Inhalt
1
9 Dynamik der Drehbewegung
9.1
Rotation eines Massenpunktes um eine feste Achse
9.2
Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung
9.3
Erhaltungssätze
9.4
Übergang vom Massenpunkt zum starren Körper
9.4.1 Massenträgheitsmoment des starren Körpers
9.4.2 Trägheitsmoment regelmäßiger Körper bei Rotation
um eine Schwerpunktachse
9.4.3 Trägheitsmomente bei anderen Achsen
9.1
Rotation eines Massenkörpers
2
Um Drehungen (Rotationen) um den Schwerpunkt (center of gravity) eines
Körpers zu beschreiben, müssen wir die Näherung eines einzelnen Massenpunktes verlassen. Ein starrer Körper sei aus Massenpunkten zusammengesetzt, die sich relativ zueinander nicht bewegen. Wenn die Drehachse in einem
Koordinatensystem feststeht, bildet man Analogien zu den Begriffen Geschwindigkeit, Kraft, Masse, Impuls und Energie, die wir für lineare Bewegungen bereits
kennen gelernt haben.
Anstelle der Geschwindigkeit v tritt die Winkelgeschwindigkeit ω, wobei
v =ω×r
Die Kraft, die auf eine Drehachse wirkt, ist gleich dem Produkt aus der die
Masse angreifenden Kraft und dem Abstand des Ansatzpunktes zur Drehachse.
Diese Größe wird Drehmoment (torque) genannt und üblicherweise mit M
bezeichnet. Die Richtung von M ist wie die von ω senkrecht zum Abstandsvektor r und zur angreifenden Kraft F .
M =r ×F
M = r ⋅ F ⋅ sin α,
wobei α der Winkel zwischen r und F ist.
1
9.1
Rotation eines Massenkörpers
3
So wie die Masse nach dem 2. Newton'schen Axiom für die gegebene Kraft
angibt, wie groß die resultierende Beschleunigung ist (F = m ⋅ g ), beschreibt
das Massenträgheitsmoment J (moment of inertia) (Bem.: J ist im Allgemeinen
ein Tensor.) die Winkelbeschleunigung, die aufgrund eines bestimmten Drehmomentes auftritt. Das Trägheitsmoment gibt sozusagen an, wie viel Masse sich
wie weit von der Drehachse befindet.
M =J⋅
dω
= J ⋅α
dt
Im konkreten Beispiel einer Punktmasse, die im Abstand r um eine Drehachse
rotiert, lässt sich obige Gleichung im Fall eines rechten Winkels zwischen r und
F schreiben als
dv
dω
=J⋅
dt
dt
dω
dω
2
r ⋅m⋅
=J⋅
dt
dt
r ⋅m⋅
9.1
Rotation eines Massenkörpers
4
Damit erhalten wir für das Trägheitsmoment für einen um eine Achse
rotierenden Massepunkt
JMP = m ⋅ r 2
Massenträgheitsmoment eines Massepunktes
Die Einheit des Drehmoments ist
[M ] = N ⋅ m =
kg ⋅ m2
s2
Die Einheit des Trägheitsmomentes ist
[ J ] = kg ⋅ m2
Die Berechnung des Trägheitsmomentes eines beliebig starren Körpers kommt
später. Allgemein gilt jedoch
J = ∫∫∫ r 2 dm
Für viele starre Körper findet man das Trägheitsmoment tabelliert.
2
9.1
Rotation eines Massenkörpers
5
Ferner benötigen wir den Drehimpuls L (angular momentum), der proportional
dem Impuls p und dem Abstandsvektor r ist und wieder auf beiden senkrecht
steht.
L=r ×p
Stehen r und p senkrecht, kann man mit p = m ⋅ v vereinfachen auf
L = r × p = m ⋅ (r × v ) = m ⋅ (r × ω × r ) = m ⋅ r 2 ⋅ ω
L = m⋅r2 ⋅ω
Die Einheit des Drehimpulses ist
[L ] =
kg ⋅ m2
s
Das zweite Newton'sche Axiom bei Drehbewegungen können wir aus der
Ableitung von L herleiten.
9.1
Rotation eines Massenkörpers
6
d
d
dr
dp dr
dp
L = (r × p ) =
× p+r ×
=
× m ⋅v + r ×
=r ×F
dt
dt
dt
dt dt
dt
v × v =0
=:F
d
L =M
dt
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich der Summe der
angreifenden Drehmomente.
3
9.2
Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung
7
Die geleistete Arbeit ist analog zur linearen Arbeit (W = F ⋅ s bzw. W = ∫ F ds )
und definiert als Drehmoment mal gedrehter Winkel ϕ
W = M ⋅ ϕ bzw. W = ∫ M dϕ
wobei der Vektor ϕ wie bei Drehbewegungen üblich senkrecht auf der Ebene
steht, in der um den Winkel ϕ gedreht wird. Die geleistete Arbeit ist wie bei
der linearen Arbeit ein Skalar.
Die kinetische Energie heißt bei Drehbewegungen Rotationsenergie Erot
(rotational energy), und wir können den Ausdruck für die einfache Punktmasse
im Abstand r zur Drehachse herleiten. Deren kinetische Energie ist
Ekin =
1
1
1
1
⋅ m ⋅ v 2 = ⋅ m ⋅ ω2 ⋅ r 2 = ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ ω2 = ⋅ J ⋅ ω2
2
2
2
2
Damit wird allgemein für die Rotationsenergie unter Verwendung des
Trägheitsmomentes J
Erot =
9.2
1
1
⋅ J ⋅ ω2 = ⋅ J ⋅ ω2
2
2
Arbeit und Leistung bei der Drehbewegung
8
In Analogie kann die Leistung definiert werden:
P=
dW
d
dM
dϕ
dϕ
= (M ⋅ ϕ ) =
⋅ϕ+ M ⋅
= M⋅
= M ⋅ω
dt
dt
dt
dt dM
dt
dt
=0
P = M ⋅ω
Die Leistung ist damit das Skalarprodukt von Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit (Bem.: P = F ⋅ v ).
Damit können wir jetzt zusammenfassend folgende Analogien zwischen
Translation und Rotation angeben:
4
9.3
Erhaltungssätze
9
Neben den bisherigen Erhaltungsgrößen in einem geschlossenen System
kommt jetzt eine dritte Größe nämlich der Gesamtdrehimpuls dazu, sodass für
die Mechanik folgende wichtigen Größen erhalten werden:
a) die Gesamtenergie
b) der Gesamtimpuls
c) der Gesamtdrehimpuls
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
9.4.1
Massenträgheitsmoment des starren Körpers
10
Ein beliebiger starrer Körper rotiert um die Achse A. Wir betrachten den Körper
aus vielen Massenpunkten zusammengesetzt, d. h. ∆m1, ∆m2 , ... . Sie haben die
Abstände r1 , r2 , ... von der Achse.
Das Massenträgheitsmoment eines Massenpunktes ∆Ji = ∆mi ⋅ rJ2 .
Das Massenträgheitsmoment des gesamten Körpers ist dann die Summe der
Massenträgheitsmomente der einzelnen Massenpunkte i, d. h.
N
JK = ∑ ∆mi ⋅ ri 2
i =1
Wir machen die Unterteilung feiner, d. h. N → ∞, Σ → ∫, ∆mi → dm
JK = ∫ r 2 dm
K
Massenträgheitsmoment eines
starren Körpers
5
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
11
Die Masse eines Körpers können wir durch seine Dichte ρ ausdrücken, da
ρ = m V ⇒ ρ = dm dV ⇒ d m = ρ ⋅ dV
Damit wird
JK = ∫ ρ ⋅ r 2 dV
K
und für einen homogenen starren Körper mit ρ = const.
JK = ρ ⋅ ∫ r 2 dV
Massenträgheitsmoment eines
homogenen starren Körpers
K
Das Massenträgheitsmoment eines Körpers hängt ab:
1) von seiner „Massenverteilung“, d. h. von seiner Form.
2) von der Lage der Drehachse. Meist geht diese durch den Schwerpunkt des
Körpers (Schwerpunktachse).
3) von der Dichteänderung des Materials, falls es nicht homogen ist.
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
9.4.2
Trägheitsmoment regelmäßiger Körper bei Rotation um eine
Schwerpunktachse
12
Die Trägheitsmomente regelmäßiger Körper, z. B. Zylinder, Kugel, Kegel,
Quader, usw. lassen sich berechnen.
Beispiel: Vollzylinder
J Zyl = ∫ ρ ⋅ r 2 dV = ρ ⋅
= 2π ⋅ ρ ⋅ h ⋅
J Zyl =
r4
4
1
⋅ mZyl ⋅ R 2
2
∫r
Zyl
2
R
= 2π ⋅ ρ ⋅ h ⋅
0
R
R
0
0
dV = ρ ⋅ ∫ r 2 ⋅ h ⋅ 2π ⋅ r dr = 2π ⋅ ρ ⋅ h ⋅ ∫ r 3 dr
R4 1
= ⋅ π ⋅ ρ ⋅ h ⋅ R2 ⋅ R2
4
2
ρ⋅VZyl = mZyl
Massenträgheitsmoment eines
Vollzylinders mit dem Radius R
6
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
13
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
14
7
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
9.4.3
Trägheitsmomente bei anderen Achsen
15
Bei den bisher betrachteten Beispielen ging die Drehachse durch den Schwerpunkt S des Körpers und fiel mit einer Hauptsymmetrieachse zusammen.
Allgemein gilt:
Das Massenträgheitsmoment hängt von der Lage der Drehachse ab.
9.4.3.1 MTM bei parallel verschobenen Drehachsen – Satz von Steiner
Ein Körper habe bei Rotation um eine Achse S durch seinen Schwerpunkt das
bekannte Massenträgheitsmoment (MTM) JS.
Bei Rotation um eine zu S parallele Achse A, die von S den Abstand a hat, gilt:
S
A
J A = JS + m ⋅ a 2
9.4
Satz von Steiner
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
16
Beispiel:
Vollzylinder rotiert um eine Achse am Mantel M (d. h. a = R).
Mit JS =
1
⋅ m ⋅ R 2 und dem Satz von Steiner wird
2
M
R
1
JM = ⋅ m ⋅ R 2 + m ⋅ R 2
2
JM =
3
⋅ m ⋅ R2
2
8
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
17
9.4.3.2 Trägheitsmomente um beliebige Achsen durch den Schwerpunkt
Hauptträgheitsachsen am Beispiel eines Quaders:
A1 = Achse mit dem größten Trägheitsmoment; J1 = Jmax
A 3 = Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment; J3 = Jmin
A1 ⊥ A 3
A 2 = weitere Achse ⊥ zu A1 und A 3 mit Trägheitsmoment J2, wobei J3 ≤ J2 ≤ J1.
A1
A2
A3
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
18
Definitionen:
{A1, A 2, A 3 } = Hauptträgheitsachsen mit A1 ⊥ A 2 ⊥ A 3
{J1 = Jmax , J2, J3 = Jmin } = Hauptträgheitsmomente
Erweiterung auf beliebig geformte Körper:
jeder Körper hat drei Hauptträgheitsachsen
A1 = Hauptträgheitsachse mit größtem J : J1 = Jmax
A1 ⊥ A 3
A 2 = Hauptträgheitsachse mit mittlerem J senkrecht zu A1 und A 3
A 3 = Hauptträgheitsachse mit kleinstem J : J1 = Jmin
Bem.:
a) Die Hauptträgheitsachsen symmetrischer Körper fallen mit seinen
Hauptsymmetrieachsen zusammen.
b) Bei rotationssymmetrischen Körpern fallen die Trägheitsmomente zweier
Hauptachsen zusammen.
c) Für eine Kugel, einen Würfel und einen Zylinder mit l = 3 ⋅ R gilt : J1 = J2 = J3
9
9.4
Übergang vom Massenpkt. zum starren Körper
19
Beliebige Schwerpunktsachsen
Ein Körper möge um eine beliebige Achse A durch seinen Schwerpunkt S
rotieren. Wie groß ist das Trägheitsmoment um diese Achse?
Die Achse A schließt mit den drei Hauptachsen A1, A2 und A3 die Winkel α1, α2
und α3 ein.
Für das Trägheitsmoment um A gilt:
J A = J1 ⋅ cos2α1 + J2 ⋅ cos2α 2 + J3 ⋅ cos2α3
Deviations- oder Zentrifugalmomente
Bei Rotation um eine beliebige Achse A treten Zentrifugalmomente auf, die die
Achse zu kippen versuchen.
Bei festen Achsen werden sie von den Achslagern aufgenommen.
Bei Rotation um eine Hauptachse treten keine Deviationsmomente auf.
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
20
Drehmoment senkrecht zur Drehachse
In diesem Abschnitt wollen wir uns dem komplizierten Problem zuwenden,
welche Bewegungen ein starrer Körper sowohl ohne äußere Kräfte als auch
unter dem Einfluss von Drehmomenten ausführt, wenn er nicht durch eine
festgehaltene Achse in seinen Freiheitsgraden eingeschränkt wird. Man nennt
einen solchen um „freie“ Achsen rotierenden starren Körper „Kreisel“.
Auf einen Kreisel mit dem Drehimpuls L wirkt die Kraft − FG ein, die die Achse
des Kreisels zu kippen versucht.
Die Achse kippt jedoch nicht in Richtung der Kraft, sie weicht vielmehr in einer
dazu senkrechten Richtung aus. ⇒ Kreiselkäfte
Die Kraft − FG erzeugt einen Drehmomentstoß M ⋅ dt , der nach hinten zeigt.
Die zugehörige Drehimpulsänderung dL hat die gleiche Richtung. Der Drehimpulsvektor L weicht in Richtung dL aus.
10
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
21
Drehimpulsänderung
durch das Drehmoment.
Kräfte und Drehmoment
auf den Kreisel.
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
22
Beispiele für Kreiselkräfte:
1) Radfahren: Fahrer bringt Kippmoment auf (legt sich in die Kurve) ⇒
Drehmoment weist nach hinten.
2) Diskuswurf: Wegen des Dralls hat der Diskus vom Scheitelpunkt der
Wurfparabel einen Ausstellwinkel α, d. h. der Diskus erfährt den Auftrieb einer
Tragfläche.
3) Der kräftefreie Kreisel:
Schnell rotierender rotationssymmetrischer Körper in kardanischer Aufhängung:
Drei zueinander senkrecht stehende Achsen: A0, Ax, Ay
A0 = Haupt-Rotationsachse, „Figurenachse“
Ri = innerer Rahmen
Ra = äußerer Rahmen
Rf = fester Rahmen
Kräftefreier Kreisel:
keine Drehmomente greifen an den Rahmen Ri und Ra an.
11
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
23
Drehimpulserhaltung (Drallsatz):
L0 bleibt konstant, d. h. L0 behält seine
Richtung bei, wenn der Kreisel insgesamt,
d. h. der feste Rahmen Rf bewegt wird.
Ri
Ax
A0
Ra
Ay
Anwendung:
Kurskreisel zur Richtungssteuerung von
Flugzeugen, Schiffen, Raketen, Torpedos,
…
Rf
Kräftefreier symmetrischer Kreisel
in kardanischer Aufhängung.
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
24
Kreiselkompass
Er beruht darauf, dass ein über seinem Schwerpunkt drehbar aufgehängter
Kreisel seine Drehachse parallel zur Drehachse der Erde zu stellen sucht. Zur
Erklärung dieser Kreiselwirkung greifen wir auf die besonderen Eigenschaften
eines Kreisels zurück. Der Einfachheit halber denken wir uns dabei einen Kreisel
in west-östlicher Richtung auf dem Erdäquator aufgestellt (Stellung I). Mit der
Erddrehung wird er nach einer bestimmten Zeit in die Stellung II gedreht worden
sein. Da er die Tendenz hat, seine Achsenrichtung beizubehalten, wird bei der
Art der Aufhängung sein Schwerpunkt angehoben. Daher übt die Schwerkraft
ein Drehmoment auf ihn aus, das den Kreisel samt Lagerung zurückzudrehen
versucht (kleine schwarze Pfeile). Infolgedessen ändert sich die Richtung der
Drehachse (des Dralles) in Richtung des Momentes, d. h. im gezeichneten Falle
senkrecht zur Zeichenebene. Dies bedeutet eine Ausrichtung des Kreisels in
nord-südlicher Richtung. Schiffe sind weitgehend mit Kreiselkompassen, die
einen verhältnismäßig leichten Anschluss von Tochterkompassen ermöglichen,
ausgestattet.
12
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
25
Kreiselkompass (Fortsetzung)
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
26
4) Kreisel mit konstantem Drehmoment
Ein konstantes Drehmoment M greift senkrecht zur Figurenachse A 0 am
inneren Rahmen Ri an und erzeugt dadurch das Zusatzgewicht G = m ⋅ g
(M0 = Ri × G ).
Wegen M = dL dt erzeugt M0 eine konstante Drehimpulsänderung dL dt ,
die dieselbe Richtung wie M hat.
L0 weicht also dauernd in Richtung dL dt aus (Gegenuhrzeigersinn),
d. h. der äußere Rahmen dreht sich um die senkrechte Achse A y .
Der Kreisel präzediert, d. h. er vollführt eine Präzessionsbewegung mit
konstanter Winkelgeschwind igkeit ωP .
13
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
27
Berechnung von ωP:
dL
dϕ
dϕ =
L0
ωP =
ωP =
dL
L0
=
M ⋅ dt
L0
dϕ M
=
dt
L0
M
M
R ⋅m⋅g
=
= i
L0 J ⋅ ω
J ⋅ω
1
,
ω
d. h. je schneller der Kreisel rotiert desto langsamer präzediert er.
⇒ ωP ∼
9.5
Kreiselkräfte, Kreisel, Kreisel-Präzession
28
M0
Ri
Ax
A0
Ra
Ay
Rf
L0
Kräftefreier symmetrischer Kreisel
in kardanischer Aufhängung.
14
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