4. Differentialrechnung 1/20 4. Differentialrechnung | Differenzierbarkeit 2/20 Schwerpunkte des Kapitels Differenzierbarkeit Themen und Begriffe Stetigkeit Differentiationsregeln Anwendungen der Differentialrechnung hebbare Unstetigkeit Die Regeln von de l’Hospital Differenzierbarkeit logarithmische Differentiation Totales Differential und Fehlerfortpflanzung Der Satz von Taylor TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Differenzierbarkeit 3/20 TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Differenzierbarkeit 4/20 Aufgabe 4.1 Gegeben sei die Funktion 2 x + a, x < 1 b, x=1 f (x) = 2 x − 1, x > 1 x−1 Aufgabe 4.2 Gegeben sei die Funktion a, b ∈ R. f (x) = p x3 + 2x2 . a) Bestimmen Sie den Definitionsdereich Df der Funktion f (x). a) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Stetigkeit. b) Ist die Funktion f (x) im Punkt x = 0 stetig? b) Wie müssen die Werte a, b ∈ R gewählt werden, damit f (x) im Punkt x = 1 stetig ist? c) Ist die Funktion f (x) im Punkt x = 0 differenzierbar? c) Ist die Funktion f (x) mit den so gewählten Werten a und b im Punkt x = 1 differenzierbar? TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 4. Differentialrechnung | Differentiationsregeln 5/20 6/20 Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion r 1 + sin x für x ∈ Df . f (x) = ln 1 − sin x Quotientenregel Kettenregel 4. Differentialrechnung | Differentiationsregeln Aufgabe 4.3 Differentiationsregeln Produktregel TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Anwendungen der Differentialrechnung Studienjahr 2015/16 7/20 TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Anwendungen der Differentialrechnung 8/20 Aufgabe 4.4 Gegeben sei die Funktion Anwendungen der Differentialrechnung Monotonieverhalten f (x) = Krümmungsverhalten lokale Extrema ax − 1 ax + 1 mit a > 1. a) Bestimmen Sie den Definitionsdereich Df und den Wertebereich Wf der Funktion f (x). Wendepunkte b) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Symmetrie. c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f (x). TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 4. Differentialrechnung | Anwendungen der Differentialrechnung 9/20 4. Differentialrechnung | Anwendungen der Differentialrechnung 10/20 Aufgabe 4.6 Aufgabe 4.5 Gegeben sei die Funktion Gegeben sei die Funktion f (x) = cosh f (x) = x2 −1 . 2 b , a2 − x2 wobei a > 0, b > 0. a) Bestimmen Sie den Definitionsdereich Df der Funktion f (x). a) Stellen Sie die Geradengleichung der Tangenten im Punkt x0 = 2 auf. b) An welchen Stellen hat die Funktion f (x) horizontale Tangenten? b) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Symmetrie. c) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f (x). d) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f (x). TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Anwendungen der Differentialrechnung 11/20 TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Anwendungen der Differentialrechnung 12/20 Aufgabe 4.7 Fortsetzung von Aufgabe 4.6 e) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten der Funktion f (x) gegen den Rand des Definitionsbereiches sowie für x → ∞ und x → −∞. Gegeben sei die Funktion f (x) = x − 2k arctan x k mit k > 0. f) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f (x). g) Bestimmen Sie die Werte der Parameter a > 0 und b > 0 so, dass gilt Df = R \ {−1, +1} und die Sekante durch die Punkte (0, f (0)) und ( a2 , f ( a2 )) den Anstieg 2 hat. TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 a) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion f (x). b) Leiten Sie daraus Aussagen über Extrema und Wendepunkte der Funktion f (x) ab. TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 4. Differentialrechnung | Die Regeln von de l’Hospital 13/20 4. Differentialrechnung | Logarithmische Differentiation 14/20 Aufgabe 4.8 Aufgabe 4.9 Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls diese existieren ex − e−x − 2x , a) lim x→0 x − sin x π d) limπ x − tan x, 2 x→ 2 √ ln (ex + 1) x2 + 4 b) lim , c) lim , x→∞ x→∞ x x 2 1 e) lim cot x − , f) lim x x−1 . x→0 x→1 x TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Logarithmische Differentiation 15/20 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f (x) = (2x)sin x für x > 0. Wie bestimmt man die zweite Ableitung? TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Logarithmische Differentiation Studienjahr 2015/16 16/20 Logarithmische Differentiation Die Funktion f (x) besitze die spezielle Form f (x) = eg(x) mit einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion g(x). Dann gilt f 0 (x) = g 0 (x)f (x) und Aufgabe 4.10 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion √ x + 4 x2 ex ln(x) f (x) = . sin2 (x) cos(x) f 00 (x) = g 00 (x) + (g 0 (x))2 f (x) TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 4. Differentialrechnung | Logarithmische Differentiation 17/20 Logarithmische Differentiation Aus 1 (ln(f (x)))0 = · f 0 (x) f (x) so ist ln(f (x)) = ln(gi (x)) − i=1 und somit f 0 (x) = TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Bestimmen Sie das totale Differential der Funktion x f (x) = arcsin . 2 n X Welche Approximation für f (x) ergibt sich hieraus in der Nähe der Stelle x0 = 0? ln(hj (x)) j=1 m X g 0 (x) i i=1 18/20 Aufgabe 4.11 g1 (x) · . . . · gm (x) , h1 (x) · . . . · hn (x) m X Totales Differential und Fehlerfortpflanzung folgt f 0 (x) = (ln(f (x)))0 · f (x). Besitzt die Funktion f (x) die Form f (x) = 4. Differentialrechnung | gi (x) − n X h0j (x) j=1 hj (x) Höhere Mathematik Totales Differential und Fehlerfortpflanzung · f (x). Studienjahr 2015/16 19/20 TU Bergakademie Freiberg 4. Differentialrechnung | Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 Der Satz von Taylor 20/20 Aufgabe 4.13 Aufgabe 4.12 Geben Sie den maximalen Fehler an, wenn an Stelle des exakten Wertes für π der Wert verwendet wird, den Ihr Taschenrechner im Display anzeigt. Wie groß ist der absolute Fehler bei der Berechnung von π 2 ? Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = ln e2x x das Taylor-Polynom T4 (x) vierter Ordnung an der Stelle x0 = 1. Schätzen Sie den Betrag des Lagrangeschen Restgliedes R4 (x) für x = 1,5 ab. TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16 TU Bergakademie Freiberg Höhere Mathematik Studienjahr 2015/16
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