7 y +x Überquerungsstrategien Differentialgleichung Bahnkurve qZeit Lösung des AWP: y 0 = −ε · 1 + Substitution: y u = x y0 y u0 = x − 2 x y y 0 = x · u0 + x y 0 = x · u0 + u y 2 x y +x , y (1) = 0 q 2 y 1 + yx + x √ x · u 0 + u = −ε · 1 + u 2 + u p 2 du u0 = = −ε · 1 x+ u dx Z Z du p = −ε · dx x 1 + u2 √ ln u + 1 + u 2 = −ε · ln(x) + C e... y 0 = −ε · Algebra, Rücksubstitution: x 2 + y 2 = K 2 x 2−2ε − 2Kyx 1−ε + y 2 √ y u + 1 + u 2 = K · x −ε u = x 2Kyx 1−ε = K 2 x 2−2ε − x 2 q 2 y 1 1+ε 1 + yx + x = K · x −ε · x y = K2 x 1−ε − 2K x p 1−ε 1+ε x2 + y2 + y = K · x 1 x 1−ε p = 2 Kx − K x 2 + y 2 = K · x 1−ε − y Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 8 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Bahnkurve Zeit Anpassung y (1) = 0, Diskussion y ≥0 K >0 (obere Halbebene) y (1) = 0 0 = 21 K − 1 K K =1 ε = 1.1 10.75 y = 12 x 1−ε − x 1+ε Der Hund erreicht nur für ε < 1 das andere Ufer! Für ε = 1 erreicht die Bahnkurve zwar die y Achse; er benötigt aber unendlich viel Zeit! Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 9 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Bahnkurve Zeit Zeitverhalten x(t), y (t), Kurve: y = 12 x 1−ε − x 1+ε ! − pv0 · x x2 + y2 ~v = = 1. Komponente: ... v0 · x dx = − pv0 · x = −r h i2 dt x2 + y2 1−ε − x 1+ε ) x2 + 1 (x 2 2v0 · x 2v0 v0 · x = − 1−ε = − rh 1+ε = − −ε i2 x + xε x + x 1 (x 1−ε + x 1+ε ) 2 Z Z −ε ε DGL für x(t): [x + x ]dx = − 2v0 dt ẋ ẏ x 1+ε + x 1−ε = −2v t + C 0 1+ε 1−ε 2 x + ln(x) = −2v t + C ε=1 0 2 Gleichung im Allgemeinen nicht nach x auflösbar! ε 6= 1 Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 10 Überquerungsstrategien Differentialgleichung Bahnkurve Zeit Zeitverhalten x(t), Diskussion Start bei x = 1 für t = 0, d. h. es gilt: t(1) = 0 1+ε x 1−ε = −2v t + C 1 1 ε 6= 1 x + 0 1+ε 1−ε 1+ε + 1−ε = C x 2 + ln(x) = −2v t + C 1 ε=1 0 2 2 = C Für ε < 1 ist t(0) erklärt! 2 1 − ε2 z }| { 0 + 0 = −2v t(0) + 1 + 1 t(0) =? : 1 + 0 1+ε 1−ε ε 1−ε = t(0) = 1 v0 (1 − ε2 ) Für ε ≥ 1 strebt t(x) für x → 0 gegen Unendlich! Fakultät Grundlagen Hund und Wurst Folie: 11
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