Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde Makroökonomie I Wintersemester 2015/16 Marten Hillebrand (Vorlesung), Dennis Krieger und Tutoren (Tutorium) www.macro.economics.uni-mainz.de version - 13. Januar 2016 Exkurs (Dierentialgleichungen) Vervollständigen Sie den folgenden Lückentext. • Was sind Dierentialgleichungen? Der Unterschied zwischen einer normalen Gleichung und einer Dierentialgleichung einer Variable auftaucht. Üblicherweise (DGL) liegt darin, dass in einer DGL die werden DGL nach letzterer aufgelöst. Die Punktnotation ist eine vereinfachte Schreibweiund wird im Rahmen dieser Veranstaltung verwendet. Daher taucht sie in se für unseren Dierentialgleichungen • auf. Wofür sind Dierentialgleichungen gut? Allgemein gesprochen erklärt eine DGL die einer Variable über die . DGL tauchen in verschiedensten Disziplinen auf (in der Medizin, der Biologie, der Klimaforschung, in der Physik (Mechanik, Kinetik) oder eben in der Ökonomie) und helfen uns, viele Zusammenhänge besser zu verstehen. Auch wenn wir uns dessen nicht immer bewusst sind, lassen sich zahlreiche Phänomäne des alltäglichen und auch nicht so alltäglichen Lebens mit Hilfe von DGL beschreiben. So lässt sich beispielsweise die von Entwicklung einer Population durch die Netto- erklären. Ist das Ergebnis positiv, ndet ein - und -rate und statt, ist es negativ, sich die Population. Erkälten wir uns, können wir das der Krankheitserreger in unserem Körper mit Hilfe einer DGL beschreiben. Wollten wir eine simple DGL dazu formulieren, würde sicherlich die positive Wachstums- der Krankheitserreger darin auftauchen, welche multipliziert mit der absoluten der Krankheitserreger zum Zeitpunkt t erklärt, warum die Anzahl der Krankheitserreger ansteigt. In der Realität stellt sich unser Immunsystem diesem Anstieg oder wir verringern den Anstieg durch die Einnahme von Medikamenten. Damit unsere DGL auch die Medikamenteneinnahme berücksichtigt, müssten wir einen weiteren Ausdruck mit www.macro.economics.uni-mainz.de Vorzeichen hinzufügen. 1 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde • Ein Anwendungsbeispiel Nehmen Sie an, der makroökonomische Wissensstand der ktiven Studentin, Mira Bellenbaum, zum Zeitpunkt t entwickelt sich gemäÿ der folgenden Dierentialgleichung, g 6= 0. Ẇ (t) = v + gW (t), (1) Hierbei soll Mira's Makrowissen auf vereinfachende Art und Weise als die Anzahl neuronaler Verbindungseinheiten, 1 veranstaltungen, W (t) (wie Wissen), dargestellt werden. Besucht Mira Lehr- so wird pro Woche eine xe Anzahl v>0 neuer neuronaler Einheiten gebildet, wodurch sich ihr Wissensstand nach jeder Woche um diese konstante Gröÿe erhöht. Basierend auf dem bereits erworbenen Wissen, kann Mira darüber hinaus ihren Wissensstand entweder vergröÿern (bspw. durch geeigneten Ausgleich, Sport, eigenständiges Nacharbeiten, Lesen von ökonomischer Literatur etc.) und damit weitere Verbindungseinheiten schaen oder aber verringern (bspw. durch Schlafmangel, ungesunde Lebensführung, Alkoholkonsum etc.) und damit bereits geschaene Verbindungseinheiten zerstören. Die Dierenz zwischen der Rate, mit welcher neuronale Verbindungseinheiten geschaen und der Rate, mit der neuronale Verbindungseinheiten gelöst werden, sei dass die Rate g g . Beachten Sie, - abhängig von Mira's Lebensführung - sowohl positiv als auch negativ sein kann. Nehmen Sie weiter an, zu Beginn der Veranstaltung, also zum Zeitpunkt Mira's Wissensstand die Gröÿe W (0) = W0 , wobei W0 ≥ 0 t = 0, hat ist. Beantworten Sie die folgenden Fragen. 1) Die Lösung einer DGL ist eine Funktion, die die DGL erfüllt. Gesucht ist also eine Funktion W (t), welche (1) erfüllt. Welche der folgenden Gleichungen ist eine Lösung der DGL (1)? (Hinweis: Leiten Sie dazu die Lösungskandidaten (1.,2.,3.) nach der Zeit ab und setzen Sie anschlieÿend den entsprechenden Lösungskandidaten in dessen Zeitableitung ein. Ergibt sich nun (1), so ist der entsprechende Lösungskandidat eine Lösung von (1).) 1. W (t) = W0 egt − 2. W (t) = 3. W0 + v g v g egt v v W (t) = + W0 egt − g g (2.1) (2.2) (2.3) 2) Nehmen Sie an, zu Beginn der Vorlesung im Wintersemester 2015/16 (also am 22.Oktober 2015) seien aufgrund von vorangegangen Veranstaltungen in Mira's neuronalem Netz bereits 3.995, 5 Verbindungseinheiten vorhanden, die ihr gesamtes ma- kroökonomisches Wissen darstellen. Pro Woche erhöht sich die Anzahl neuronaler Verknüpfungseinheiten jeweils um 1 Als 800. Da Mira sich gerne sportlich betätigt und gewissenhafte Studentin besucht Mira natürlich jede Veranstaltung. www.macro.economics.uni-mainz.de 2 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde die Veranstaltungen regelmäÿig nachbereitet, ergibt sich darüber hinaus als Rate mit der weitere Verknüpfungseinheiten geschaen werden 0, 05. Dennoch lebt Mira nicht völlig abstinent und leidet auch manchmal unter Schlafmangel, wodurch sich neuronale Verknüpfungseinheiten mit der Rate 0, 02 wieder lösen. Nehmen Sie an, Mira's Lebensführung sei zeitkonstant. Wie groÿ ist Mira's Wissenstand (gemessen in neuronalen Verbindungen) am Ende der Veranstaltung im Februar 2016 (Hinweis: Gehen Sie von insgesamt 1. 3.500 2. 98.000 3. −57.000 4. 20.000 5. 12.000.000 6. 45.000 14 Kalenderwochen aus)? 3) Gehen Sie nun davon aus, dass Mira eine begnadete Doole Jump Spielerin ist und sich auch während der Lehrveranstaltungen zum Spielen mit Ihrem Smartphone verleiten lässt, wodurch sich die Anzahl neu geschaener Verbindungseinheiten, Woche auf lediglich v, pro 300 beschränkt. Weiterhin sei Mira leidenschaftliche Biertrinke- rin und lässt keine Feier aus, wodurch sie auch des öfteren unter Schlafmangel leidet. Die Auösungsrate neuronaler Verbindungseinheiten betrage daher 0, 06. Aufgrund ihres schlechten Gewissens treibt sie dennoch regelmäÿig Sport und bereitet die Veranstaltung nach, sodass die Rate mit der zusätzliche Verbindungseinheiten geschaffen werden weiterhin 15.000 0, 05 beträgt. Um die Klausur zu bestehen, seien mindestens neuronale Verbindungseinheiten notwendig. W0 sei wie zuvor 3.995, 5. Aus- gehend von der zugrundeliegenden Dierentialgleichung (1), welche der folgenden Abbildungen beschreibt die Zeitentwicklung von Mira's makroökonomischem Wissensstand korrekt und wird sie die abschlieÿende Klausur bestehen (Hinweis: Gehen Sie erneut von insgesamt 14 Kalenderwochen aus)? 1. www.macro.economics.uni-mainz.de 3 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde 8000 7000 W (t) 6000 5000 4000 3000 Okt Nov Dez t Jan Feb Jan Feb Antwort: Sie wird nicht bestehen. 2. 14000 12000 W (t) 10000 8000 6000 4000 2000 Okt Nov Dez t Antwort: Sie wird nicht bestehen. 3. www.macro.economics.uni-mainz.de 4 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde 4 2 x 10 W (t) 1.5 1 0.5 0 Okt Nov Dez t Jan Feb Dez t Jan Feb Antwort: Sie wird bestehen. 4. 4000 3500 3000 W (t) 2500 2000 1500 1000 500 0 Okt Nov Antwort: Sie wird nicht bestehen. 5. www.macro.economics.uni-mainz.de 5 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde 4 3 x 10 2.5 W (t) 2 1.5 1 0.5 0 Okt Nov Dez t Jan Feb Antwort: Sie wird bestehen. 4) Stellen Sie sich nun vor, Mira verzichtet zusätzlich auf das regelmäÿige Nachbereiten der Lehrveranstaltung, wodurch sich die Rate neu geschaener Verbindungseinheiten auf lediglich 0, 03 verringert (alle übrigen Werte wie in Teilaufgabe 3). Welche der folgenden Abbildungen zeigt das korrekte Phasendiagramm der zugrundeliegenden Dierentialgleichung (1)? (Hinweis: Berechnen Sie den stationären Wert von Mira's Wissensstand, um die Frage besser beantworten zu können) Ẇ (t) = v + gW (t), g 6= 0. (1) 1. 800 600 Ẇ (t) 400 200 0 −200 −400 0 1 www.macro.economics.uni-mainz.de 2 W(t) 3 4 4 x 10 6 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde 2. 500 Ẇ (t) 0 −500 −1000 0 1 2 W(t) 3 2 W(t) 3 4 4 x 10 3. 300 Ẇ (t) 200 100 0 −100 0 1 4 4 x 10 4. www.macro.economics.uni-mainz.de 7 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Gutenberg School of Management and Economics Lehrstuhl für Makroökonomie, Prof. Klaus Wälde 800 600 Ẇ (t) 400 200 0 −200 −4 −2 0 W(t) 2 4 4 x 10 5) Gehen Sie von den Parameterwerten in Tabelle 1 aus. Parameter Wert W0 g v T 3.995, 5 −0, 03 300 14 5.1) Nehmen Sie auÿerdem an, Mira's makroökonomischer Wissensstand bendet sich im stationären Gleichgewicht, basierend auf den Parameterwerten in Tabelle 1. Infolge eines positiven permanenten exogenen Schocks (Mira's Entschluss dauerhaft gesünder zu leben) steigt Welchen neuen stationären Wert, g auf −0, 01. ∗ Wneu , nimmt Mira's makroökonomischer Wis- sensstand nach dem Schock an? (Hinweis: Falls nötig, runden Sie Ihr Ergebnis ab der Nachkommastelle ,5 auf die nächste ganze Zahl auf und ansonsten ab, verwenden Sie keine Leer- oder Tausendertrennzeichen und schreiben Sie ausschlieÿlich Ziern in die Lücke.) ∗ = Wneu 5.2) Infolge eines negativen temporalen exogenen Schocks (Muschelparty) verliert Mira einmalig 4.000 neuronale Verbindungseinheiten. Welchen neuen stationären Wert, ∗ Wneu , nimmt Mira's makroökonomischer Wis- sensstand nach dem Schock an? (Hinweis: Falls nötig, runden Sie Ihr Ergebnis ab der Nachkommastelle ,5 auf die nächste ganze Zahl auf und ansonsten ab, verwenden Sie keine Leer- oder Tausendertrennzeichen und schreiben Sie ausschlieÿlich Ziern in die Lücke.) ∗ Wneu = www.macro.economics.uni-mainz.de 8
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