Lehrbrief zum Praktikum Durchlässigkeitsmessung

Institut für Bohrtechnik und Fluidbergbau
Praktikum Geoströmungstechnik
Durchlässigkeitsmessung
Bestimmung der absoluten Durchlässigkeit poröser Stoffe mit Flüssigkeit und Gas
Autoren: Prof. Dr. F. Häfner, Prof. Dr. S. Wagner, Dr. C. Freese
Stand: 20. Oktober 2015
1 Theoretische Grundlagen
1.1 Grundgleichgungen
Die Bestimmung der Permeabilität respektive der Durchlässigkeit ist eine der fundamentalen Aufgaben in der Geoströmungstechnik. Die Permeabilität charakterisiert die Durchströmbarkeit eines porösen Stoffes und ist eine reine Stoffkonstante dieses Materials [1].
Zur mathematischen Beschreibung der Strömungsvorgänge werden drei Grundgleichungen
benötigt:
• Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Masse)
• Gesetz von Darcy (Erhaltung des Impulses)
• thermodynamische Zustandsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung sagt, daß die Summe aller ein- und ausströmenden Massen
gleich der Masseänderung der Probe ist.
mE
m
mA
∆m
(1)
∆t
Das Darcy-Gesetz 1 beschreibt den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Potentialgefälle:
X
ṁ =
w=
V̇
ṁ
k
kρg
=
= − · grad p =
· grad h
A
ρA
η
η
(2)
|v| =
w
(3)
n
Darin bedeuten2 :
w
v
n
– Darcygeschwindigkeit (fiktive oder Filtergeschwindigkeit) des Strömungsmediums
– mittlere reale Geschwindigkeit in den Poren (Abstandsgeschwindigkeit)
– Porosität
|grad p| =
1
2
∆p
∆h
; |grad h| =
∆L
∆L
(4)
nach Henry d’Arcy
alle verwendeten Symbole sind am Ende der Anleitung zusammengefaßt
1
∆p
∆h
∆L
A
V̇
η
k
–
–
–
–
–
–
–
Druckdifferenz
Spiegelhöhe
Probenlänge, Fließlänge
Querschnitt des Probekörpers
Volumenstrom
dynamische Viskosität des Fluids
absolute Durchlässigkeit
Unter Berücksichtigung des gravitativen Einflußes gilt [2]:
k
w = − (grad p + ρ · g · grad z )
{z
}
|
η
(5)
Gravitationsanteil
als allgemeine Form des Darcy-Gesetzes.
g
z
p
ρ
–
–
–
–
Erdbeschleunigung
geodätische Höhe über Bezugsniveau
Druck in der Probe/Fluiddruck
Dichte des Strömungsmediums
Der Anteil der kinetischen Energie ist bei Strömungsvorgängen in porösen Stoffen vernachlässigbar.
Die Zustandsgleichungen bei konstanter Temperatur beschreiben die Abhängigkeiten der
Dichte ρ vom Druck p.
Für Flüssigkeiten gilt:
ρ(p) = ρ0 eκ(p−p0 ) ≈ ρ0 [1 + κ(p − p0 )]
(6)
κ – isotherme Kompressibilität
und für Gase abgeleitet aus dem realen Gasgesetz
ρ(p) = ρ0
pT0
p0 T zg (p, T )
(7)
Die Kombination der Gleichungen 1, 3 und 6 bzw. 7 erlaubt es aus Labormessungen die
Durchlässigkeit k zu bestimmen.
2
1.2 Durchlässigkeit
Die Durchlässigkeit ist eine reine Stoffkonstante. Sie ist unabhängig von dem jeweiligen
Strömungsmedium und den Versuchsbedingungen, wenn keine Wechselwirkungen (chemischer oder physikalischer Natur) zwischen der Porenwandung und dem Strömungsmedium
auftreten. Das Darcy–Gesetz ist nur gültig, wenn laminare Strömung vorliegt, so daß die
Durchlässigkeit auch nur in diesem Falle eine sinnvolle Größe darstellt.
Die Durchlässigkeit hat die Maßeinheit einer Fläche [m2 ]. Früher und in der Erdöl- und
Erdgasindustrie zum Teil heute noch gebräuchlich ist die Maßeinheit “Darcy” [D].
1D = 0, 9869 · 10−12 m2 ≈ 1 · 10−12 m2
In der Grundwasserhydraulik/Hydrogeologie findet eine zweite Definition der Durchlässigkeit Verwendung, die jedoch nur für oberflächennahe, nichtmineralisierte Wässer zu
verwenden ist. Diese Größe wird “Durchlässigkeitsbeiwert” kf genannt und ist folgendermaßen definiert:
k·ρ·g
k·g
=
(8)
kf =
ν
η
Man erkennt sofort, daß kf nur dann eine Stoffeigenschaft des porösen Materials ist, wenn
die Dichte ρ und die dynamische Zähigkeit η des Strömungsmediums konstant sind.
Für oberflächennahe Grundwässer kann man im Mittel folgende Bedingungen annehmen:
Dichte ρ = 1000 kg/m3 , dynamische Zähigkeit η = 1,306 mP as. Für diese Bedingungen
gilt der kf –Wert. Betrachtet man jedoch Wasser in etwa 1200 m Tiefe, so beträgt die dynamische Zähigkeit von Süßwasser nur noch 0,54 mP as bzw. des mineralisierten Wassers
1,1 mP as (bei ρ 1200 kg/m3 und jeweils bei 52 ◦ C). Für solche Bedingungen hätte der
kf –Wert des gleichen porösen Materials je unterschiedliche Zahlenwerte – wäre also keine
Stoffkonstante.
1.3 Abweichung vom Darcy–Gesetz
Bei den laborativen Durchströmungen einer Probe muß sehr genau darauf geachtet werden, daß alle Bedingungen, die bei der Formulierung des Darcy–Gesetzes gestellt wurden,
erfüllt sind. Die physikalischen Ursachen solcher Abweichungen vom Darcy–Gesetz sind:
• Gleiteffekt (Klinkenberg– Effekt)
• “Turbulenz”
• Reaktion mit der Porenwand
Der Gleiteffekt oder slip-effect tritt bei Gasströmung auf, wenn die mittlere freie Weglänge in der Größenordnung der Porendurchmesser liegt. Das Gas “haftet” dann nicht
mehr an den Wänden der Porenkanäle, sondern es gleitet [3]. Die mittlere freie Weglänge
der Braun’schen Molekularbewegungen hängt von Druck, Temperatur und Gasart ab, sie
3
sinkt mit steigendem Druck. Nach Klinkenberg ist die scheinbare, durch den Gleiteffekt
verfälschte Durchlässigkeit kK [4]:
kK = k(1 +
b
)
pm
(9)
pm – mittlerer, absoluter Gasdruck in der Probe
Trägt man die scheinbaren Permeabilitätswerte kK über 1/pm auf, so liefert die Extrapolation die wahre Durchlässigkeit. In Bild 1 wurde die Neigung b als Funktion von
kK
k b
k
1
pm
k dargestellt; der Klinkenbergeffekt wächst mit kleiner werdender Durchlässigkeit. Für
praktische Messungen gilt, daß die Klinkenberg–Abweichung bei k < 0, 1µm2 wesentlich
wird. Für Sandstein und Dolomit gilt die empirische Beziehung [5].
b = 4, 84 · 10−3 k −0,35
(10)
b in M P a
k in µm2
Der Turbulenzeffekt kann bei Flüssigkeits– und Gasströmung auftreten und wächst mit
dem Porendurchmesser und der Geschwindigkeit. Bei Permeabilitäten unterhalb 10−3 µm2
ist nicht zu erwarten, daß turbulente Strömung auftritt. Zum Nachweis der laminaren
Strömung kann eine modifizierte Reynoldszahl nach Millionščikov benutzt werden
s
ReM
wρ k
=
η n3
(11)
Im Bereich 0, 022 ≤ ReM ≤ 0, 29 geht die Strömung vom laminaren in den turbulenten
Bereich über (für ReM < 0, 022 ist die Strömung laminar). Gleichung 11 ist nur gültig
für poröse Stoffe (Sande, Kalkstein, Sandstein u. ä.), nicht für klüftige poröse Stoffe mit
ausgeprägten Einzelklüften. Sie liefert weiterhin nur unsichere Ergebnisse bei natürlichen
Gesteinen.
4
Abbildung 1: Abhängigkeit des Klinkenbergfaktors b von der Durchlässigkeit
Ein meßtechnisch sicherer Nachweis der Turbulenz ist mit Hilfe der Erweiterung des
Darcy–Gesetzes durch Forchheimer möglich.
η
w
+
βT w2
− grad p =
(12)
| {z }
k
|{z}
laminarerAnteil
turbulenterAnteil
βT ist der Turbulenzfaktor, eine Stoffkonstante.
Der Vergleich der Gleichung 3 und 12 zeigt, daß eine Beziehung für die durch Turbulenz
verfälschte Durchlässigkeit kT existiert
1
1 βT
= +
w
kT
k
η
(13)
Trägt man die Kehrwerte der scheinbaren Durchlässigkeit kT über der fiktiven Geschwindigkeit w auf, so liefert die Extrapolation den wahren Permeabilitätswert. Hierbei ist
darauf zu achten, daß bei Gasströmung die Klinkenberg–Abweichung vernachlässigbar
klein ist, d. h. die Versuche sind bei hohen mittleren Drücken zu fahren.
Die Reaktion mit der Porenwand können chemischer oder physikalischer Natur sein.
Chemische Reaktionen werden durch die Wahl geeigneter Strömungsmedien z. B. Wasser,
organische Flüssigkeiten oder Stickstoff unterbunden.
5
1
kT
βT η
1
k
u=w
Polare Flüssigkeiten, wie z. B. Wasser oder Ehtanol, bilden in den Porenkanälen elektrische Doppelschichten, d. h. Grenzschichten, die durch Dipolbildung zurückgehalten werden (elektrokinetischer Effekt). Die mit destilliertem Wasser gemessenen Durchlässigkeiten
können dadurch wesentlich verfälscht werden. Nichtpolare Flüssigkeiten, wie Cyclohexan,
Iso-Oktan oder Mineralöle, Gase und auch mineralisiertes Wasser bilden keine Doppelschicht und führen deshalb nicht zu einer Abweichung vom Darcy–Gesetz [6].
1.4 Auswertung der Labormessungen
1.4.1 Stationäres Verfahren
Durchlässigkeitsmessungen werden im Labor in der Regel an zylindrischen oder auch
quaderförmigen Probekörpern durchgeführt
V
ΦE
p
E
hE
L
Querschnittsfläche A
p Φ
A
A
hA
∆ p = pE − pA
∆ h = hE − hA
Folgende Bedingungen sind einzuhalten:
• stationäre Strömung (V̇ = const., der Potentialverlauf in der Probe ist zeitlich konstant). Damit ist die zeitliche Massenänderung ∆m in Gleichung 1 gleich Null.
• es treten keine Reaktionen mit der Porenwandung auf
• die Strömung ist einphasig, d. h. das Strömungsmedium ist eine homogene Flüssigkeit oder Gas.
Bei Messungen mit Flüssigkeit wird die Flüssigkeit als inkompessibel betrachtet (ρ = ρ0 ).
Mit diesen Vereinfachungen ergibt die Kombination von Gleichung 1, 3 und 6, nach k
6
umgestellt:
k=
V̇ νL
V̇ ηL
=
A(ΦE − ΦA )
ρgA(hE − hA )
(14)
Ordnet man die Probe horizontal an, so entfällt die Differenz der geodätischen Höhen z
(zE − zA = 0) und man kann anstatt der Potentiale Φ oder h die Drücke p verwenden
k=
V̇ ηL
A(pE − pA )
(15)
Die Durchlässigkeitsmessung mit Gas beruht auf der Kombination der Gleichungen 1, 3
und 7. Im Darcy–Gesetz kann das Potential Φ durch den Druck p ersetzt werden, da
die Gravitation infolge der geringen Gasdichte vernachlässigbar ist. Die Durchlässigkeit
berechnet sich dann aus
k=
V̇0 ηLp0 T zg (pm , T )
Apm T0 (pE − pA )
(16)
V̇0 ist dabei der Gasvolumenstrom im Zustand (p0 , T0 )
pE + pA
2
Bei Laborbedingungen werden für den Bezugszustand (p0 , T0 ) die Bedingungen des Meßplatzes angenommen, d. h.
T0 = T , p0 = Atmosphärendruck am Meßplatz.
pm =
Der Realgasfaktor zg = 1 für Luft bzw. Stickstoff bei den üblichen Drücken. Daraus folgt
aus 16:
k=
2V̇ ηLp0
V̇ ηLp0
=
Apm (pE − pA )
A(pE 2 − pA 2 )
(17)
1.4.2 Instationäres Verfahren
Von einer Instationären Messung spricht man, wenn die Meßgrößen zeitlich nicht konstant
sind. Im vorliegenden Fall sind dies die Druckdifferenz und der Volumenstrom [7]. Das
Prinzip der Instationären Permeabilitätsmessung ist in der Abbildung 6 dargestellt. Die
Probe befindet sich zwischen zwei Druckkammer mit definiertem Volumen. Vor Beginn der
Messung wird die Eingangskammer mit einem Druck pE beaufschlagt, durch das Öffnen
des Ventils V2 wird der Weg für den Druckausgleich der beiden Kammern über die Probe
freigegeben. Die Druckverläufe in den Kammern werden aufgezeichnet; sie sind ein Maß
für die Permeabilität der Probe. Da alle Volumina der Anlage bekannt sein müssen, ergibt
sich aus der Massebilanz gleichzeitig die Porosität der Probe.
Die Auswertung der Instationären Messung erfolgt mit dem Rechenprogramm “INSTAT”
[8]. Dem Programm liegt das Differenzenverfahren zu Grunde, es berechnet die Per-
7
meabilität und die Porosität in dem es die Abweichung zwischen den gemessenen und
den berechneten Druckverläufen minimiert. Das Programm startet mit einem geschätzten Wert für die Permeabilität und Porosität, diese Parameter werden in einer Iterationsschleife so lange verändert bis die Abweichung zwischen gemessenen und berechneten Druckverläufen minimal ist. Zur Minimierung der Zielfunktion J können wahlweise das Gradienten-Verfahren, das Gauß-Newton-Verfahren das Powell-Verfahren und das
Levenberg-Marquardt-Verfahren eingesetzt werden [9].
J =±
v
u
N
uP
u
(p1,Berechnet − p1,M essung )2
u
t n=1
N −1
⇒ M in.
(18)
2 Versuchsdurchführung
2.1 Vorbemerkung
Die durchzuführende Messung nach dem Stationären Prinzip ist typisch für die Durchlässigkeitsbestimmung an hoch bis mittel permeabelen porösen Proben. Entscheidend für
die Güte der Ergebnisse ist eine saubere, dichte Meßapparatur und eine übersichtliche
Versuchsanordnung. Die Meßgeräte müssen so gewählt werden, daß der zu erwartende
Meßwert im zulässigen Meßbereich des Gerätes liegt, und eine genaue Ablesung möglich ist. Sind die Größenordnung der zu erwartenden Meßwerte nicht bekannt, werden
an Hand von Vorversuchen die geeigneten Meßgeräte ausgewählt. Der Praktikumsversuch
ist in zwei Teile gegliedert. Im Ersten wird ein Sandsteinkern zunächst gesättigt, dabei
die Porosität bestimmt und anschließend die Laugenpermeabilität ermittelt. Im zweiten
Teil wird die Gaspermeabilität an einem anderen getrockneten Kern bestimmt. Bei beiden
Messungen befindet sich die Probe zwischen zwei Kopfstücken in einer Gummimanschette.
Die Gummimanschette wird mit einem Manteldruck beaufschlagt um Randläufigkeiten zu
verhindern. Dieser Manteldruck muß über dem Strömungsdruck liegen, die genaue Höhe
des Manteldruckes hängt jedoch von der Beschaffenheit der Probe ab. Während der Messungen sind die Temperaturen der Strömungsmedien zu registrieren, um die Stoffwerte
für die Auswertung bei der richtigen Temperatur zu ermitteln.
Das Verfahren der Instationären Permeabilitätsmessung wird im Rahmen des Praktikums
nur vorgestellt. Bei der Auswertung der erhaltenen Ergebnisse sollten beide Meßprinzipien
miteinander verglichen werden.
2.2 Durchlässigkeitsmessung mit Flüssigkeit
2.2.1 Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 2 dargestellt. Die Mariottesche Flasche hält den
8
Druck in der Höhe des Austrittsrohres konstant. Sie ist nach oben luftdicht verschlossen,
ein offenes Glasrohr ragt durch den
Verschluß in das Wasser. Beim Durchströmen der Probe senkt sich der Wasserspiegel, dadurch entsteht ein Unterdruck und wenn dieser groß genug ist wird Luft durch das Glasrohr
gesaugt. Der sich am unteren Ende
des Glasrohres einstellende Druck ist
somit gleich dem herrschenden Luftdruck. Ein Puffergefäß mit entgastem
Wasser befindet sich zwischen Mariottesche Flasche und Probe. Die Druckdifferenz wird mit einem Standrohrmanometer gemessen. Die Versuchsflüssigkeit wird in einem Meßzylinder
aufgefangen, und die dafür benötigte
Zeit mit der Stoppuhr bestimmt. Aufgefangene Volumina und Zeiten sind
so zu wählen, daß eine Genauigkeit
von 2 % erreicht wird. Für eine reproduzierbare Messung ist eine vollständig mit der Versuchsflüssigkeit gesättigte Probe, sowie sauberes gasfreies Wasser Voraussetzung. Um die Bildung von elektrischen Doppelschichten an den Porenwänden zu verhindern, wird das eingesetzte Wasser zuAbbildung 2: Versuchsaufbau
vor mit 5 g/l NaCl versetzt. Die Entgasung das Wasser erfolgt während einer 30 minütigen Ultraschallbadbehandelung.
2.2.2 Versuchsdurchführung
Vor Versuchsbeginn wird die gereinigte und getrocknete Probe gewogen und gemessen.
Zum Sättigen des Kerns wird dieser im Exsikkator evakuiert (siehe Abb.: 3). Dabei ist
darauf zu achten, daß das Exsikkatorvolumen groß gegen¨uber dem Porenvolumen der
Probe ist. Nach erreichen eines station¨aren Zustandes wird durch Umstellen des 3–
Wegehahnes das Versuchsfluid so lange angesaugt bis der Kern vollständig mit Wasser
bedeckt ist. Die gesättigte Probe wird gewogen, um aus der Gewichtsdifferenz und der
Dichte des Fluids die Porosität n zu berechnen:
Vf
1 mg − mT
n=
=
(19)
V
V
ρF l
Das Umsetzen der Probe in den Probenhalter sollte zügig geschehen um die Sättigungs-
9
Abbildung 3: Versuchsanordnung der Vakuumsättigung
bedingungen nicht zu verändern. Sind alle Verbindungen am Probenhalter auf Dichtheit
geprüft und ist der Manteldruck aufgebracht kann mit der Durchströmung begonnen werden. Ein Stationärer Zustand ist erreicht, wenn sämtliche Luftblasen aus der Leitung
entwichen sind sowie die Potentialdifferenz und der Volumenstrom konstant sind.
2.2.3 Versuchsauswertung und Diskussion der Ergebnisse
Für die Auswertung der Messungen und die Berechnung der Permeabilität k nach Gleichung 14 bzw. 15 werden die ermittelten Meßwerte für Volumenstrom, Länge und Durchmesser der Probe sowie die gemessene Potentialdifferenz benötigt. Dichte und dynamische
Viskosität der Flüssigkeit sind vor dem Versuch zu messen respektive in Stoffwertesammlungen nachzuschlagen [10, 11].
Bei der Berechnung ist darauf zu achten, daß alle Werte in SI–Einheiten einzusetzen
sind!
Zum Nachweis der laminaren Strömung nach Gleichung 11 berechnet sich die Strömungsgeschwindigkeit w nach Gleichung 3 und die Porosität n aus Gleichung 19.
Jedes Meßergebnis muß in einer abschließenden Fehlerbetrachtung einer kritischen Überprüfung unterzogen werden. Ein möglicher systematischer Fehler der Messung ist das Nichterreichen des stationären Strömungszustandes auf Grund der zeitlichen Begrenztheit des
Praktikums. Dieses sollte jedoch bei Labormessungen ausgeschlossen werden. Zufällige
Fehler die durch Ablesefehler bzw. die Fehlertoleranzen der Meßgeräte entstehen, lassen
sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz wie folgt berechnen:
∆k
=
k
v
u
u ∆V 2
t
V
∆η
+
η
!2
∆L
+
L
2
∆A
+
A
2
∆t
+
t
2
∆(∆h)
+
∆h
!2
Die Meßunsicherheiten der Einzelgrößen können wie folgt eingeschätzt werden:
10
(20)
∆V
∆η
∆L, ∆d
∆t
∆A
∆(∆h)
=
=
=
=
=
=
±2, 0 cm3
±0, 1 mP a · s
±0, 0002 m
±1, 0 s
muß aus ∆d berechnet werden
±4, 0 mm
Die erhaltene Abweichung ist als relativer Fehler der berechneten Permeabilität zu verstehen.
2.3 Durchlässigkeitsmessung mit Gas
2.3.1 Versuchsaufbau – stationär
Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Das
Strömungsmedium – Stickstoff kann direkt den Anschlüssen der Zentralen Gasversorgung
P = konst.
entnommen werden. Über DruckminE
derer und Feinregulierventile kann der
PI
gewünschte Druck vor der Probe einProbe eingespannt,
gestellt werden. Die Messung des Einabgedichtet
gangsdruckes pE erfolgt mit einem ReManteldruck
lativdrucksensor, d. h. es wird die Differenz zwischen dem Druck vor der
Probe und dem Luftdruck gemessen.
FI
PI
Der Ausgangsdruck nach der Probe
pA ist gleich dem Luftdruck. Der Gasvolumenstrom wird am ProbenausFluid
gang mit einem geeigneten Meßgerät,
PA
PE
z. B. einem Schwebekörperdurchflußmesser oder einem Seifenblasenzähler
Abbildung 4: Versuchsaufbau
erfaßt.
2.3.2 Versuchsdurchführung
Vor Beginn der Messung d. h. nach dem Einbau der Probe und der Aufgabe des Manteldrucks muß der Versuchsaufbau auf Dichtheit geprüft werden. Pro eingestellter Druckdifferenz sollten drei Werte abgelesen werden, um daraus den Mittelwert bilden zu können.
Der erste Meßpunkt ist erreicht wenn bei gewähltem Druck keine Änderung des Volumenstromes und des Druckes mehr erfolgt. Es sollten Messungen bei 5 verschiedenen
Druckniveaus durchgeführt werden. Der mögliche Meßbereich der Meßgeräte sollte dabei
ausgeschöpft werden.
11
2.3.3 Versuchsauswertung und Diskusion der Ergebnisse
Die Auswertung der Meßergebnisse erfolgt analog der Auswertung der Flüssigkeitsmessungen nach Gleichung 17.
Die erhaltenen Ergebnisse sind graphisch darzustellen. Dabei sollen die Werte so dargestellt werden das sowohl der Klinkenbergeffekt als auch der Turbolenzeffekt sichtbar
werden. Die korrigierten Permeabilitäten sind anzugeben und es ist zu diskutieren, welche
Korrektur für diese Messung sinnvoll ist. Abbildung 5 zeigt an einem Beispiel wie die
Graphische Klinkenbergkorrektur aussehen sollte.
2e−16
y = 5.0e−12x+9.98e−17
y = 7.4e−12x+8.10e−17
1.8e−16
Durchlässigkeit [m²]
1.6e−16
1.4e−16
1.2e−16
1e−16
8e−17
6e−17
4e−17
2e−17
0
1e−06
2e−06
3e−06
4e−06
5e−06
1/mittlerer Druck [1/Pa]
6e−06
7e−06
Abbildung 5: Klinkenbergkorrektur für eine Beispielprobe
Dabei ist in der Abbildung die Durchlässigkeit über dem reziproken des mittleren Druckes
berechnet zum einen nach der linearen Beziehung
pE + pA
pm =
(21)
2
und zum anderen nach folgender Beziehung,
2
p2A
pm =
pE +
3
pE + pA
"
#
(22)
aufgetragen worden.
12
In der abschließende Fehlerbetrachtung soll diskutiert werden, ob die zufälligen Fehler,
ermittelt nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gleichung 23), größer oder kleiner als die
Fehler infolge der Klinkenberg- und der Turbolenzabweichung sind.
v
u
∆V̇
∆k u
=t
k
V̇
!2
∆η
+
η
!2
∆L
+
L
2
∆A
+
A
2
∆p0
+
p0
!2
∆p
+
p
!2
∆(∆p)
+
∆p
!2
(23)
Die Meßunsicherheiten der Einzelgrößen können wie folgt eingeschätzt werden:
∆V̇
∆η
∆L, ∆d
∆A
∆p0
∆p
∆(∆p)
=
=
=
=
=
=
=
±0, 75% vom Endwert des Meßbereiches
±0, 0001 mP a · s
±0, 0002 m
muß aus ∆d berechnet werden
±4, 0 · 10−4 M P a
±1, 0 · 10−3 M P a
±5, 0 · 10−5 M P a
2.3.4 Versuchsaufbau – instationär
T0 : PE >> PA
T1 : PE = PA
V1
PIC
PA
def. Volumen
PE
Probe
Manteldruck
eingespannt,
abgedichtet
def. Volumen
PIC
V3
V2
Abbildung 6: Versuchsaufbau der Instationären Permeabilitätsmessung
In Abbildung 7 sind stellvertretend für Instationäre Messungen die gemessenen und gerechneten Druckverläufe der Permeabilitätsmessung des Praktikumskerns 1 dargestellt. Instationäre Permeabilitätsmessung werden insbesondere bei der Bestimmung sehr kleiner
Permeabilitäten eingesetzt, da bei der Messung nach dem stationären Prinzip die zu messenden Volumenströme so klein werden, daß man sie nicht mehr reproduzierbar erfassen
kann. Ein weiterer Vorteil der Messungen nach dem instationren Prinzip ist die Bestimmung
der Porosität aus den Meßwerten.
13
1.4
1.2
Druck [MPa]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
10
100
Zeit [s]
Eingang, gemessen
Eingang, gerechnet
1000
10000
Ausgang, gemessen
Ausgang, gerechnet
Abbildung 7: Druckverläufe in der Ein- und Ausgangskammer, gemessen und gerechnet
3 Praktische Anwendungsbeispiele
Die Bestimmung von Durchlässigkeit und Porosität sind Basisuntersuchungen an porösen
Stoffen. Für eine Vielzahl von Praktischen Anwendungen ist die Kenntnis der strömungsmechanischen Parameter grundlegend. Bei der Abbauprojektierung von Flüssigkeits- und
Gaslagerstätten sind Kernuntersuchungen noch vor den Hydrodynamischen Untersuchungen der Lagerstätte notwendig. Gleiches gilt für die untertägige Speicherung von Flüssigkeiten und Gasen. Die Korrelationsbeziehungen für die geologische Prognose erfordern
derartige Messungen auch in Bohrungen, die nicht zur Förderung benutzt werden.
Die Bestimmung der effektiven Durchlässigkeit für jede Phase im Strömungsraum erfolgt
bis auf die Sättigungsmessung mit gleicher Methodik. Die Baugrunduntersuchung benötigt
im Zusammenhang mit bodenmechanischen Parametern auch diese reservoirmechanischen
Parameter. Der Zufluß zu unterirdischen Hohlräumen und deren Umströmung verlangt die
Kenntnis der Durchlässigkeit. Abdichtungen von untertägigen Deponien mit verschiedenen
Injektionsmitteln, z. B. Zement, werden wesentlich durch orientierte Durchlässigkeiten
beeinflußt.
Weiter ist die Dichtheit des abgebundenen Zementes selbst zu untersuchen. Schließlich
erwähnen wir noch die Anwendung der Strömungsmechanik in der chemischen Industrie
und in der Energetik, die in Zukunft größere Bedeutung erlangen wird. Dabei sind Durch-
14
lässigkeiten von Molekularsieben, und anderen reaktionskinetischen Einrichtungen zu bestimmen.
Verwendete Symbole
Skalare Größen
k
[m2 ]
kf
[m/s]
kK
[m²]
kT
[m²]
η
[P a · s]
ν
[m2 /s]
ρ
[kg/m3 ]
n
[−]
ne
[−]
nt
[−]
m
[kg]
A
[m2 ]
p
[P a]
h
[m]
Permeabilität/Durchlässigkeit
Durchl¨assigkeitsbeiwert (Wasser)
korrigierte Durchlässigkeit nach Klinkenberg
scheinbare Durchlässigkeit
dynamische Viskosität des Fluids
kinematische Viskosität des Fluids
Dichte
Porosität
effektive Porosität
totale Porosit¨at
Masse
Querschnitt des Probekörpers(Fläche)
Druck
Standrohrspiegelhöhe
z
[m]
t
[s]
p0
[P a]
κ
[P a−1 ]
b
[M P a]
βT
[−]
ReM
[−]
ΦE/A
Vektorgrößen
w
[m/s]
v
[m/s]
V̇
[m3 /s]
ṁ
[kg/s]
geodätische Höhe über Bezugsniveau
Zeit
Bezugsdruck/Luftdruck
isotherme Kompressibilität
Klinkenbergfaktor, eine Stoffkonstante
Turbulenzfaktor, eine Stoffkonstante
Reynoldszahl nach Millionščikov
Potential am Probeneingang bzw. -ausgang
g
Erdbeschleunigung
[m/s2]
Darcygeschwindigkeit
Geschwindigkeit/Abstandsgeschwindigkeit
Volumenstrom
Massestrom
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Literatur
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[2] Häfner, Frieder, Dietrich Sames und Hans-Dieter Voigt: Wärme-und
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[11] Autorenkollegium: VDI-Wärmeatlas, Band 6.erw. Auflage. VDI-Verlag, Düsseldorf, 1991.
Aktualisiert: 1. Dezember 2009
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