Balanciertes Abschneiden für DAE-Systeme
Timo Reis
Olaf Rendel
Fachbereich Mathematik, Universität Hamburg
10. Elgersburg Workshop,
9. Februar 2016
Balanciertes Abschneiden für DAE-Systeme
Olaf Rendel
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DAE-System
d
Ex(t)
dt
= Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t) + Du(t)
System impulssteuerbar und sE − A regulär.
Ziel
Reduziere zu einem kleinen System
d bb
E x (t)
dt
b xb(t) + Bu(t),
b
=A
b xb(t) + Du(t),
b
y (t) = C
sodass wichtige Eigenschaften erhalten bleiben.
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Balanciertes Abschneiden
Balanciertes System
I 0 0
E = 0 I 0 ,
0 0 0
B1
B = B 2 ,
B3
Σ1 0 0
P = 0 Σ2 0 ,
0
0 0
A11
A = A21
A31
A12
A22
A32
A13
A23 ,
A33
C = C1
C2
C3 ,
Σ1
Q=0
0
0
Σ2
0
0
0 .
0
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Balanciertes Abschneiden
Balanciertes System
Identifiziere kleine Singulärwerte
I 0 0
E = 0 I 0 ,
0 0 0
B1
B = B 2 ,
B3
Σ1 0 0
P = 0 Σ2 0 ,
0
0 0
A11
A = A21
A31
A12
A22
A32
A13
A23 ,
A33
C = C1
C2
C3 ,
Σ1
Q=0
0
0
Σ2
0
0
0 .
0
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Balanciertes Abschneiden
Balanciertes System
b= I 0 ,
E
0 0
B
b= 1 ,
B
B3
b = Σ1 0 ,
P
0 0
b = A11 A13 ,
A
A31 A33
b = C1 C3 ,
C
b = Σ1 0 .
Q
0 0
Reduziertes System
d bb
E x (t)
dt
b xb(t) + Bu(t),
b
=A
b xb(t) + Du(t)
y (t) = C
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Balancieren
Finde reguläre S, T , sodass
I 0
Σ
SET =
, P=T
0 0
0
0 ∗
T ,
0
Q = S∗
Σ
0
0
S.
0
Σ ≥ 0 ist diagonal. Systemgrößen gegeben durch (SAT , SB, CT , D, SET ).
Beobachtungen
Mit T = T1
h i
T2 und S = SS12 folgt im T2 = ker E und im S2∗ = ker E ∗
Q = Π∗W QΠW mit Projektor ΠW auf W = im E
P = Π∗W ∗ PΠW ∗ mit Projektor ΠW ∗ auf W ∗ = im E ∗
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Anmerkungen zur Numerik
Bestimmen von P und Q ist möglich wenn der Rang numerisch klein ist
P und Q gegeben durch Cholesky-Faktoren:
Q ≈ Rq∗ Rq und P ≈ Rp Rp∗ [R., Reis 2016]
S1 und T1 durch Singulärwertzerlegung von Rq ERp bestimmbar
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e
Systemräume V, V
Behavior B[E,A,B] := ( ux ) ∈ L2loc (R, Kn+m ) : dtd Ex = Ax + Bu
n+m
Systemraum V ⊆ K
ist der kleinste Unterraum für den
B[E,A,B] ⊆ L2loc (R, V) gilt.
e ist der kleinste Unterraum für den B[E,A] ⊆ L2loc (R, V)
e gilt.
V
Impulssteuerbar
V = ( ux ) ∈ Rn+m : Ax + Bu ∈ im E
e ∗ : Die Räume des dualen Systems“
V ∗ und V
”
d
E ∗ x(t)
dt
= A∗ x(t) + C ∗ u(t).
Notation
F =V G
⇔
x ∗ Fx = x ∗ Gx
∀x ∈ V
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Lyapunov-Balancierung
Annahmen
System impulssteuerbar, sE − A regulär und asymptotisch stabil.
Lyapunovgleichungen für DAE-Systeme
A∗ QE + E ∗ QA + C ∗ C =Ve 0,
∗
∗
∗
APE + EPA + BB =Ve ∗ 0,
Q = Π∗W QΠW
P = Π∗W ∗ PΠW ∗
Schranke für das balancierte Abschneiden
b ∞ ≤ 2 trace Σ2
kG − Gk
H
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Beschränkt reelle Balancierung I
Annahmen
System ist impulssteuerbar, sE − A regulär und beschränkt reell.
beschränkt reell
⇔
ky kL2 ≤ kukL2
⇔
I − G(λ)∗ G(λ) ≥ 0, ∀λ ∈ C+
Beschränkt reelle Lur’e-Gleichungen
A∗ QE + E ∗ QA + C ∗ C
B ∗ QE + D ∗ C
∗
E ∗ QB + C ∗ D
K + ∗C KC
∗
D D−I
LC
APE ∗ + EPA∗ + BB ∗
CPE ∗ + DB ∗
EPC ∗ + BD
DD ∗ − I
∗
LC =V 0,
Π∗W QΠW = Q
∗
K
KB
+ B
=V ∗ 0,
LB LB
Π∗W ∗ PΠW ∗ = P
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Beschränkt reelle Balancierung II
Schranke für das balancierte Abschneiden
Mit
C
G(s) ∗
(sE − A)−1 B KB =
,
KC
∗
∗
" #
i b
h
b
C
b − A)
b −1 B
b
b K
bB = G(s) ∗
H(s)
= b (sE
∗
∗
KC
H(s) =
gilt
b ∞ ≤ kH − Hk
b ∞ ≤ 2 trace Σ2 .
kG − Gk
H
H
Folgt aus der Lyapunov-Gleichung in der Lur’e-Gleichung“.
”
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Gap-Metrik
Definition
Seien V, W ⊂ X Unterräume des Hilbertraums X . Dann ist die Gap-Metrik
b W) definiert durch
δ(V,
δ(V, W) =
max
min kv − wk,
v ∈V,kv k=1 w∈W
b W) = max {δ(V, W), δ(W, V)} .
δ(V,
Anwendung
Gap-Metrik für Systeme:
b 1 , G2 ) = δ(graph
b
δ(G
G1 , graph G2 )
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y
(u, G2 u)
1
kG1 − G2 k
(u, G1 u)
δb (G1 , G2 )
u
−1
1
−1
b 1 , G2 ) ≤ kG1 − G2 kH∞
Wenn G1 , G2 ∈ H∞ dann δ(G
Invariant gegenüber orthogonalen
Eingangs-Ausgangs-Transformationen
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Möbius-Transformation
Gegeben sei die orthogonale Eingangs-Ausgangs-Transformationen
"
#
1
√
(y + u)
u
2
→ 1
√ (y − u)
y
2
Neue Transferfunktion ergibt sich aus der Möbius-Transformation
G(s) → M(G)(s) := (I − G(s))(I + G(s))−1 .
Eigenschaften
Orthogonale Transformation des Graphen des Systems (erhält die
Gap-Metrik)
G(s) ist beschränkt reell ⇔ M(G) ist positiv reell.
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Positiv reelle Balancierung I
Annahmen
System ist impulssteuerbar, sE − A regulär und positiv reell.
positiv reell
⇔
G(λ)∗ + G(λ) ≥ 0, ∀λ ∈ C+
Positiv reelle Lur’e-Gleichungen
A∗ QE + E ∗ QA
B ∗ QE − C
∗
E ∗ QB − C ∗
K + ∗C KC
∗
−D − D
LC
APE ∗ + EPA∗
CPE ∗ − B ∗
LC =V 0
Π∗W QΠW = Q
∗
EPC ∗ − B
K
KB
+ B
=V ∗ 0
∗
−D − D
LB LB
Π∗W ∗ PΠW ∗ = P
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Positiv reelle Balancierung II
Schranke für das balancierte Abschneiden
b ≤ 2 trace Σ2 .
b
δ(G,
G)
Beweisskizze
G (positiv reell)
√
e
u = 2(y +u)
√
y
e
y = 2(y−u)
positiv reelles
−−−−−−−→
Abschneiden
b (positiv reell)
G
√
eu=√ 2(y+u)
y ey = 2(y −u)
beschränkt reelles b
GBR (beschränkt reell) −−−−−−−−−→ G
BR (beschränkt reell)
Abschneiden
Die “Gramschen” bleiben erhalten.
b = δ(G
b BR ) ≤ kGBR − G
b BR k ∞ ≤ 2 trace Σ2
b
b BR , G
δ(G,
G)
H
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Beispiel für positiv reelle Balancierung
RC-Netzwerk
Modifizierte Knotenanalyse:
Ac CA∗c 0
E=
,
0
0
C = 0 −I ,
A=
−Ar GA∗r
A∗v
−Av
,
0
B=
0
,
−I
D=0
Systemräume bestimmen
Mit W =
NA∗c
0
∗ ⊥
0
A
gilt im W = ker E = ker E ∗ und V =
W
.
I
B∗
Statistiken für das Beispiel
E, A ∈ R2007×2007 mit nnz(E) = 2002 und nnz(A) = 6016, B ∈ R2007×3
W ∈ R2007×5 , Rq ∈ R114×2007 und Rp ∈ R2007×114
b ∈ R28×28
A
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10 -1
10 -2
10 -3
3 5
/^ im
I
G(i!)
6
; im
5
I
Gr (i!)
64
10 0
10 -4
10 -5
10 6
10 8
10 10
10 12
!
10 14
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Erweiterung
System nicht impulssteuerbar, sE − A weiter regulär
V berechenbar über Kronecker-Ketten von A
B −s E
0
e = ΠW E mit ΠW als Projektor auf W = E
Ersetze E durch E
e ist impulssteuerbar und hat identisches Behavior
System mit E
0 V
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