Algebra I
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 1 (WS 2015/16)1
Abgabetermin: Freitag, 30. Oktober
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a1
Erinnerungen an die Vorlesung:
Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der
Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder
auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen.
Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per Email oder in der
Vorlesung).
Definitionen: Gruppen, Operationen, Normalteiler
Kurze Zusammenfassung: Im Folgenden werden zunächst Definitionen aus der
Vorlesung zusammengestellt. Ergänzt habe ich hier Lemma 6 und Definition 7.
Den Begriff des Normalteilers besprechen wir nächste Woche. Definition 8 steht
hier hauptsächlich wegen Aufgabe 4.
Definition 1. Eine Gruppe (G, ·) besteht aus einer Menge G und einer Abbildung
(“Verknüpfung”, “Produkt”)
G×G→G
(g, h) = g · h
mit folgenden Eigenschaften:
• (Assoziativität)
(g · h) · k = g · (h · k)
(g, h, k ∈ G)
• (Neutrales Element) Es gibt ein Element e ∈ G mit
e·g = g·e = g
(g ∈ G)
• (Inverse Elemente) Für jedes Element g ∈ G gibt es ein Element g −1 ∈ G
mit
g · g −1 = g −1 · g = e
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Fassung vom 23. Oktober
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Eine Gruppe (G, ·) heißt kommutativ (oder abelsch) falls
g·h = h·g
(g, h ∈ G)
Eine Teilmenge U ⊂ G heißt Untergruppe von (G, ·) wenn sie nicht leer ist und
folgende Bedingung (“Abgeschlossenheit”) erfüllt ist:
g · h−1 ∈ U
(g, h ∈ U)
Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Gruppen, der die
Gruppenstruktur erhält (also mit den Verknüpfungen verträglich ist):
Definition 2. Sind H und G Gruppen, so heißt eine Abbildung
f: H →G
ein Gruppenhomomorphismus falls
f (h1 h2 ) = f (h1 )f (h2 )
für h1 , h2 ∈ H.
Definition 3. Es sei G eine Gruppe (mit neutralem Element e) und M eine
Menge. Eine Operation von G auf M ist eine Abbildung
G×M →M
(g, x) 7→ g · x
mit folgenden Eigenschaften
e·x=x
g · (h · x) = (g · h) · x
für g, h ∈ G und x ∈ M.
In der letzten Bedingung (sie sei Assoziativitäts-Bedingung genannt) steht g · h
für das Produkt in der Gruppe, ansonsten steht “·” für die Operation.
Wie üblich läßt man das Operations-Zeichen “·” auch gerne weg und schreibt
(g, x) 7→ gx. Wegen der Assoziativitäts-Bedingung kann man auch Klammern
gefahrlos weglassen: ghx = (gh)x = g(hx).
Manchmal ist praktisch, die zugehörigen Abbildungen extra zu benennen, z. B.:
µ: G × M → M
µ(g, x) = gx
oder (für festes g ∈ G)
µg : M → M
µg (x) = gx
Man sagt auch, die Gruppe G wirkt auf M. Die Wirkung von g ∈ G ist dann
durch die Abbildung µg : M → M gegeben.
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Es gilt
µgh = µg ◦ µh
wegen der Assoziativitäts-Bedingung:
µgh (x) = (gh)x = g(hx) = µg (µh (x)) = (µg ◦ µh )(x)
Insbesondere haben alle Abbildungen µg das Inverse
µ−1
g = µg −1
und sind somit bijektiv.
Definition 4. Für eine Menge M bezeichnet
S(M) = { f : M → M | f ist bijektiv }
die Gruppe der Bijektionen von M nach M. Sie wird auch die Permutationsgruppe
oder symmetrische Gruppe von M genannt.
Ein Spezialfall ist die Gruppe
Sn = S {1, 2, . . . , n}
der Permutationen der Zahlen 1, 2, . . . , n. Sie wird auch als die symmetrische
Gruppe schlechthin verstanden.
Wir hatten gesehen, daß eine G-Operation auf M nichts anderes als ein Gruppenhomomorphismus G → S(M) ist:
Lemma 5. Für eine G-Operation auf M ist die Abbildung
µ : G → S(M)
µ(g) = µg
mit µg (x) = gx ein Gruppenhomomorphismus.
Umgekehrt: Es sei
µ : G → S(M)
ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist
G×M →M
(g, x) 7→ µ(g)(x)
eine G-Operation auf M.
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Hier ist eine einfache Bemerkung:
Lemma 6. Ist
f: H →G
ein Gruppenhomomorphismus, so induziert jede G-Operation eine H-Operation
vermöge
H×M →M
(h, x) 7→ f (h)x
Ist dabei
µ : G → S(M)
µ(g) = µg
der Gruppenhomomorphismus zur Operation von G, so ist
µ ◦ f : H → S(M)
der entsprechende Gruppenhomomorphismus zur induzierten Operation von H.
Ein Spezialfall ist hier die Inklusion einer Untergruppe:
Operiert G auf M und ist U ⊂ G eine Untergruppe von G, so operiert U auch
auf M vermöge
U ×M →M
(g, x) 7→ gx
Diese Operation heißt die Einschränkung der Operation auf U.
Noch eine einfache Definition/Bemerkung:
Definition 7. Ist M ′ ⊂ M eine Teilmenge und gilt
G · M′ ⊂ M′
also
gy ∈ M ′
(g ∈ G, y ∈ M ′ )
so sagt man, daß M ′ eine G-invariante Teilmenge ist.
In diesem Fall ist
G × M′ → M′
(g, y) 7→ gy
ebenfalls eine Operation.
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Definition 8. Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler falls
gxg −1 ∈ N
∀x ∈ N, g ∈ G
Man schreibt dann
N ⊳B
Für Normalteiler gilt immer
gNg −1 = N
Mehr dazu in der nächsten Vorlesung.
∀g ∈ G
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Aufgabe 1. Eine Operation von G auf M heißt transitiv, falls für alle x, y ∈ M
ein g ∈ G existiert mit y = g(x).
Untersuchen Sie in den folgenden Fällen, ob die Gruppe G transitiv auf der Menge
M operiert. Dabei ist K ein Körper. In den Beispielen (a)—(c) operiert G auf M
kanonisch, d. h. A · x = A(x) für A ∈ G, x ∈ M.
(a) G = GL(n, K), M = K n − {0}.
(b) G = SL(n, K), M = K n − {0}.
(c)
G = O(n, R) = { A ∈ GL(n, K) | AAt = 1 }
M = S n−1 = { x ∈ Rn | ||x|| = hx, xi = 1 }
(d) G = GL(n, K), M = { Basen in K n }.
Hier ist g · m = (gv1 , . . . , gvn ) für g ∈ G, m = (v1 , . . . , vn ) ∈ M.
Aufgabe 2. Es sei K ein Körper und G = GL(n, K). Ferner sei
M = { Q ∈ M(n, K) | Qt = Q }
die Menge der symmetrischen Matrizen.
Man zeige, daß durch
A · Q = AQAt
eine G-Operation auf M gegeben ist.
Es sei
M ′ = { Q ∈ GL(n, K) | Qt = Q } ⊂ M
die Teilmenge der invertierbaren symmetrischen Matrizen.
Man zeige, daß M ′ eine G-invariante Teilmenge von M ist.
Für K = C, R untersuche man, ob die Operation auf M ′ transitiv ist.
Hinweis. Für die letzte Frage ist es hilfreich, sich an die Klassifikation quadratischer Formen zu erinnern (Diagonalisierung, Satz von Sylvester).
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Aufgabe 3. Es sei G ein Gruppe und M = G. Man zeige daß folgende Abbildungen Gruppen-Operationen sind:
(a) g · x := λg (x) = gx (Linksmultiplikation)
(b) g · x := ρg (x) = xg −1 (Rechtsmultiplikation)
(c) g · x := γg (x) = (λg ◦ ρg )(x) = gxg −1 (Konjugation)
Man zeige, daß für alle g, h die Abbildungen λg und ρh miteinander kommutieren:
λg ◦ ρh = ρh ◦ λg
und daß
G×G×G →G
(g, h, x) 7→ gxh−1
eine Operation von G × G auf G ist.
Man zeige ferner, daß die Konjugation die Einschränkung dieser Operation auf
die diagonale Untergruppe
∆(G) = { (g, g) | g ∈ G } ⊂ G × G
ist.
Anmerkung. Die Aufgabe ist nach den Vorbereitungen in der Vorlesung und obigem Lemma nicht schwer. Sie soll zur Einübung/Erinnerung einer Reihe von
Standard-Konstruktionen dienen.
Aufgabe 4. Es sei G eine Gruppe. Für g, h ∈ G ist der Kommutator definiert
als
[g, h] = ghg −1h−1
Die Kommutatorgruppe von G ist die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe. Sie wird mit [G, G] bezeichnet.
Man zeige, daß [G, G] Normalteiler von G ist.
Hinweis. Vorsicht: Ein Element von [G, G] ist nicht immer ein Kommutator, sondern ein Produkt der Form
[g1 , h1 ] · · · [gr , hr ]
Anmerkung. Übrigens:
[g, h]−1 = [h, g]
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