Überquerungsstrategien
Differentialgleichung
Hund und Wurst
Fakultät Grundlagen
Februar 2016
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Hund und Wurst
Überquerungsstrategien
Differentialgleichung
Übersicht
1
Überquerungsstrategien
2
Differentialgleichung
Bahnkurve
Zeit
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Folie: 2
Überquerungsstrategien
Differentialgleichung
Fluss
Hund
will zur
gegenüberliegenden
Wurst.
Wurst
(0|0)
Hund
(1|0)
Die Geschwindigkeitsverteilung wird über die gesamte Flussbreite
als konstant angenommen.
In der Realität ist die Fließgeschwindigkeit in der Mitte größer!
Einführung eines Koordinatensystems
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Strategie I
Hund
schwimmt
immer
senkrecht
zur
Fließrichtung.
~vH
Der Hund wird abgetrieben“!
”
Bahnkurve ist eine Gerade (grün).
|~
vF |
Er kommt an der Stelle 0 |~
vH | an.
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Strategie II
Hund
schwimmt
soviel gegen
Fließrichtung,
dass Resultierende
senkrecht
Fluss.
~vH
Der kommt Hund genau bei der Wurst an.
Bahnkurve ist eine zur Fließrichtung senkrechte Gerade (grün).
p
Er benötigt mehr Zeit! Verhältnis: |~vH | :
|~vH |2 − |~vF |2
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Strategie III
~v
~vF
Hund
schwimmt
immer in
Richtung
Wurst!
~H
V
Je nach Position verändert sich die Richtung von ~vH ; nicht aber
der Betrag. Im ortsfesten Koordinatensystem erfolgt die Bewegung
in Richtung der resultierende Geschwindigkeit ~v .
Die Resultierende ~v ist immer tangential an Bahnkurve!
Die Bahnkurve wird durch eine DGL 1. Ordnung beschreiben.
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Folie: 6
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Bahnkurve
Zeit
Herleitung
~v
~vH
Wurst
~vF
Hund schwimmt immer in Richtung Wurst.
0
~vF =
, |~vF | = v1
v1
x
v
0
~vH = − p
, |~vH | = v0
2
2
y
x +y
− p v0 · x
2
2
x +y
~v = ~vF + ~vH =
v ·y
v1 − p 0
2
2
x +y
~v ist tangential zur Bahnkurve!
v ·y
p
v1 − p 0
q
2 + y2
x
x2 + y2 y
dy
v
v1 · 1 +
1
=
= − v0 ·
+
=
−
x
x
v0
dx
|{z}
− pv0 · x
2
2
=ε
x +y
Ergebnis ist eine nichtlineare DGL 1. Ordnung.
y
Sie hängt nur vom Quotienten x ab!
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y 2
x
Folie: 7
y
+x
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Differentialgleichung
Bahnkurve
qZeit
Lösung des AWP: y 0 = −ε · 1 +
Substitution:
y
u = x
y0
y
u0 = x − 2
x y
y 0 = x · u0 + x
y 0 = x · u0 + u
y 2
x
y
+x ,
y (1) = 0
q
2 y
1 + yx + x
√
x · u 0 + u = −ε · 1 + u 2 + u
p
2
du
u0 =
= −ε · 1 x+ u
dx
Z
Z
du
p
= −ε · dx
x
1 + u2
√
ln u + 1 + u 2 = −ε · ln(x) + C e...
y 0 = −ε ·
Algebra, Rücksubstitution:
x 2 + y 2 = K 2 x 2−2ε − 2Kyx 1−ε + y 2
√
y
u + 1 + u 2 = K · x −ε u = x 2Kyx 1−ε = K 2 x 2−2ε − x 2
q
2 y
1 1+ε
1 + yx + x = K · x −ε · x
y = K2 x 1−ε − 2K
x
p
1−ε
1+ε
x2 + y2 + y = K · x
1
x
1−ε
p
= 2 Kx
−
K
x 2 + y 2 = K · x 1−ε − y
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Bahnkurve
Zeit
Anpassung y (1) = 0, Diskussion
y ≥0
K >0
(obere Halbebene)
y (1) = 0
0 = 21 K − 1
K
K =1
ε = 1.1
10.75
y = 12 x 1−ε − x 1+ε
Der Hund erreicht nur für
ε < 1 das andere Ufer!
Für ε = 1 erreicht die
Bahnkurve zwar die y Achse; er benötigt aber
unendlich viel Zeit!
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Differentialgleichung
Bahnkurve
Zeit
Zeitverhalten x(t), y (t), Kurve: y = 12 x 1−ε − x 1+ε
!
− pv0 · x
x2 + y2
~v =
=
1. Komponente:
...
v0 · x
dx = − pv0 · x
= −r
h
i2
dt
x2 + y2
1−ε − x 1+ε )
x2 + 1
(x
2
2v0 · x
2v0
v0 · x
=
− 1−ε
= − rh
1+ε = − −ε
i2
x
+ xε
x
+
x
1 (x 1−ε + x 1+ε )
2
Z
Z
−ε
ε
DGL für x(t): [x + x ]dx =
− 2v0 dt
ẋ
ẏ
x 1+ε + x 1−ε = −2v t + C
0
1+ε 1−ε
2
x + ln(x) = −2v t + C
ε=1
0
2
Gleichung im Allgemeinen nicht nach x auflösbar!
ε 6= 1
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Differentialgleichung
Bahnkurve
Zeit
Zeitverhalten x(t), Diskussion
Start bei x = 1 für t = 0, d. h. es gilt: t(1) = 0
1+ε
x 1−ε = −2v t + C
1
1
ε 6= 1 x
+
0
1+ε 1−ε
1+ε + 1−ε = C
x 2 + ln(x) = −2v t + C
1
ε=1
0
2
2 = C
Für ε < 1 ist t(0) erklärt!
2
1 − ε2
z
}|
{
0 + 0 = −2v t(0) + 1 + 1
t(0) =? : 1 +
0
1+ε 1−ε
ε 1−ε
=
t(0) =
1
v0 (1 − ε2 )
Für ε ≥ 1 strebt t(x) für x → 0 gegen Unendlich!
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Folie: 11
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