Eigenschaften von Fluiden: Fluide im Gleichgewicht:

Bauhausuniversität Weimar, Fakultät Bauingenieurwesen
WS 2014/2015
Hydromechanik im Studiengang Bauingenieurwesen
Mindestanforderungen an die Prüfung:
Eigenschaften von Fluiden:
Lehrinhalt: Maßeinheiten, Fluid, Dichte, Kompressibilität, Viskosität,
Oberflächenspannung und Kapillarität, Stoffwerte
Aufgaben: Kurzaufgaben Bk2 bis Bk6, Bk9 und Bk10
Fluide im Gleichgewicht:
Lehrinhalt: absoluter/relativer Druck, Überdruck, Unterdruck, Druck als skalare Größe,
Hydrostatisches Gleichgewicht, Hydrostatische Druckverteilung in Flüssigkeiten,
Hydrostatischer Druck auf horizontale Böden, Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte
Flächen, Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen, Hydrostatischer Auftrieb.
Aufgaben: C1 bis C3, C6 bis C9, C13, C17, C19a, C21, Kurzaufgabe Ck1 bis Ck11
Satz1: Im Gleichgewicht haben Fluide keine Schubspannungen. Die Druckkraft auf ein
Flächenelement steht senkrecht auf diesem.
Satz 2: Der Druck an einem Punkt im Fluid ist unabhängig von der Richtung; er ist eine
skalare Größe.
Satz 3: Der Druck in der Tiefe h unter dem Wasserspiegel ist gleich dem Druck über dem
Wasserspiegel und der Gewichtskraft pro Fläche der darüber liegenden Wassersäule.
Satz 4: Die Druckkraft auf eine geneigte Ebene ist gleich dem Produkt aus Druck im
Flächenschwerpunkt und Fläche.
Satz 5: Bei vertikal gekrümmten Flächen errechnet sich die
Horizontalkomponente der Druckkraft aus der Druckverteilung auf eine gedachte vertikale
Fläche, die sich aus der Horizontalprojektion der wirklichen Fläche ergibt,
Vertikalkomponente der Druckkraft als Gewicht des über der Fläche stehenden oder
gedachten Flüssigkeitskörpers.
Satz 6: (Archimedes) Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten
Wassermenge.
Satz 7: An jeder Stelle des Fluids ist der Druckanstieg in beliebiger Richtung gleich der in
diese Richtung weisenden Komponente der wirkenden Massenkraft, multipliziert mit der
Dichte.
Wichtig: Betrachtung in der Ebene d. h. Symmetrie wird in der Prüfung vorausgesetzt!
Allgemein gilt: Die Erdbeschleunigung g kann vereinfachend mit g= 10 m/s²
angenommen werden.
Die Berechnungen sollen ohne Berücksichtigung von Verlusten durchgeführt
werden!
(0) Absolutdruck, Überdruck, Dichte
Für unsere erste Berechnung nehmen wir uns ein mit einer Vergleichsflüssigkeit der
Dichte ρV und einer unbekannten weiteren Flüssigkeit gefülltes U-Rohr vor.
a) Wie hoch ist der Überdruck am Punkt 2?
b) Wie hoch ist der Absolutdruck am Punkt 2?
c) Wie groß ist die Dichte der unbekannten Flüssigkeit?
(1) Eigenschaften von Fluiden
In Weimar soll ein etwa 25 m hohes Gebäude errichtet werden (siehe Anlage für
Aufgabe 1 bis 3). Als Investor wollen Sie sich vorab über die Kosten informieren.
Eine Saugpumpe ist das günstigste Angebot. In einem Gespräch mit der örtlichen
Feuerwehr erfahren Sie, dass an dem dortigen Hydranten ein Wasserdruck von 2
bar ansteht. Alternativ steht noch der etwa 10 m entfernte Feuerlöschteich zur
Verfügung. Der Hydrant und der Wasserspiegel des Teichs liegen auf gleicher Höhe
(Bodenplatte des Gebäudes).
Die Berechnungen sollen ohne Berücksichtigung von Verlusten durchgeführt
werden!
a) Bis zu welcher Höhe des Gebäudes steigt das Wasser im Standrohr wenn Sie
den Schieber am Hydranten öffnen? Das Schwimmbecken auf dem Dach ist
noch nicht gefüllt.
b) Bis zu welcher Höhe können Sie das Wasser des Feuerlöschteichs mit einer
Saugpumpe theoretisch ansaugen? Ermitteln Sie die maximale Höhe für den
Standort der Pumpe. (Fall 1: Temperatur = 20°C, Dampfdruck = 0,02 bar,
patmos = 1 bar, Fall 2: T = 60°C, Dampfdruck pD = 0,2 bar).
a) Sie wollen die Saugpumpe einsetzen, die Forderungen der Feuerwehr werden
erfüllt, wenn Sie diese Saugpumpe in 5 m Gebäudehöhe einbauen (siehe
Skizze), aus dem Feuerlöschteich Wasser fördern und das Wasser hiermit
mindestens auf 30 m über Bodenplatte des Gebäudes heben. Welchen
Überdruck muss die Pumpe an diesem Standort dann mindestens aufbauen?
b) Die kapillare Steighöhe wird bestimmt mit hkap = 4 σ / (ρ g dkap), σ wird für
Wasser bei T = 20°C mit 0,075 N/m angegeben. Sie wollen überprüfen, ob
die kapillare Steighöhe bei einem Standrohr mit 1 m Länge zu berücksichtigen
ist. Bestimmen Sie den Durchmesser d, bei dem gerade ein Fehler von 0,1%
infolge kapillarer Steighöhe vorliegt.
(2) Hydrostatik
Das Gebäude soll mit Ortbetonwänden hergestellt werden. Eine Baufirma verspricht
Ihnen, dass der Frischbeton mit einer Betonpumpe ohne Probleme auf 25 m
Wassersäule (2,5 bar) gefördert werden kann. Danach müssen die Wände mit
Betonkübeln von einem Kran aus hergestellt werden. Die Dichte des Frischbetons ist
2,5 mal größer als die Dichte von Wasser.
a) Bis zu welcher Höhe des Gebäudes können die Wände demnach direkt mit
der Betonpupe betoniert werden?
b) Die Wände sollen in vertikalen Abschnitten von 5,0 m betoniert werden. Beim
Betonieren hat der Beton Flüssigkeitseigenschaften. Der Schalungshersteller
fragt nach dem maximalen Frischbetondruck. Berechnen Sie dem
Frischbetondruck in Höhe der Wandunterkante bei 0,0 m und in 2,5 m Höhe.
c) Sie wollen die Schalung mit Stützen sichern. Zeichnen Sie die horizontale
Druckverteilung auf die Schalungswände ein (Skizze für Aufgabe 2). Ermitteln
Sie die resultierende Druckkraft auf die Schalung. Welche horizontale Kraft
(FH Schalung) ist an der Schalungsoberkante erforderlich wenn Sie die
Abstützung im Abstand von 1m aufstellen. Die Schalung ist am Fußpunkt
gelenkig gelagert.
d) Mit dem Architekten diskutieren Sie, ob die Wände 30 cm oder 50 cm stark
werden sollen. Der Architekt will gerne 30 cm starke Wände ausführen lassen,
weil der Schalungshersteller wegen dem 66% höheren Frischbetondruck für
die 50 cm starken Wände einen Aufpreis von 2/3 = 66% fordert. Ist diese
Forderung berechtigt?
Satz1:
Im Gleichgewicht haben Fluide keine Schubspannungen. Die Druckkraft auf ein Flächenelement steht senkrecht
auf diesem.
Satz 2:
Der Druck an einem Punkt im Fluid ist unabhängig von der Richtung; er ist eine skalare Größe.
Satz 3:
Der Druck in der Tiefe h unter dem Wasserspiegel ist gleich dem Druck über dem
Wasserspiegel und der Gewichtskraft pro Fläche der darüber liegenden Wassersäule.
Satz 4:
Die Druckkraft auf eine geneigte Ebene ist gleich dem Produkt aus Druck im Flächenschwerpunkt und Fläche.
Satz 5:
Bei vertikal gekrümmten Flächen errechnet sich die
- Horizontalkomponente der Druckkraft aus der Druckverteilung auf eine gedachte vertikale Fläche, die sich
aus der Horizontalprojektion der wirklichen Fläche ergibt,
- Vertikalkomponente der Druckkraft als Gewicht des über der Fläche stehenden oder gedachten
Flüssigkeitskörpers.
Satz 6:
(Archimedes) Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Wassermenge.
Satz 7:
An jeder Stelle des Fluids ist der Druckanstieg in beliebiger Richtung gleich der in diese Richtung weisenden
Komponente der wirkenden Massenkraft, multipliziert mit der Dichte.
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
B.1
Maßeinheiten
Basis- und abgeleitete Größen mit den Einheiten verschiedener Einheitensysteme
(eingerahmte Einheiten: Gesetz über Einheiten im Messwesen, 1969)
Größenart
Dim.
Länge
L
Basisgrößen
Masse
M
Zeit
T
Temperatur
Θ
Einheit
Umrechnung
1 m = 102 cm = 103 mm
Meter, m
inch, in
1 in = 2,5400 cm
foot, ft
1 ft = 0,3048 m
Kilogramm, kg
pound-mass, lbm
1 lbm = 0,4536 kg
slug, sl
1 sl = 14,5939 kg
Sekunde, s
1 min = 60 s, 1 h = 3600 s
Kelvin, K
tC = tK - 273,15
Celsius, ◦ C
Kraft
Abgeleitete Größen
Spannung
Druck
Arbeit
F = ML
T2
F
L2
FL
1 t = 103 kg = 1 Mg
Fahrenheit, ◦ F
tC = 59 (tF − 32)
Rankine, ◦ R
tR = 95 tK
∗
1 N = 1 kg m/s2 = 105 dyn
Newton, N
Kilopond, kp
1 kp = 9,80665 N
pound-force, lbf
1 lbf = 4,4482 N
Pascal, Pa
1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/(m s2 )†
Bar, bar
1 bar = 105 Pa = 10 N/cm2
m Wassersäule
1 mWS = 9,80665 kPa
techn. Atmosphäre
1 at = 1 kp/cm = 0,980665 bar
phys. Atmospäre
1 atm = 1,01325 bar
Torr
1 Torr = 1/760 atm
1 J = 1 Nm = 1 kg m2 /s2 = 107 erg
Joule, J = Ws
Energie
Kalorie, cal
1 cal = 4,1868 J
Wärme
Brit. thermal unit
1 Btu = 1,0551 kJ
Leistung
FL/T
†
1 W = 1 J/s = 1 kg m2 /s3
Watt, W
Pferdestärke, PS
1 PS = 75 kp m/s = 0,7355 kW
horse-power, hp
1 hp = 0,7457 kW
∗t
◦
◦
◦
C , tF , tR , tK sind Zahlenwerte der Temperatur in C, F, R bzw.
† Die Grundeinheiten N bzw. Pa sind für technische Zwecke sehr klein!
4
K
Ratsam ist das Rechnen in kN bzw. kPa, mWS oder bar.
Kleine
Formelsammlung
Bitte rechnet näherungsweise mit folgenden Werten:
Normaldruck :
Erdbeschleunigung:
patmos = 100 000 Pa
g
=
10 m/s²
Stoffwerte (20°°C, Normaldruck):
Wasser
Luft
Erdöl (Baku)
vw= 1,0⋅10-6 m2/s ρw = 1000,0 kg/m3
vL=14,9⋅10-6 m2/s ρL =
1,2 kg/m3
vÖ= 2,6⋅10-6 m2/s ρÖ = 824,0 kg/m3
v=
Ș
ρ
τ = Ș⋅
∂v
∂s
Hydrostatik:
Druck und Druckkräfte:
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h
Druckmittelpunkt:
yD =
FH = Fx = pS ⋅ Aproj
FV = Fz = ρ ⋅ g ⋅ V
xD =
Iξ
yS ⋅ A
I ηξ
yS ⋅ A
+ yS
Bewegte Behälter:
B → →
p B = p A + ρ ³ f ds
A
+ xS
fr = ω 2 ⋅ r
Erhaltungssätze:
Massenerhaltung:
Qein = Qaus
Aein ⋅ v ein = Aaus ⋅ v aus
Impulserhaltung und Stützkraftkonzept:
&
S = pü ⋅ A + ȕ ⋅ ȡ ⋅ A ⋅ v 2 , wobei v = v
&
&
&
&
S ein + S aus + G + FA = 0
Spezifische Energiehöhe:
Energieerhaltung:
p1
v12
PP
p2
v 22
z1 +
+Į
+
= z2 +
+Į
+ hvges
ȡ⋅ g
2 ⋅ g g ⋅ m
ȡ⋅g
2⋅ g
9
v2
E=h+
2⋅ g
Örtlich konzentrierte Verluste:
v2
Einige Beispiele für den Verlustbeiwert ζ [-]
hve = ζ ⋅
örtlich konzentrierter Verluste (weitere siehe Tabellenwerke )
2g
Einlauf
scharfkantig
Einlauf leicht
ausgerundet
0,50
0,25
1,00
Auslauf
Rohrkrümmer 15 °
30 °
45 °
60 °
75 °
90 °
0,03
0,06
0,08
0,09
0,11
0,12
Streckenabhängige Verluste:
Darcy-Weisbach:
L
hvs = λ ⋅
d hy
d hy
⋅
Manning-Strickler:
v2
2g
v = kSt ⋅ rhy2 / 3 ⋅ I E1/ 2
rhy =
4⋅ A
=
U ben
Rohr
Werkstoff
Stahl
Gusseisen
Beton
Gerinne
Natur
Beton
A
U ben
Zustand
glatt
angerostet
stark verkrustet
glatt
angerostet
stark verkrustet
geschliffen, verputzt
alte Einzelrohre
schalungsrauh
Kies
Geröll
rauhe Felswände
Gebirgsbäche
glatt
rauh
Klinker
Holz
Ĳ0 =
ȡ⋅ g A
⋅
⋅ hvs
L U ben
IE =
hvs
L
k-Wert [mm]
0,01 – 0,20
0,40
3,00
0,12 – 1,00
1,00 – 1,50
1,50 – 3,00
0,01 – 0,16
1,00 – 3,00
10,00
75,00
bis 400,00
bis 1500,00
bis 3000,00
0,80
20,00
1,50 – 1,80
0,60
Berechnung des Reibungsbeiwertes λ:
laminar ( Re < 2330 ) :
turbulent ( Re > 2330 ) :
Ȝ=
64
Re
1
2 . 51
k
)
= -2 log (
+
Ȝ
Re Ȝ 3 . 71 D
10
kSt-Wert [m1/3⋅s-1]
40,00
30,00
25,00 – 28,00
19,00 – 22,00
80,00
50,00
70,00 – 80,00
90,00
Moody-Diagramm zur Bestimmung des Reibungsbeiwertes λ:
k/d
3,3⋅⋅10-2
1,6⋅⋅10-2
8,3⋅⋅10-3
4,0⋅⋅10-3
2,0⋅⋅10-3
1,0⋅⋅10-3
4,0⋅⋅10-4
2,0⋅⋅10-4
1,0⋅⋅10-4
⋅103
⋅104
⋅105
Grenzzustand (Rechteckgerine):
hgr = 3
q2 2
= Egr
g
3
Überfall:
2
Q =
μ ⋅ b ⋅ hü
3
v gr = g ⋅ hgr
Überfallform
2 ⋅ g ⋅ hü
1
3
schmalkronig Tabelle :
breitkronig : μ =
Spiegellinie
(Rechteckgerinne):
h − hn
dh
= I So ⋅ 3
3
ds
hSp − hgr
3
Sp
3
11
⋅106
Wechselsprung:
h2 1
=
1 + 8 Fr22 − 1
h1 2
(
Kronenausbildung
breit, waagerecht,
scharfkantig
breit, waagerecht,
ausgerundete Kanten
breit,
vollständig abgerundet
scharfkantig,
Überfallstrahl belüftet
rundkronig,
OW lotrecht, UW geneigt
dachförmig,
gut ausgerundet
)
μ
0,50
0,53
0,69
0,64
0,74
0,79

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