Blatt 5 - Institut für Mathematik

Lineare Algebra und Geometrie
MA S410
Aufgabenblatt 5
Herbstsemester 2015
Aufgabenblatt 5
40 Punkte
Aufgabe 1 (Kongruenztransformation)
Gegeben ist eine Kongruenztransformation x ↦ x′ = A ⋅ x + a in der Ebene mit
15/17
A=(
8/17
−8/17
1
) und a = ( )
15/17
2
a) Woran erkennt man, dass dies eine Kongruenztransformation darstellt?
1
b) Bestimme alle Fixpunkte dieser Abbildung.
3
c) Hat diese Abbildung Fixgeraden?
1
d) Beschreibe diese Abbildung geometrisch und möglichst präzise.
2
Bemerkung: Aus der FWP1 vom 10. Januar 2015 (leicht abgewandelt).
7
Aufgabe 2 (Schubspiegelung)
a) Gib die orthogonale Matrix A und a ∈ R2 , so dass
x ↦ x′ = A ⋅ x + a
die Schubspiegelung darstellt mit Spiegelgerade g, die P (0∣1) ∈ g nach P ′ (4∣2) ∈ g verschiebt.
5
Hinweis: Gemäss den Betrachtungen auf S.50 unten im Skript entspricht A der Spiegelung an der Geraden
g ′ durch den Ursprung, die parallel ist zu g. Gemäss S.45 im Skript kann A durch einen Winkel φ
parametrisiert werden. Dieser ist das Doppelte des Winkels, den g ′ mit der x–Achse einschliesst.
Die Aufgabe kann aber auch ganz ohne diese Information gelöst werden, indem man z.B. zuerst a berechnet, also den Bildpunkt des Ursprungs.
b) Überprüfe das Resultat in 2 a) durch den Nachweis, dass g eine Fixgerade (ohne Fixpunkte) ist.
2
7
Aufgabe 3 (2. Aufgabe des Napoleon)
Die Behauptung in der erste Aufgabe des Napoleon auf S.49 im Skript wurde bewiesen, indem die Verknüpfung
zweier Drehungen um je −120○ um die Schwerpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit der Drehung um +120○
um den Schwerpunkt des dritten gleichseitigen Dreiecks identifiziert wurde.
Beweise nun die Behauptung in der zweiten Aufgabe des Napoleon ebenso. Identifiziere also die Verknüpfung
zweier Drehungen um je −90○ mit den Mittelpunkten benachbarter Quadrate als Drehzentren einerseits mit der
Verknüpfung zweier Drehungen um je +90○ mit den beiden anderen Quadratmittelpunkten als Drehzentren.
Erzeuge die einzelnen Drehungen durch geeignete Geradenspiegelungen.
Zeige nicht nur, dass die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Quadratmittelpunke senkrecht aufeinander
stehen sondern auch, dass sie gleich lang sind. Verbinde dazu die Quadratmittelpunkte auch mit dem Zentrum
P der resultierenden Punktspiegelung.
5
Aufgabe 4 (Zykeldarstellung)
a) Bezeichnet man die Ecken eines Quadrates fortlaufend im Gegenuhrzeigersinn mit A, B, C und D, so
kann die Geradenspiegelung an der Mittelsenkrechten der Seite AB in Zykeldarstellung mit (AB)(CD)
angegeben werden. Gib Zykeldarstellungen der restlichen Quadratsymmetrien (ausser der Identität). Gib
jeweils an, um welche Symmetrie (Kongruenzabbildung) es sich handelt.
3
b) Erkläre (123) = (13) ○ (12) und (1234) = (14) ○ (13) ○ (12) (Zykelnotation) und dass jede Permutation als
Verknüpfung von Vertauschungen zweier Elemente erzeugt werden kann.
2
c) Zeige, dass das reguläre Tetraeder 24 Symmetrien hat. Benutze 4 b) und geeignete Ebenenspiegelungen.
2
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UZH Institut für Mathematik, Dr. F. Müller
Abgabe 26. November 2015, 8:00 Uhr
Lineare Algebra und Geometrie
MA S410
Aufgabenblatt 5
Herbstsemester 2015
Aufgabe 5 (kleiner Satz von Fermat)
Sei m = ord(a) ≤ n die Ordnung eines Elementes a ∈ G einer Gruppe G mit n Elementen, also die kleinste Zahl
k ≥ 1 mit ak = e.
a) Begründe, dass dann {a, a2 , . . . , am = e} eine Menge von m Elementen aus G ist.
2
b) Sei b ∉ {a, a2 , . . . , am }.
Begründe, dass dann {a, a2 , . . . , am , ab, a2 b, . . . am b = b} eine Menge von 2m Elementen aus G ist.
2
c) Begründe, dass die Ordnung m jedes Elementes einer Gruppe von n Elementen ein Teiler von n ist.
Führe dazu die Argumente aus 5 a) und 5 b) fort.
Begründe, dass somit gilt an = e für jedes Element a einer Gruppe mit n Elementen.
Bemerkung:
Fermat behauptete, dass jede natürliche Zahl n den gleichen p–Rest hat wie np , falls p eine Primzahl ist.
Der obige Satz an = e in 5 c) stellt sich dann als eine kleine Verallgemeinerung heraus.
Mehr dazu in der Vorlesung.
3
7
Aufgabe 6 (Geraden im F23 )
Im Körper F3 = {0, 1, 2} mit drei Elementen (Rest 3 rechnen) gilt z.B. 2 + 2 = 1, da die Summe zweier Zahlen
mit 3er–Rest 2 eine Zahl ergibt mit 3er–Rest 1.
a) Gib die Additions– und Multiplikationstafel für F3 .
2
Von den neun Punkten in F23 = F3 × F3 liegen drei auf der Geraden x + 2y = 1, z.B. der Punkt (2∣1).
Diese Gerade fällt mit der Geraden 2x + y = 2 zusammen.
b) Gib alle Gleichungen aller Geraden mit allen ihren Punkten in F23 in übersichtlicher Darstellung.
5
Gruppiere sie z.B. nach ihrer „Steigung.“
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UZH Institut für Mathematik, Dr. F. Müller
Abgabe 26. November 2015, 8:00 Uhr

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