Endlich Geometrie spielen!

Endlich
Geometrie spielen!
17. Forum für Begabungsförderung in Mathematik
Mutfried Hartmann
27.03.2014
Das Spiel „Dobble“ •  Möglichst schnelles Entdecken des gemeinsamen Symbols Das Kartendeck von Dobble •  Anzahl der Karten des Decks: K=55 •  Anzahl der Symbole pro Karte: Sk=8 •  Zentrale Deckbedingung: •  Zwei beliebige Karten sBmmen immer in genau einem Symbol überein ?
s
a
d
t
h
e
g
Wie
Erste Beobachtungen Erste Beobachtungen Häuﬁgkeit hS der Symbole Alle anderen Symbole dieser acht Karten sind paarweise voneinander verschieden. Auf diesen 8 Karten, sind auch alle anderen Symbole des Spiels. Erste Beobachtungen Egal welche Karte man dazunimmt: Jedes Symbol dieser Karte sBmmt mit genau einer der Karten überein RedukBon des Problems Einfachere Decks •  Weniger Symbole pro Karte SK •  Kleinere Kartenanzahl K 1 1 1 2 1 2 3 3 RedukBon des Problems Es gibt immer wieder Phasen der Klärung der Fragestellung. 2 1 5 1 4 6 6 2 3 5 3 4 1 1 1 1 1 1 1 Herantasten an höhere Kartenzahlen 1 6 3 1 3 4 5 1 3 2 4 3 5 6 2 3 2 Erste Ergebnisse •  Unausgewogene Kartensätze, bei denen die Symbolhäuﬁgkeit nicht gleich ist, sind sehr einfach herzustellen •  Ausgewogene Kartensätze mit der für alle Symbole gleichen Symbolhäuﬁgkeit –  hs=1 sind triviale Lösungen mit genau einem Symbol –  hs=2 sind ebenfalls sehr einfach herzustellen, indem jede Kante des Graphen durch stets zwei neue Symbole erzeugt wird •  Interessant sind somit eigentlich nur ausgewogene Decks mit einer Symbolhäuﬁgkeit hs⩾3 Vielfalt an Darstellungen Klassenzerlegung 1 2 SK 3 ... 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 ... ... (
K −1 = SK ⋅ hS −1
!
)
SK SK SK SK SK SSK K
Gesamtzahl aller Zeichen im Deck Anzahl der Symbole pro Karte Sk und Anzahl der Karten K 1 2 3 Menge S der au`retenden Symbole und der Häuﬁgkeit hs der einzelnen Symbole {
}
S = 1,2,3,4,...
!
SK 2 ... 2 2 K hS SK ⋅K = S ⋅hS
!
2 2 Sonderfall Symbole pro Karte Häuﬁgkeit des Au`retens eines Symbols SK = hS
!
Klassenzerlegung (
K −1 = SK ⋅ hSSK −1
!
!
)
Gesamtzeichenzahl SK ⋅K = S ⋅hS
!
Ausgewogenes Deck Klassenzerlegung K −1 = SK ⋅ hS −1
!
(
Gesamtzeichenzahl SK ⋅K = S ⋅hS
!
)
Spiel Dobble: K-‐1=54 Sk=8 (
54 ≠ 8⋅ 8 −1
!
hS=8 )
Wo liegt der Fehler? Dobble ist gar kein ausgewogenes Deck! Tabellarische Darstellung K=7, Sk=3 1 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 2 3 4 5 6 7 Darstellungen 7 6 5 2 3 4 1 Darstellungen 7 6 5 2 3 4 1 7 6 5 3 •  Es muss zwischen je zwei Karten eine Verbindungslinie geben (Vollständiger Graph) ⎛ K ⎞ K(K −1)
= 1+ 2 +...+ (K −1)
⎜
⎟=
!⎝ 2 ⎠
2
•  Die Symbole beschreiben jeweils vollständige Teilgraphen sogenannte Cliquen hs (hs −1)
!
2
hs (hs −1)
K(K −1)
= S⋅
2
! 2
K(K −1) = S ⋅hs (hs −1)
!
K(K −1) = K ⋅SK (hs −1)
!
(K −1) = SK (hs −1)
!
2 4 Zusammenhang mit projekBven Ebenen Eine Inzidenzstruktur mit: 1.  Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit beiden inzidiert. 2.  Zu je zwei verschiedenen Geraden gibt es genau einen Punkt, der mit beiden inzidiert. 3.  Es gibt ein vollständiges Viereck (vier Punkte von denen keine drei mit derselben Geraden inzidieren) Ein Deck mit: 1.  Zu je zwei verschiedenen Karten gibt es genau ein Symbol, das auf beiden Karten ist. 2.  Zu je zwei verschiedenen Symbolen gibt es genau eine Karte, auf der beide Symbole sind 3.  Es gibt vier Karten, von denen keine drei alle dasselbe Symbol besitzen Die projekBven Ebenen sind die symmetrischen 2-‐(K,hs,1) Blockpläne 2 6 4 3 7 1 5 Ein ausgewogenes Deck entspricht einem beliebigen 2-‐(K,hs,1) Blockplan Erinnerung Restklassen •
!0 !1 !2
+
!0 !1 !2
!0
!1
!0 !0 !0
!0 !1 !2
!0 !2 !1
!0 = 3⋅! + 0
!1 = 3⋅! +1
!0 !1 !2
!1 !2 !0
!2 !0 !1
!2
!2 = 3⋅! + 2
Ein Restklassenring !
p ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Geraden !y = 1⋅ x + 2
!y = 1⋅ x +1
Geradengleichung: !y = m⋅ x + t
!y = 1⋅ x + 0
(mod 3) (mod 3) (mod 3) Geraden Geradengleichung: !y = m⋅ x + t
!y = 0⋅ x + 2
!y = 0⋅ x +1
!y = 0⋅ x + 0
KonstrukBon miiels endlicher Körper Geradengleichung: !y = m⋅ x + t
!y = 2⋅ x + 2
!y = 2⋅ x +1
!y = 2⋅ x + 0
Zurück zum Spiel !y = 0⋅ x + 2
(0,2)
!
2 6 7 4 1 5 3 !y = 1⋅ x + 2
(! 1,2)
!y = 2⋅ x + 2
(! 2,2)
Ein aﬃnes Kartendeck (0,2) (0,2) (1,2) A 1) Jede Karte eines Stapels ist mit jeder Karte eines anderen (2,2) Stapels mit genau einem gemeinsamen Symbol (0,1) (0,1) verknüp` 2) Eine Karte eines Stapels hat mit einer anderen Karte desselben Stapels nie ein Symbol gemeinsam (0,0) (1,2) (0,2) (2,2) (1,1) B (1,0) C (2,1) (2,0) (1,1) (0,1) (0,2) (2,1) (0,1) (1,1) A (1,0) B (1,2) C (2,1) (2,2) (2,0) (0,0) (1,0) A (2,0) (1,0) (0,0) (2,0) (0,0) (1,2) B (1,1) C (2,1) (2,2) GülBgkeit des KonstrukBonsverfahrens ( )
Zu je zwei Karten ( a,b
) und a! ,b! unterschiedlicher Stapel !
!
(d.h. !a ≠ a ) gibt es genau ein !gemeinsames Symbol ( m,t
) . !
!m⋅ x + t = y
I)
!
!
m⋅a + t = b
II) m⋅ a! + t = b!
I − II)
( )
m = ( a − a! ) ⋅ ( b − b! )
a − a! ⋅m = b − b!
−1
!
⎛ a 1 ⎞ ⎛ m ⎞ ⎛ b ⎞
=⎜ ! ⎟
⎜ !
⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ t ⎠ ⎝ b ⎠
⎝
⎠
a
1
!
(!
a − a! ≠ 0
)
GülBgkeit des KonstrukBonsverfahrens ( )
Haben Karten !(a,b
) und a,b
! desselben Stapels ein !
gemeinsames Symbol !( m,t
) , I)
!
!
m⋅a + t = b
II) m⋅a + t = b!
I − II) 0 = b − b!
!
!b = b
so sind diese Karten idenBsch. ProjekBver Abschluss A B C E (2,2) (0,2) (0,2) (1,2) (0,2) (2,1) E (1,2) A (1,1) B (2,0) (2,2) (2,0) (1,2) (0,1) (0,1) (1,1) (0,1) (2,2) (0,2) (1,0) C (2,1) (2,1) (0,1) (1,1) E (1,1) A (1,0) B (1,2) C (1,0) (2,1) (2,2) (2,0) (0,2) (0,1) E (0,0) (0,0) (0,0) (1,0) A (2,0) (1,0) (0,0) (2,0) (0,0) (1,2) B (1,1) C (2,1) (2,2) Jede Menge an Kartendecks •  Für jede Primzahl p und jedes n∈IN exisBert ein endlicher Körper mit pn Elementen. •  Damit lassen sich Kartensätze konstruieren mit K = p2n und hS = pn+1 bzw. K = p2n+pn+1 und hS= pn+1 Zurück zum Spiel Dobble Körper mit p=7 Elementen hs=7+1=8; K=72+7+1=57; Sk=8 Leicht programmierbar Weglassen von Karten zerstört nicht die GülBgkeit eines Decks Ausrufezeichen, Auge, Glühbirne, 7x Marienkäfer, Totenkopf, Hund, Hammer, Kaktus, Eiswürfel, Blume, Ahorn, Dino, Fragezeichen, Männchen; 6x Schneemann Warum die Störung der Ausgewogenheit? 1 2 4 14 33 37 44 53 1 3 13 32 36 43 52 57 1 5 12 21 26 27 29 39 1 6 7 9 19 38 42 49 1 8 17 22 23 25 35 54 1 10 15 16 18 28 47 51 1 11 30 34 41 50 55 56 1 20 24 31 40 45 46 48 2 3 5 15 34 38 45 54 2 6 13 22 27 28 30 40 2 7 8 10 20 39 43 50 2 9 18 23 24 26 36 55 2 11 16 17 19 29 48 52 2 12 31 35 42 51 56 57 2 21 25 32 41 46 47 49 3 4 6 16 35 39 46 55 3 7 14 23 28 29 31 41 3 8 9 11 21 40 44 51 3 10 19 24 25 27 37 56 3 12 17 18 20 30 49 53 3 22 26 33 42 47 48 50 4 5 7 17 36 40 47 56 4 8 15 24 29 30 32 42 4 9 10 12 22 41 45 52 4 11 20 25 26 28 38 57 4 13 18 19 21 31 50 54 4 23 27 34 43 48 49 51 5 6 8 18 37 41 48 57 5 9 16 25 30 31 33 43 5 10 11 13 23 42 46 53 5 14 19 20 22 32 51 55 5 24 28 35 44 49 50 52 6 10 17 26 31 32 34 44 6 11 12 14 24 43 47 54 6 15 20 21 23 33 52 56 6 25 29 36 45 50 51 53 7 11 18 27 32 33 35 45 7 12 13 15 25 44 48 55 7 16 21 22 24 34 53 57 7 26 30 37 46 51 52 54 8 12 19 28 33 34 36 46 8 13 14 16 26 45 49 56 8 27 31 38 47 52 53 55 9 13 20 29 34 35 37 47 9 14 15 17 27 46 50 57 9 28 32 39 48 53 54 56 10 14 21 30 35 36 38 48 10 29 33 40 49 54 55 57 11 15 22 31 36 37 39 49 12 16 23 32 37 38 40 50 13 17 24 33 38 39 41 51 14 18 25 34 39 40 42 52 15 19 26 35 40 41 43 53 16 20 27 36 41 42 44 54 17 21 28 37 42 43 45 55 18 22 29 38 43 44 46 56 19 23 30 39 44 45 47 57 Verteilung der Karten (
57 ≡ 1 mod2
!
)
Bei 2 Spielern bleibt eine Startkarte (
57 ≡ 0 mod3
!
)
Bei 3 Spielern fehlt die Startkarte (
55 ≡ 1 mod2
!
)
Bei 2 Spielern bleibt eine Startkarte (
55 ≡ 1 mod3
!
)
Auch bei 3 Spielern bleibt eine Startkarte VariaBonen des Decks •  Dobble Kinder 5 Tierbilder pro Karte •  Kunterbunt oﬀener Brief von Herrn Staube VariaBonen als KreaBvitätsprinzip •  VariaBonsmöglichkeiten –  Deckparameter Sk,hs,K,... –  Gleichheitsbedingung –  Anzahl der gleichen Symbole –  Zentrale Deckbedingung –  Spielregeln... •  DidakBsche Komponente –  Analyse der VariaBonen hinsichtlich •  der mentalen Anforderungen •  möglicher Strategien •  gruppendynamischer Aspekte Warum ist das Thema zur Begabungsförderung geeignet? •  Fragestellung: Einfach, leicht zugänglich, anschaulich, moBvierend •  VielfälBge Zugangsmöglichkeiten: Probierend, beobachtend, analysierend,... •  Hinreichende Komplexität /Kein schneller Weg möglich •  Problemlösestrategien gewinnbringend einsetzbar •  VielfälBge Darstellungsmöglichkeiten •  Auf unterschiedlichem Niveau bearbeitbar/Aufgabenteilung möglich •  MoBvierende Teilergebnisse auf allen Bearbeitungs-‐Niveaus möglich •  Unschärfe zwingt immer wieder zur Klärung bzw. Präzisierung der Fragestellung •  Lädt zu kreaBven VariaBonen ein •  Bezüge zu Standardinhalten (Lehramtsausbildung) •  MoBviert zur Auseinandersetzung mit Themen der höheren MathemaBk Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! [email protected]

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