4. Differentialrechnung
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Differenzierbarkeit
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Schwerpunkte des Kapitels
Differenzierbarkeit
Themen und Begriffe
Stetigkeit
Differentiationsregeln
Anwendungen der Differentialrechnung
hebbare Unstetigkeit
Die Regeln von de l’Hospital
Differenzierbarkeit
logarithmische Differentiation
Totales Differential und Fehlerfortpflanzung
Der Satz von Taylor
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Höhere Mathematik
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Differenzierbarkeit
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Differenzierbarkeit
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Aufgabe 4.1
Gegeben sei die Funktion
2
x + a, x < 1
b,
x=1
f (x) =
2
x − 1, x > 1
x−1
Aufgabe 4.2
Gegeben sei die Funktion
a, b ∈ R.
f (x) =
p
x3 + 2x2 .
a) Bestimmen Sie den Definitionsdereich Df der Funktion f (x).
a) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Stetigkeit.
b) Ist die Funktion f (x) im Punkt x = 0 stetig?
b) Wie müssen die Werte a, b ∈ R gewählt werden, damit f (x) im Punkt
x = 1 stetig ist?
c) Ist die Funktion f (x) im Punkt x = 0 differenzierbar?
c) Ist die Funktion f (x) mit den so gewählten Werten a und b im Punkt
x = 1 differenzierbar?
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Differentiationsregeln
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6/20
Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion
r
1 + sin x
für x ∈ Df .
f (x) = ln
1 − sin x
Quotientenregel
Kettenregel
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Differentiationsregeln
Aufgabe 4.3
Differentiationsregeln
Produktregel
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Anwendungen der Differentialrechnung
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Anwendungen der Differentialrechnung
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Aufgabe 4.4
Gegeben sei die Funktion
Anwendungen der Differentialrechnung
Monotonieverhalten
f (x) =
Krümmungsverhalten
lokale Extrema
ax − 1
ax + 1
mit
a > 1.
a) Bestimmen Sie den Definitionsdereich Df und den Wertebereich Wf
der Funktion f (x).
Wendepunkte
b) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Symmetrie.
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f (x).
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Anwendungen der Differentialrechnung
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Anwendungen der Differentialrechnung
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Aufgabe 4.6
Aufgabe 4.5
Gegeben sei die Funktion
Gegeben sei die Funktion
f (x) = cosh
f (x) =
x2
−1 .
2
b
,
a2 − x2
wobei
a > 0, b > 0.
a) Bestimmen Sie den Definitionsdereich Df der Funktion f (x).
a) Stellen Sie die Geradengleichung der Tangenten im Punkt x0 = 2 auf.
b) An welchen Stellen hat die Funktion f (x) horizontale Tangenten?
b) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Symmetrie.
c) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f (x).
d) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f (x).
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Anwendungen der Differentialrechnung
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Anwendungen der Differentialrechnung
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Aufgabe 4.7
Fortsetzung von Aufgabe 4.6
e) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten der Funktion f (x)
gegen den Rand des Definitionsbereiches sowie für x → ∞ und
x → −∞.
Gegeben sei die Funktion
f (x) = x − 2k arctan
x
k
mit
k > 0.
f) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f (x).
g) Bestimmen Sie die Werte der Parameter a > 0 und b > 0 so, dass gilt
Df = R \ {−1, +1} und die Sekante durch die Punkte (0, f (0)) und
( a2 , f ( a2 )) den Anstieg 2 hat.
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a) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der
Funktion f (x).
b) Leiten Sie daraus Aussagen über Extrema und Wendepunkte der
Funktion f (x) ab.
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Die Regeln von de l’Hospital
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Logarithmische Differentiation
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Aufgabe 4.8
Aufgabe 4.9
Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls diese existieren
ex − e−x − 2x
,
a) lim
x→0
x − sin x
π
d) limπ x −
tan x,
2
x→ 2
√
ln (ex + 1)
x2 + 4
b) lim
,
c) lim
,
x→∞
x→∞
x
x
2
1
e) lim cot x −
,
f) lim x x−1 .
x→0
x→1
x
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Logarithmische Differentiation
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Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion
f (x) = (2x)sin x
für x > 0.
Wie bestimmt man die zweite Ableitung?
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Logarithmische Differentiation
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Logarithmische Differentiation
Die Funktion f (x) besitze die spezielle Form
f (x) = eg(x)
mit einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion g(x). Dann gilt
f 0 (x) = g 0 (x)f (x)
und
Aufgabe 4.10
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion
√
x + 4 x2 ex ln(x)
f (x) =
.
sin2 (x) cos(x)
f 00 (x) = g 00 (x) + (g 0 (x))2 f (x)
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Logarithmische Differentiation
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Logarithmische Differentiation
Aus
1
(ln(f (x)))0 =
· f 0 (x)
f (x)
so ist
ln(f (x)) =
ln(gi (x)) −
i=1
und somit
f 0 (x) =
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Bestimmen Sie das totale Differential der Funktion
x
f (x) = arcsin
.
2
n
X
Welche Approximation für f (x) ergibt sich hieraus in der Nähe der Stelle
x0 = 0?
ln(hj (x))
j=1
m
X
g 0 (x)
i
i=1
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Aufgabe 4.11
g1 (x) · . . . · gm (x)
,
h1 (x) · . . . · hn (x)
m
X
Totales Differential und Fehlerfortpflanzung
folgt f 0 (x) = (ln(f (x)))0 · f (x).
Besitzt die Funktion f (x) die Form
f (x) =
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gi (x)
−
n
X
h0j (x)
j=1
hj (x)
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Totales Differential und Fehlerfortpflanzung
· f (x).
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Der Satz von Taylor
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Aufgabe 4.13
Aufgabe 4.12
Geben Sie den maximalen Fehler an, wenn an Stelle des exakten Wertes
für π der Wert verwendet wird, den Ihr Taschenrechner im Display anzeigt.
Wie groß ist der absolute Fehler bei der Berechnung von π 2 ?
Bestimmen Sie für die Funktion
f (x) = ln
e2x
x
das Taylor-Polynom T4 (x) vierter Ordnung an der Stelle x0 = 1.
Schätzen Sie den Betrag des Lagrangeschen Restgliedes R4 (x) für
x = 1,5 ab.
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