Das inverse Problem in der elektrischen Impedanztomographie
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultäten
der Georg-August-Universität zu Göttingen
vorgelegt von
Bernd Hofmann
aus Lübeck
Göttingen 1997
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Das direkte Problem in der schwachen Formulierung
7
1.1 Allgemeine Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Fréchet-Dierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Reziprozität und Sensitivitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
14
4 Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
31
3.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Die Ableitung nach der inneren Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Die Gebietsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Die Injektivität der Gebietsableitung . . . . . . . . .
4.1.1 Notationen und Beweisskizze . . . . . . . . . .
4.1.2 Beweis der Injektivität . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Literaturübersicht . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ein negatives Resultat für ein vereinfachtes Problem .
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5.1 Datenaufnahme und Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Beschreibung der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Ein Tikhonov-regularisiertes Newton-Verfahren . . . .
5.2.2 Ein Verfahren mit `1-Strafterm . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Ein Verfahren für stückweise konstante Leitfähigkeiten
5.3 Resultate der numerischen Verfahren . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Experimente mit synthetischen Daten . . . . . . . . . .
5.3.2 Rekonstruktionen aus Phantomdaten . . . . . . . . . .
5.3.3 Rekonstruktionen aus Thoraxdaten . . . . . . . . . . .
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5 Numerische Lösung des inversen Problems
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32
32
36
47
50
57
57
59
60
62
64
69
69
76
78
1 Einleitung
E6 E5
In der elektrischen Impedanztomographie
E4
E7
wird die elektrische Leitfähigkeit eines ObjekE8
E3
tes R3 zur Erzeugung von Querschnittsbildern herangezogen. Dazu werden entlang E9
E2
der Schnittkurve einer Ebene mit dem Rand
@ eine Anzahl von Elektroden angebracht. E10
E1
Anschlieÿend wird durch einige der Elektro
den ein Strom I eingespeist und die übrigen E11
E16
Elektroden zur Spannungsmessung verwenE12
E
det. Nachdem mehrere solcher Messungen bei
E13 E14 15
verschiedenen Einspeisungen durchgeführt wurden, will man aus den Meÿdaten
die Leitfähigkeit im Querschnitt rekonstruieren.
Im mathematischen Modell wird der Zusammenhang zwischen , , I und
dem elektrischen Potential u durch das folgende Randwertproblem für eine elliptische partielle Dierentialgleichung hergestellt.
(1.1a)
div(ru) = 0 in ;
@u
(1.1b)
@ = I auf @ :
Es ist oensichtlich, daÿ das Potential u durch diese Gleichungen höchstens bis
auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist. Um u eindeutig festzulegen, wird in
dieser Arbeit durchgehend die Normierung
(1.1c)
Z
@
u ds = 0
verwendet. In (1.1) haben wir die Bezeichnungen div für die Divergenz, r für
den Gradienten und @=@ für die Ableitung nach der äuÿeren Einheitsnormalen
verwendet. Um das Problem theoretisch und numerisch zu vereinfachen, wird
häug der zweidimensionale Fall R2 betrachtet.
Die Abbildung (), die dem Einspeisestrom I das Randpotential uj@
zuordnet, wird als Neumann-Dirichlet-Abbildung bezeichnet. Nimmt man idealisierend
an, daÿ man das Potential u für jedes I kontinuierlich entlang des Randes messen kann, so besteht das Problem der Leitfähigkeitsbestimmung gerade darin, die
Abbildung 7! () zu invertieren. Dieses Problem bezeichnet man als das inverse Leitfähigkeitsproblem, die Bestimmung der Lösung u von (1.1) bei gegebem
, und I hingegen als das direkte Leitfähigkeitsproblem. Das inverse Problem
ist nichtlinear und im Sinne von Hadamard inkorrekt gestellt. Der Beweis der
Eindeutigkeit des inversen Problems, das heiÿt der Injektivität von , ist im Rn,
n > 3 von Sylvester und Uhlman [31] und im zweidimensionalen Fall von Nachmann [25] erbracht worden. In der Einleitung des letztgenannten Textes ndet
Einleitung
2
man eine umfassende Übersicht über die Veröentlichungen, die sich mit diesem
Thema beschäftigt haben.
Bei den Anwendungen in der medizinischen Diagnostik entstehen die unterschiedlichen Leitfähigkeiten in durch die unterschiedlichen Gewebeeigenschaften der Körperorgane. Sind Dj , j = 1; : : : ; n, D j \ D k = ; die von den
Organen eingenommenen Gebiete, so darf man annehmen, daÿ sich die Leitfähigkeit in durch eine Funktion der Form
(
j > 0; j = 0; : : : ; n;
(x) = 0; x 2 n (D1 [ [ Dn );
j ; x 2 Dj ;
mit konstanten Werten 0; : : : ; n approximieren läÿt. Aus dem Randwertproblem (1.1) für eine Dierentialgleichung mit variablen Koezienten wird dann
ein Transmsissionsproblem für den Laplace-Operator. Die Aufgabe der Bildrekonstruktion ist die Bestimmung der Gebiete D1; : : : ; Dn und der Leitfähigkeiten
0 ; : : : ; n .
Ist die Neumann-Dirichlet-Abbildung vollständig bekannt, so folgt die Injektivität der Einschränkung von auf die stückweise konstanten Funktionen aus
dem Eindeutigkeitsergebnis von Kohn und Vogelius [22]. Einen zweiten Beweis
von Isakov ndet man in [18]. Diese Ergebnisse sind keine direkte Folgerung aus
den oben genannten Arbeiten von Sylvester, Uhlmann und Nachmann, weil eine
stückweise konstante Leitfähigkeit nicht den dort geforderten Glattheitsbedingungen genügt.
Bei Einschränkung auf stückweise konstante Leitfähigkeiten darf man erwarten, daÿ sich Eindeutigkeitsaussagen für das inverse Problem auch bei nur partiell
bekannter Neumann-Dirichlet-Abbildung beweisen lassen. Die Frage der Eindeutigkeit, wenn das Randpotential nur für eine einzige Einspeisung gegeben ist, ist in
mehreren Arbeiten untersucht worden. In Abschnitt 4.1.3 geben wir einen Überblick über die vorhandenen Resultate. Anhand einfacher Gegenbeispiele kann man
sich überlegen, daÿ es im allgemeinen nicht möglich ist, sowohl die Leitfähigkeiten
0; : : : ; n als auch die Gebiete D1; : : : ; Dn aus der Messung bei einer einzigen
Einspeisung zu rekonstruieren. Dies ist selbst dann nicht möglich, wenn bekannt
ist, daÿ nur ein zusammenhängendes Gebiet D vorhanden ist. Man setzt
daher die Leitfähigkeitswerte als bekannt voraus. Es bedeutet dann keine weitere
Einschränkung anzunehmen, daÿ die Hintergrundleitfähigkeit durch 0 = 1 gegeben ist. Beschränkt man sich bei den Untersuchungen auf ein einziges Gebiet
D , so erhält man das folgende inverse Problem.
Bei bekannter innerer Leitfähigkeit a > 0 und Einspeisung I 6= 0 bestimme
das Gebiet D aus den Dirichlet-Randwerten uj@
des Potentials u mit
(1.2a)
(1.2b)
?
div (
nD + aD)ru = 0
@u = I
@
in ;
auf @ :
3
Hierbei bezeichnet M , M Rn die charakteristische Funktion von M . Wie
bereits oben erwähnt, läÿt sich das zugehörige direkte Problem als Transmissionsproblem für den Laplace-Operator interpretieren (siehe Satz 3.1 und Satz 3.2).
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, Newton-Verfahren für die Leitfähigkeitsrekonstruktion theoretisch und numerisch zu untersuchen. Da uns ein Konvergenzbeweis für die vorgestellten Verfahren nicht gelingen wird, beschränken wir uns
im theoretischen Teil darauf, grundlegende Fragen für die Anwendbarkeit von
Newton-Verfahren zu klären.
In Abschnitt 2 beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit für die schwache
Formulierung von (1.1). Dabei verwenden wir eine Standardmethode, die im wesentlichen die Poincarésche Ungleichung und den Satz von Lax-Milgram benutzt.
Die Neumann-Dirichlet-Abbildung läÿt sich jetzt als Abbildung zwischen geeigneten Sobolev-Räumen auf dem Rand @ denieren. Aus der auf diesem Weg gewonnen Darstellung für die Lösung u des direkten Problems (1.1) ist die FréchetDierenzierbarkeit von in Abhängigkeit von der Leitfähigkeit leicht abzuleiten. Auÿerdem erhält man eine Charakterisierung des Dierentials als NeumannDirichlet-Abbildung eines Leitfähigkeitsproblems, bei dem auf der rechten Seite
von (1.1a) eine Inhomogenität vorgegeben ist.
In den folgenden Abschnitten behandeln wir das direkte und das inverse Problem, falls die Leitfähigkeit von der Form
= nD + aD; a > 0
ist. Dabei wird D als oen, glatt berandet und zusammenhängend mit D vorausgesetzt. Die Erweiterungen der erzielten Ergebnisse auf den Fall, daÿ in mehre Gebiete D1; : : : ; Dn enthalten sind, werden sich jeweils in einfacher Weise
ergeben.
Wir zeigen zunächst wieder Existenz und Eindeutigkeit des direkten Problems.
Hier führt ein klassischer Ansatz von u als Einzelschichtpotential über die Ränder @ und @D mit Hilfe der Fredholm-Theorie zum Ziel. Dies ermöglicht es uns,
von jetzt an () durch Einschränkung auf stetige Einspeisungen I als Abbildung
zwischen Räumen stetiger Funktionen auf @ aufzufassen. Danach beweisen wir
die Dierenzierbarkeit von in Abhängigkeit von a und D. Ähnlich wie für die
schwache Formulierung leiten wir auch wieder Charakterisierungen der Dierentiale her. Die Resultate für die Gebietsableitung folgen aus den Arbeiten [27], [28]
von Potthast. Wir werden in Abschnitt 3.3 lediglich die bei der Charakterisierung
auftretenden Randbedingungen auf eine Form bringen, die von Hettlich [16] aus
der schwachen Formulierung für den allgemeineren Fall der Helmholtzgleichung
hergeleitet worden ist.
Danach beweisen wir unser theoretisches Hauptergebnis. Wir zeigen, daÿ im
zweidimensionalen Fall für I 6= 0, a > 0, a 6= 1, D die Gebietsableitung
des Randpotentials (
nD + aD; I ) nicht verschwindet. Das bedeutet, daÿ die
bezüglich des Gebietes linearisierte Version des inversen Problems (1.2) eindeutig ist. Hierfür müssen wir noch voraussetzen, daÿ das Gebiet D, bei dem das
4
Einleitung
Dierential betrachtet wird, einfach zusammenhängend ist. Ein entsprechende
Aussage für nicht einfach zusammenhängendes D läÿt sich durch Gegenbeispielen widerlegen.
Im Abschnitt 4.2 werden wir ein Ergebnis herleiten, das die Vermutung nahelegt, daÿ eine globale Eindeutigkeitsaussage für das inverse Problem (1.2) nicht
richtig ist. Dies geschieht, indem wir das Potential u in (1.2) bezüglich der Leitfähigkeit a bei a = 1 linearisieren. Es wird gezeigt, daÿ das so entstandene Hilfsproblem im R2 für gewisse Einspeisungen äquivalent zum inversen Quellproblem
ist, welches darin besteht, ein Gebiet aus der Kenntnis seines Newton-Potentials
auf einer Kurve auÿerhalb des Gebietes zu bestimmen. Es ist bekannt (siehe
[19]), daÿ für dieses Problem eine globale Eindeutigkeitsaussage in der Klasse der
zusammenhängenden und einfach zusammenhängenden Gebiete nicht richtig ist.
Im letzten Abschnitt behandeln wir die numerische Lösung des inversen Problems. Ein wesentliches Merkmal eines Algorithmus zur Leitfähigkeitsrekonstruktion ist der verwendete Löser für das direkte Problem. Die Diskretisierung der
schwachen Formulierung aus Abschnitt 2 führt auf die Finite-Elemente-Methode.
Setzt man als stückweise konstant voraus, so sind die Randintegralgleichungen
aus Abschnitt 3.1 zu diskretisieren. Wir werden Rekonstruktionsmethoden für die
beiden sich hieraus ergebenden Klassen beschreiben und diese anhand verschiedener Datensätze vergleichen. Neben synthetisch erzeugten Daten verwenden wir
hierfür auch real gemessene Datensätze, die aus der medizinischen Anwendung
der Impedanztomographie stammen.
Ich bedanke mich bei Prof. Dr. R. Kreÿ für die Betreuung dieser Arbeit und bei
Prof. Dr. R. Schaback für die Übernahme des Korreferates. Ferner gilt mein Dank
Dr. E. Gersing, der mein Interesse an der Impedanztomographie geweckt hat, und
den Mitarbeitern der Abteilung für anaestesiologische Forschung des Göttinger
Klinikums für die Überlassung der in dieser Arbeit verwendeten Meÿdaten. Bei
der Deutschen Forschungsgemeinschaft möchte ich mich für die nanzielle Unterstützung bedanken.
1.1 Allgemeine Bezeichnungen
Wir fassen in diesem Abschnitt die Bezeichnungen zusammen, die im Text ohne
weitere Erwähnung benutzt werden.
Mit N, R, C bezeichnen wir die Mengen der natürlichen, reellen beziehungsweise komplexen Zahlen. Für z 2 C seien Re z und Im z der Real- beziehungsweise
p
Imaginärteil von z und z die zu z konjugierte Zahl Re z ? i Im z, i := ?1. Der
Absolutbetrag von z wird mit jzj bezeichnet.
Das Standardskalarprodukt und die euklidische Norm in Rn wird als h; i
beziehungsweise jj geschrieben. Ist A eine reelle Matrix, so bezeichnen wir die
transponierte Matrix mit AT .
Ist M Rn, so sei M : Rn ! R die charakteristische Funktion von M und
und @M
1M : M ! R die Funktion mit 1M (x) = 1 für alle x 2 M . Mit M
bezeichnen wir den Abschluÿ beziehungsweise den Rand von M .
Allgemeine Bezeichnungen
5
Es sei M jetzt eine berandete oder unberandete Untermannigfaltigkeit des Rn.
Bei der folgenden Einführung der Notationen für die Standardfunktionenräume
auf M seien zunächst alle Funktionen reellwertig.
Es sei C (M ) der Raum der stetigen Funktionen auf M und C (M ) C (M ),
0 < < 1 bezeichne den Unterraum der -hölderstetigen Funktionen, das heiÿt
der beschränkten, stetigen Funktionen f mit
jf jC (M ) := sup n f (jxx)??yfj(y) < 1:
x;y2R
x6=y
Es sei C k (M ), k 2 N der Raum der k-fach stetig dierenzierbaren Funktionen
auf M und C k;(M ) C k(M ) der Unterraum der Funktionen, für die die k-ten
partiellen Ableitungen -hölderstetig auf M sind. Für eine stetige Funktion f sei
Trg(f ) der Träger von f .
), 1 6 p < 1 der Raum der meÿbaren Funktionen auf M mit
R jEsf jpseidx L<p (1Mund
L1(M ) der Raum der fast überall beschränkten Funktionen
M
auf M . Wie üblich betrachten wir die Räume Lp(M ) als Restklassenräume modulo
der fast überall verschwindenden Funktionen.
Es sei H 1(M ) L2(M ) der Teilraum der Funktionen, deren erste partielle
Ableitungen im distributionellen Sinne existieren und in L2(M ) liegen. Der zu
H 1(M ) duale Raum wird mit H ?1(M ) bezeichnet. Die Denition der Räume
H 1=2(M ), H ?1=2(M ) und die grundlegenden Eigenschaften der Sobolev-Räume
ndet man in [32] oder [33].
Die entsprechenden Räume komplexwertiger Funktionen bezeichnen wir durch
einen unteren Index C. Wir schreiben also zum Beispiel C (M )C für den Raum
der komlexwertigen, stetigen Funktionen auf M .
Ist M Rn oen, glatt berandet und M kompakt, so bezeichnen wir mit
jM j das n-dimensionale Volumen von M und mit j@M j das (n ? 1)-dimensionale
Volumen des Randes von M .
Sind X , Y Banach-Räume, so sei Hom(X; Y ) der Raum der stetigen, linearen Abbildungen von X nach Y . Es sei End(X ) := Hom(X; X ) und Aut(X ) End(X ) die Teilmenge der stetig invertierbaren Elemente. Für A 2 Hom(X; Y )
bezeichnen Ker(A) und Bild(A) den Kern beziehungsweise das Bild von A. Mit
X bezeichnen wir den topologische Dualraum Hom(X; R).
2 Das direkte Problem in der schwachen Formulierung
Will man Newton-Methoden zur Invertierung der Abbildung
7! ()
benutzen, so benötigt man Verfahren zur Berechnung von und des Dierentials
von . Zur numerischen Lösung des direkten Problems wird später die FiniteElemente-Methode benutzt, die eine Diskretisierung der schwachen Formulierung
von (1.1) darstellt. Wir beweisen daher in diesem Abschnitt zunächst die Existenz
und Eindeutigkeit für das direkte Problem in der schwachen Formulierung. Dann
zeigen wir die Dierenzierbarkeit von in Abhängigkeit von der Leitfähigkeit.
Anschlieÿend leiten wir noch zwei Formeln her. Die erste ist eine Reziprozitätsformel für das Randwertproblem (1.1), die zweite ist in der Literatur als Sensitivitätssatz bekannt. Die letztgenannte Formel liefert eine eziente Methode zur
numerischen Berechnung des Dierentials von .
2.1 Existenz und Eindeutigkeit
Es sei Rn oen, beschränkt, zusammenhängend und C 1-glatt berandet. Für
den Beweis der Fréchet-Dierenzierbarkeit des durch (1.1) denierten Potentials
in Abhängigkeit von der Leitfähigkeit benötigen wir eine geeignete Darstellung
dieses Potentials. Hierfür werden wir zunächst Existenz und Eindeutigkeit des
direkten Problems zeigen.
Es seien
R
H?1(
) := u 2 H 1(
) : @
u ds = 0 ;
n 1
o
und L1
(
)
:=
g
2
L
(
)
:
inf
ess
g
(
x
)
>
0
:
>0
x2
R
Die Konvention, die Unterräume der durch @
f ds = 0 normierten Funktionen durch ein ? als unteren Index zu kennzeichnen, werden wir auch für andere
Funktionenräume verwenden.
Für u 2 C 2(
), ; v 2 C 1(
) erhält man aus dem Gauÿschen Satz
Z
Z
Z @u
div(ru)v dx + hru; rvi dx = @ v ds:
(2.1)
@
Dies gibt Anlaÿ für die folgende schwache Formulierung von (1.1). Für I 2
H ?1=2(@ ), 2 L1>0(
) nde u 2 H?1(
) mit
(2.2)
8v 2 H 1(
) :
Z
hru; rvi dx =
Z
@
I v ds:
Das direkte Problem in der schwachen Formulierung
8
Wir lassen in (1.1) auf der rechten Seite einen Quellterm q zu, ersetzen also
(1.1a) durch
div(ru) = q
(1.1a')
in ;
und erhalten so das schwache Problem: Zu q 2 H ?1 (
), I , wie oben nde
u 2 H?1(
) mit
8v 2 H 1(
) :
(2.2')
Z
hru; rvi dx =
Z
@
I v ds ?
Z
q v dx:
Auf H 1(
) denieren wir ein semi-denites Produkt und eine Halbnorm durch
Z
(u; v)H 1(
) := hru; rvi dx; jujH 1(
) := (u; u)1H=12(
); u; v 2 H 1(
):
Dann sind das Skalarprodukt und die zugehörige Norm auf H 1(
) durch
hu; viH 1(
) = hu; viL2(
) + (u; v)H 1(
); kuk2H 1(
) = kuk2L2(
) + juj2H 1(
)
gegeben.
jjH 1(
) eine zu kkH 1(
) äquivalente Norm. InsbesonLemma?2.1. Auf H?1(
) ist
1
dere ist H? (
); (; )H 1(
) ein Hilbertraum.
Bew. Es sei
R
H\1(
) := u 2 H 1(
) : u dx = 0 :
Das orthogonale Komplement von H\1(
) sind die konstanten Funktionen. Es ist
daher
H\1(
)? \ H?1(
) = f0g:
H\1(
), H?1(
) sind abgeschlossene Hyperebenen in H 1(
). Aus einer einfachen
Argumentation folgt jetzt, daÿ die Einschränkung P\jH?1(
) der orthogonalen Projektion
P\ (
) : H 1(
) ! H\1(
); u 7! u ? hu; 'iH 1(
) ';
' := 1
=j
j1=2
stetig invertierbar ist. Mit der Poincaréschen Ungleichung (siehe [8])
(2.3)
kuk2H 1(
)
Z 2 Z 2 6 C1 u dx + jruj dx ;
u 2 H 1(
)
folgt jetzt für jedes u 2 H?1(
)
kukH 1(
) 6 C2kP\(u)kH 1(
) 6 C1C2jP\(u)jH 1(
) = C1C2jujH 1(
):
Existenz und Eindeutigkeit
9
Satz 2.2. Das Problem (2.2') ist genau dann lösbar, wenn
Z
(2.4)
@
I ds =
Z
q dx:
gilt. Ist (2.4) erfüllt, so ist die Lösung eindeutig und hängt stetig von I und q ab.
Bew.
des homogenen Problems I R= 0, q = 0, so folgt aus (2.2')
R jrIstuj2udxeine= 0.Lösung
Folglich ist u konstant, und aus @
u ds = 0 folgt dann sogar
u = 0. Das Problem besitzt daher höchstens eine Lösung.
Die Notwendigkeit der Bedingung (2.4) folgt, indem man in der Gleichung
(2.2') v = 1
setzt.
Es seien jetzt I und q mit (2.4) gegeben. Wir denieren auf H 1(
) die stetige
Linearform
I;q(v) :=
Z
@
I v ds ?
Z
q v dx;
v 2 H 1(
):
Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert ein u0 2 H?1(
) mit I;q jH?1(
) =
(u0; )H 1(
), das heiÿt
(2.5)
8v 2 H?1(
) :
Z
hru0; rvi dx =
Z
@
I v ds ?
Z
q v:
Die konstanten Funktionen liegen wegen (2.4) im Kern von I;q , und daran erkennt man, daÿ (2.5) sogar für alle v 2 H 1(
) gilt. Aus (2.2) wird klar, daÿ u0
die schwache Lösung von 4u0 = q und @u0=@ = I ist. Wir setzen L4(I; q) := u0.
Oensichtlich ist dann
R
L4 : (I; q) 2 H ?1=2(@ ) H ?1 (
) : @
I ds =
(I; q) 7! L4 (I; q)
linear und stetig.
Die Bilinearform
(2.6)
b (u; v) :=
Z
hru; rvi dx;
R q dx ! H 1(
);
?
u; v 2 H 1(
)
ist auf H?1(
) stetig
b (u; v) 6 kk1(u; v)H 1(
);
u; v 2 H?1(
)
und koerzitiv
b (u; u) > k1=k?11 (u; u)H 1(
);
u 2 H?1(
):
10
Das direkte Problem in der schwachen Formulierung
Wieder aus dem dem Rieszschen Darstellungssatz folgt die Existenz eines eindeutigen S () 2 End(H?1(
)) mit
(2.7)
b (u; v) = (S ()u; v)H 1(
);
u; v 2 H?1(
):
Nach dem Satz von Lax-Milgram besitzt S () eine stetige Inverse und wir haben
für v 2 H?1(
)
?
b S ()?1 L4 (I; q); v = (L4 (I; q); v)H 1(
)
= I;q (v):
Auch hier prüft man wieder ohne Schwierigkeiten nach, daÿ diese Gleichung sogar
für alle v 2 H 1(
) gilt. Somit ist S ()?1 L4 (I; q) eine Lösung von (2.2').
Wir können jetzt für ein quellfreies Gebiet, das heiÿt für q = 0, den Lösungsoperator
(2.8)
?
L : L1>0(
) ! Hom H??1=2(@ ); H?1(
) ;
L (; I ) := S ()?1 L4(I; 0);
und die Neumann-Dirichlet-Abbildung
(2.9)
?
?1=2
1=2
: L1
>0 (
) ! Hom H? (@ ); H? (@ ) ;
(; I ) := R@
L (; I );
denieren, dabei ist R@
die Spurabbildung
R@
: H 1(
) ! H 1=2(@ ); u 7! uj@
:
2.2 Dierenzierbarkeit in Abhängigkeit von der Leitfähigkeit in der schwachen Formulierung
Die Dierenzierbarkeit der Neumann-Dirichlet-Abbildung von (2.2) in Abhängigkeit von läÿt sich nun leicht aus (2.8) ableiten.
Satz 2.3. Die Abbildung
?
L : L1>0 (
) ! Hom H??1=2(@ ); H?1(
) ;
7! L (; );
ist unendlich oft Fréchet-dierenzierbar. Ist 0 2 L1>0 (
), 2 L1 (
), so ist die
Ableitung von L bei 0 in Richtung gegeben durch
(2.10)
(DL (0; ))() = ?S (0)?1 S ( ) S (0)?1 L (1
; ):
Fréchet-Dierenzierbarkeit
11
Bew. Aus der Denition (2.7) von S () ersieht man leicht, daÿ S linear und
stetig von abhängt. Benutzt man jetzt den bekannten Satz, daÿ das Bilden des
Inversen
Inv : Aut(X ) ! Aut(X ); A 7! A?1;
X ein Banach-Raum;
Fréchet-dierenzierbar ist mit Dierential
(D Inv(A0))(A) = ?A?0 1 A A?0 1; A0 2 Aut(X ); A 2 End(X );
so folgt die Behauptung aus (2.8).
Die Dierenzierbarkeit der Neumann-Dirichlet-Abbildung (2.9) erhält man
jetzt sofort aus der Stetigkeit der Spurabbildung.
Satz 2.4. Es sei I 2 H??1=2(@ ), 0 2 L1>0 (
), 2 L1(
) und u0 := L (0; I )
das Potential zur Leitfähigkeit 0 und Einspeisung I . Dann ist
u := dtd L (0 + t; I )
t=0
die schwache Lösung von
(2.11a)
div(0ru) = ? div(ru0)
@u0
(2.11b)
=
?
0 @u
@
Z @
(2.11c)
u ds = 0:
in ;
auf @ ;
@
Bew. Für u haben wir die Darstellung
u = ?S (0)?1 S () S (0)?1 L (1
; I )
= ?S (0)?1 S ()(u0):
Nach der Denition (2.7) von S gilt für alle v 2 H?1(
)
Z
(2.12)
Z
0hru; rvi dx = ? hr(S ()(u0)); rvi dx
=?
Z
hru0; rvi dx:
Wiederum ist unmittelbar klar, daÿ diese Gleichung sogar für alle v 2 H 1(
) gilt.
Nach (2.1) ist div( ru0) 2 H ?1(
) = H 1(
) gegeben durch
Z
Z @u0
Z
div(ru0) v dx = @ v ds ? hru0; rvi dx:
@
An (2.2') liest man jetzt ab, daÿ (2.12) die schwache Form von (2.11) ist.
Das direkte Problem in der schwachen Formulierung
12
2.3 Reziprozität und Sensitivitätssatz
Aus den in den vorherigen Abschnitten gewonnen Darstellung für die Lösung
von (1.1) und ihre Ableitung nach lassen sich zwei wichtige Formeln herleiten.
Wir werden ihre Bedeutung kurz erläutern.
Man sieht an der schwachen Formulierung (2.2) leicht, daÿ () selbstadjungiert bezüglich der dualen Paarung zwischen H??1=2(@ ) und H?1=2(@ ) ist, das
heiÿt für I; J 2 H??1=2(@ ); 2 L1>0(
) ist
Z
(2.13)
@
(() I ) J ds =
Z
@
I (() J ) ds:
Für die Ableitung gilt die folgende Formel. Es seien 0 2 L1>0 (
), 2
L1 (
), I; J 2 H??1=2(@ ) und uI := L
(0; I ), uJ := L (0; J ). Ferner sei
?
?
1
u := ?S (0) S ()uI , so daÿ u j@
= (D (0)() (I ). Dann folgt aus (2.2)
und (2.12)
(2.14)
Z
@
u J ds =
Z
0hru ; ruJ i dx = ?
Z
hruI ; ruJ i dx:
Diese Formel wurde erstmals in [15] hergeleitet. In diesem Text ndet man allerdings keinen mathematisch exakten Beweis für die Dierenzierbarkeit des Potentials.
E4 E3
In der Praxis erfolgt die Stromeinspeisung und
Spannungsmessung über Elektroden. Die letzten beiden Formeln besitzen in diesem Zusammenhang beM
E2 sondere Interpretationen. Am Rand @ seien zwei
E1 Elektrodenpaare angebracht. E1 , E2 und E3 , E4 seien
die von den Elektroden eingenommen Gebiete auf @ .
Wir nehmen an, daÿ die Oberächen aller Elektroden
dieselbe Gröÿe jE j haben. Man darf idealisierend annehmen, daÿ die Stromstärke
über die Oberächen der einspeisenden Elektroden konstant ist, und die an einem
Elektrodenpaar gemessene Spannung die Dierenz der Mittelwerte des Potentials über die beiden Elektrodenoberächen ist. Wird zwischen E1, E2 ein Strom
eingespeist und zwischen E3, E4 Spannung gemessen, so heiÿt dies in Formeln
IE1;E2 = jIE0j (E1 ? E2 ) (I0 2 R, I0 > 0 die Gesamtstromstärke);
Z
Z
1
()(IE1;E2 ) ds ? ()(IE1;E2 ) ds
VE3;E4 () = jE j
E3
E4
Z
= I1
()(IE1;E2 ) IE3;E4 ds:
0 @
Reziprozität und Sensitivitätssatz
13
Die Gleichung (2.13) besagt also, daÿ wir dieselbe Spannung erhalten, wenn wir
zwischen E3, E4 einspeisen und zwischen E1 und E2 messen. Daher bezeichnet
man die Formel (2.13) in der Literatur als Reziprozitätsgesetz.
Ist M eine abgeschlossenes Menge in , so erhält man nach demselben
Prinzip für die in Richtung M abgeleitete Spannung aus (2.14)
d V ( + ) = ? Z hru ; ru i dx;
M
E1 ;E2
E3;E4
d =0 E3 ;E4
M
hierbei sind uE1;E2 := L (; IE1;E2 ) und uE3;E4 := L (; IE3;E4 ). Diskretisiert man
die Gleichung (1.1) durch die Finite-Elemente-Methode und ist die Leitfähigkeit
auf jedem Element konstant, so läÿt sich diese Formel zur ezienten Berechnung
der Ableitung der Spannungen nach den Leitfähigkeitswerten verwenden.
3 Das direkte Problem bei stückweise konstanter
Leitfähigkeit
In diesem Abschnitt betrachten wir das direkte Problem, wenn die Leitfähigkeit
stückweise konstant ist. Um die Darstellung zu vereinfachen, werden wir stets annehmen, daÿ in nur ein einziges brechendes Hindernis vorhanden ist. Eventuelle
Erweiterungen der erzielten Ergebnisse auf mehrere brechende Gebiete werden jeweils gesondert erwähnt.
Wir beginnen wiederum mit dem Beweis der Existenz und Eindeutigkeit für
das direkte Problem. Eine stückweise konstante Leitfähigkeit liegt in L1>0(
), so
daÿ Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung aus Satz 2.2 folgt. Es
wird gezeigt, daÿ die schwache Formulierung (2.2) äquivalent zu einem Transmissionsproblem für den Laplace-Operator ist. Dadurch erhalten wir
?
; (C?(@ ) C?(@ )
und die Stetigkeit von
(; )jC?(@
) : C?(@ ) ! C?(@ ):
Durch die Beschränkung auf die stückweise konstanten Leitfähigkeiten läÿt sich
die Neumann-Dirichlet-Abbildung als Funktion von dem brechenden Gebiet und
seiner Leitfähigkeit auassen. Wir beweisen die Dierenzierbarkeit von in Abhängigkeit von diesen beiden Variablen. Im Gegensatz zu dem? Dierenzierbar-
keitsergebnis des vorherigen Abschnitts legen wir hierbei Hom C?(@ ); C?(@ )
als Bildraum von zugrunde.
3.1 Existenz und Eindeutigkeit des direkten Problems
Wir benötigen einige Bezeichnungen. Ist G Rn oen, C 2-glatt berandet, so sei
R (G) der Raum der reelwertigen Funktionen in C 2(G) \ C (G ) für die
@u (x) := lim (x); ru(x ? h (x)); x 2 @G;
h!0
@
h>0
gleichmäÿig auf @G konvergiert. Dabei ist die nach auÿen weisende Einheitsnormale. Es ist leicht zu sehen, daÿ für u; v 2 R (G) und beschränktes G die beiden
Greenschen Sätze gültig sind. Es sei
(x; y) :=
(? 1 ln jx ? yj;
2
1
2?n
(n?2)!n jx ? y j ;
n=2
;
n>3
x; y 2 Rn; x 6= y;
(!n die Oberäche der n-dimensionalen Einheitskugel) die Fundamentallösung
des Laplace-Operators. Ist G beschränkt, so denieren wir für ' 2 C (@G) die
Existenz und Eindeutigkeit
15
Randintegraloperatoren
(S')(x) := 2
(K')(x) = 2
Z
x 2 Rn ;
(x; y)'(y) ds(y);
Z @G @ (x; y)'(y) ds(y);
@G @y
Z @
(K ')(x) := 2 @ (x; y)'(y) ds(y);
@G x
x 2 Rn ;
x 2 @G:
Die Notationen @x, @y sollen hierbei andeuten, daÿ die äuÿere Normalenableitung bezüglich der ersten beziehungsweise zweiten Variablen genommen wird.
Operieren wir mit mehreren Gebieten, so benuten wir die Bezeichnungen SG , KG ,
und KG um Uneindeutigkeiten zu vermeiden. Die grundlegenden Eigenschaften
dieser Integraloperatoren ndet man zum Beispiel in [7]. Für stetige Dichte ' ist
(S')jG 2 R (G) und (S')jRnnG 2 R (Rn n G ).
Es seien ; D Rn oen, beschränkt, zusammenhängend, C 2-glatt berandet
mit D . Ist u eine Funktion auf für die stetige Randwerte oder Ableitungen
auf @D nur einseitig existieren, so benutzen wir die Bezeichnungen u+ und u? für
uj
nD beziehungsweise ujD um festzulegen, von welcher Seite die Werte genommen
werden.
Man entnimmt der Gleichung (1.1), daÿ sich das Potential um den Faktor 1=c ändert, wenn die Leitfähigkeit mit c 2 R, c > 0 multipliziert wird. Es bedeutet
=a D
daher im weiteren Text keine wesentliche EinschränD
kung, wenn wir annehmen, daÿ die Hintergrundleit
fähigkeit auf 1 normiert ist. Wir betrachten jetzt den
=1
Fall, daÿ die Leitfähigkeit in (1.1) durch
(3.1)
= nD + a D;
a 2 R; a > 0;
gegeben ist.
Es wird sich zeigen, daÿ (2.2) sich zu einem Transmissionsproblem für den
Laplace-Operator umformulieren läÿt. Wir erweitern die Notation von R , indem
wir R (
; D) als Raum aller Funktionen u 2 C 2(
n@D)\C (
) mit u+ 2 R (
nD ),
u? 2 R (D) denieren.
Sind u; v 2 R (
; D) und ist u auf n @D harmonisch, so folgt aus dem
1. Greenschen Satz
Z
(3.2)
hru; rvi dx =
Z
nD
Z
hru; rvi dx + a hru; rvi dx
Z n @u+D @u? o
Z @u
? a @ v ds:
= @ v ds ?
@D @
@
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
16
Durch Vergleich mit der schwachen Formulierung (2.2)
Finde u 2 H?1(
)
mit
8v 2 H 1(
) :
Z
hru; rvi dx =
Z
@
I v ds
der Dierentialgleichung (1.1) erhält man jetzt @u+=@ ? a@u?=@ = 0 als geeignete Randbedingung auf @D. Bei dem Beweis der Existenz und Eindeutigkeit
des direkten Problems bereitet es keine zusätzlichen Schwierigkeiten, in dieser
Gleichung eine Inhomogenität zuzulassen.
Wir betrachten das folgende Transmissionsproblem. Zu I 2 C (@ ), 2
C (@D) nde ein Potential u mit
(3.3a)
u 2 R (
; D);
(3.3b)
4u = 0
in n @D;
@u+ ? a @u? = (3.3c)
auf @D;
@
@
@u = I
(3.3d)
auf @ ;
@
Z
(3.3e)
@
u ds = 0:
Ist u eine Lösung von (3.3), so folgt aus (3.2) für v 2 R (
; D)
Z
(3.4)
nD
Z
hru; rvi dx + a hru; rvi dx =
Z
D
@
I v ds ?
Z
@D
v ds:
Satz 3.1. Es sei u eine Lösung von (3.3) für a > 0, I 2 C (@ ) und = 0 auf
@D. Ist dann 2 L1>0 (
) deniert durch (3.1), so ist u = L (; I ), das heiÿt u
ist die Lösung von (2.2)
Bew. ImRwesentlichen ist u 2 H 1 (
) nachzuweisen. Setzt man in (3.4) v = u,
so folgt jruj2 dx < 1. Die bis auf die Nullmenge @D denierten partiellen
Ableitungen von u liegen daher in L2(
). Für v 2 C01(
) folgt durch partielle
Integration
Z
vru dx =
Z
nD
=?
=?
Z
vru dx +
@D
Z
Z
vu+ ds ?
D
Z
vru dx
nD
urv dx +
Z
@D
vu? ds ?
Z
D
urv dx
urv dx;
wegen u+ = u? auf @D. Die Funktionen @u=@xi, i = 1; : : : ; n stimmen daher
mit den im distributiven Sinne verallgemeinerten partiellen Ableitungen von u
überein. Eine Lösung von (3.3) liegt daher in H 1(
). Weil R (
; D) dicht in H 1(
)
liegt, folgt die Behauptung aus (3.4).
Existenz und Eindeutigkeit
17
Satz 3.2. Das Problem (3.3) ist genau dann lösbar, wenn
Z
(3.5)
gilt. Die Lösungsabbildung
@
I ds =
Z
@D
ds
(I; ) 2 C (@ ) C (@D) : R I ds = R ds ! C (
); (I; ) 7! u
@D
@
ist linear und stetig.
Bew. Ist u eine Lösung des homogenen Problems I = 0, = 0, so folgt ru = 0
aus (3.4). Wegen (3.3e) ist dann sogar u = 0. Es existiert also höchstens eine
Lösung. Die Notwendigkeit von (3.5) folgt ebenfalls aus (3.4), indem man v = 1
setzt.
Wir machen für u einen Ansatz als Einzelschichtpotential
(3.6)
u = S
+ SD D ;
2 C (@ ); D 2 C (@D):
Dann erfüllt u (3.3a) und (3.3b). Aus den Sprungbeziehungen der Einzelschichtpotentiale erhält man für die Normalenableitungen von u
@u = + K + @ S
auf @ ;
@ @
D D
@u+ = ? + @ S + K auf @D;
D @ D D
@
? + @ S + K auf @D:
?
a @u
=
a
D @ D D
@
Daher erfüllt u die Gleichungen (3.3c), (3.3d), falls die Dichten das Gleichungssystem
K @ SD I =
IdC(@
)C(@D) + c @ S @cK
(3.7)
? 1+ a ;
D
D
@D ?1 deniert ist. Versieht man C (@ ) und
auf dem Rand @ [@D lösen, wobei c := aa+1
C (@D) mit den von L2(@ ) beziehungsweise L2(@D) induzierten Bilinearformen,
so sind die zu @@D S
und @@
SD adjungierten Operatoren durch
(3.8)
K@D!@
('D ) := (KD 'D )j@
; 'D 2 C (@D);
(3.9)
und K@
!@D ('
) := (K
'
)j@D;
'
2 C (@ );
gegeben. Setzt man
K cK
K @ SD @D
!
@
@
und Ka = K
(3.10) Ka := c @ S cK cKD ;
@ !@D
D
@D 18
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
so sind Ka, Ka auf C (@ [ @D) ' C (@ ) C (@D) kompakte und bezüglich der
von L2(@ [ @D) induzierten Bilinearform zueinander adjungierte Operatoren.
Wir behaupten
?
?
Ker IdC(@
)C(@D) + Ka = Ker IdC(@
) + K
f0g:
(3.11)
Ist nämlich ( ; D)T 2 Ker(Id + Ka), so ist das Potential v := S
+ SD D
nach Konstruktion eine Lösung des homogenen Problems (3.3a)(3.3d). Nach
dem bereits bewiesenen Eindeutigkeitsteil ist daher v in konstant. Aus den
Sprungbeziehungen folgt D = 0, und aus der ersten Zeile der Gleichung (3.7)
liest man jetzt 2 Ker(Id + K
) ab. Ist andererseits 2 Ker(Id + K
), so
folgt aus den Sprungbeziehungen, daÿ S
eine Lösung des homogenen inneren
Neumann-Problems zum Laplace-Operators in ist. Also ist S
konstant und
@
T = 0. Somit ist (3.11) gezeigt.
@D S
= 0, (Id + Ka )( ; 0)
Der Kern von IdC(@
) + K
ist eindimensional (siehe [23], Theorem 6.16) und
aus (3.11) und dem 1. Fredholmschen Satz folgt daher
?
?
(3.12)
dim Ker(Id + Ka) = dim Ker(Id + Ka) = 1:
Ist G Rn ein oenes, beschränktes Gebiet mit C 2-glattem Rand, so gilt für das
Doppelschichtpotential mit konstanter Dichte (siehe [23], Example 6.14)
8
>
< ?2; x 2 G;
(KG 1@G)(x) = > ?1; x 2 @G;
: 0; x 2 Rn n G:
Jetzt ist
(3.13)
Ker(Id + Ka) = R (1@
; (a + 1) 1@D )T
leicht nachzurechnen. Aus dem Fredholmschen Alternativsatz folgt, daÿ (3.7)
genau dann
lösbar ist,
wenn (I; ?=(a + 1))T 2 Ker(Id + Ka)? gilt, und das
R
R
bedeutet @
I ds = @D ds. Ist ( ; D )T eine Lösung von (3.7) und normieren
wir das zugehörige Potential u = S
+ SD D gemäÿ (3.3e) durch Addition
einer Konstanten, so erhalten wir eine Lösung von (3.3).
Um schlieÿlich die Stetigkeit zu beweisen, ist Ker(Id+ Ka) 6? Ker(Id+ Ka) zu
zeigen. Aus der Riesz-Fredholm-Theorie folgt dann nämlich, daÿ die Einschränkung von Id + Ka auf Bild(Id + Ka) = Ker(Id + Ka)? stetig invertierbar ist.
Wegen (3.11) und (3.13) ist dies gleichbedeutend mit Ker(Id + K
) 6? 1@
. Für
einen Beweis dieser Aussage verweisen wir wieder auf [23], Theorem 6.16.
Der in (2.8) denierte Lösungsoperator läÿt sich daher als Abbildung auassen, die der inneren Leitfähigkeit a und dem Gebiet D den Operator
?
?
L nD + aD ; 2 Hom C?(@ ); C?(
)
(3.14)
Existenz und Eindeutigkeit
19
zuordnet.
?
Das Potential u = L nD + aD ; I läÿt sich in das ungebrochene Potential
uI := L (1
; I ) und das gebrochene Potential ub := u ? uI aufspalten. Das Potential ub erfüllt dann (3.3) mit I = 0, = (a ? 1)@uI =@ . Dies läÿt sich benutzen,
um Potentiale für Dipoleinspeisungen oder Einspeisungen in endlich vielen Punkten zu denieren, für die uI in analytisch ist, aber die Neumanndaten nicht in
H ?1=2(@ ) liegen.
Die Beweise der Sätze 3.1, 3.2 übertragen sich ohne Probleme auf den Fall,
daÿ endlich viele brechende Gebiete D1; : : : ; Dn mit @Dj \ @Dk = ;, D j , j; k = 1; : : : ; n enthält. Die Transmissionsbedingung (3.3c) ist entsprechend
anzupassen, falls nicht einfach zusammenhängende Dj zugelassen sind. Ist die
Leitfähigkeit zum Beispiel von der Form
= nD1 + a1D 1nD2 + a2D2 ; D 2 D1 ; a1; a2 > 0;
so ist die Transmissionsbedingung (3.3c) auf @D2 in Satz 3.1 durch
@ (ujD1nD 2 )
a1 @
? a2 @ (u@jD2 ) = 0
zu ersetzen.
20
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
3.2 Die Ableitung nach der inneren Leitfähigkeit
In diesem Abschnitt beweisen wir, daÿ bei fest gewähltem D die Abbildung
?
(3.15)
(0; 1) ! Hom C?(@ ); C?(
) ; a 7! L (
nD + aD; );
dierenzierbar ist, und charakterisieren die Ableitung als Lösungsoperator eines
Problems mit inhomogener Transmissionsbedingung auf @D. Daraus folgt natürlich unmittelbar die Dierenzierbarkeit der Neumann-Dirichlet-Abbildung in
Abhängigkeit von a.
Legt man statt den stetigen Funktionen die Sobolev-Räume zugrunde, betrachtet also
?
(0; 1) ! Hom H??1=2(@ ); H?1(
) ; a 7! L (
nD + aD; );
so ist die entsprechende Aussage lediglich ein Spezialfall von Satz 2.3.
Satz 3.3. Die Abbildung (3.15) ist dierenzierbar. Ist I 2 C?(@ ) und u :=
L (
nD + aD; I ), so ist das abgeleitete Potential
u0 :=
die Lösung von
(3.16a)
(3.16b)
(3.16c)
(3.16d)
(3.16e)
d
d =a L (
nD + D ; I )
u0 2 R (
; D);
4u0 = 0
@u0+ ? a @u0? = @u?
@
@
@
0
@u = 0
@
Z
@
in n @D;
auf @D;
auf @ ;
u0 ds = 0:
Bew. In Beweis von Satz 3.2 hatten wir gesehen, daÿ u bis auf die Normierung
gegeben ist durch S
+ SD D mit 2 C (@ ), D 2 C (@D), ( ; D)T 2
Bild(Id + Ka) die Lösung von
(3.17)
(Id + Ka)( ; D)T = (I; 0)T :
Aus der Denition (3.10) ist sofort ersichtlich, daÿ Ka dierenzierbar von a abhängt. Also hängen auch die Dichten , D dierenzierbar von a ab. Die Differenzierbarkeit folgt jetzt aus der Stetigkeit der Einzelschichtpotentialoperatoren S
; SD : @ ; @D ! R2. Bezeichnen wir mit ( 0 ; D0 )T die Ableitung von
( ; D )T bei a, so lösen diese das System
(Id + Ka)( 0 ; D0 )T = ?( @@ =a K)( ; D )T
Die Ableitung nach der inneren Leitfähigkeit
(3.18)
= ?(0; c0 @@D S
21
T
+ c0 KD D ) ;
mit c0 = (1+2a)2 . Wir betrachten zunächst den Fall a 6= 1. Dann ist c 6= 0 und aus
(3.17) erhalten auf @D
@
1
@D S
+ KD D = ? c D :
Dies eingesetzt in (3.18) ergibt
(3.19)
a 6= 1:
(Id + Ka)( 0 ; D0 )T = (0; cc0 D )T ;
Deniert man
u~ := S
+ SD D ;
so ist nach dem Beweis von Satz 3.2
Z
1
u = u~ ? j@ j u~ ds:
@
Das abgeleitete Potential ist daher bis auf eine Konstante durch S
0 + SD D0
gegeben. Durch Vergleich von (3.19) mit (3.7) erhalten wir für u0 die Randwerte
@u0 = 0
auf @ ;
@
@u0+ @u0?
2
(3.20)
@ ? a @ = ? a?1 D auf @D:
Benutzt man die Sprungbeziehungen und (3.3c), so ergibt sich auf @D
@u? ? @u? = (a ? 1) @u? :
+ @u?
?2 D = @u
?
=
a
@ @
@ @
@
Das zeigt die Behauptung für a 6= 1.
Ist a = 1 und folglich c = 0, so ist D = 0 aus (3.7) unmittelbar abzulesen.
Für die Normalableitungen auf @D erhalten wir aus (3.18) mit c0 = 1=2 die Werte
@u0+ @u0? @
@uI :
?
=
S
=
@
@ @
@
Hier ist uI = L (1
; I ) das Potential bei homogener Leitfähigkeit zur Einspeisung
I . Das ist die Behauptung für a = 1.
Deniert man für ein festes I 2 C?(@ )
u0D := dd =1 L (
nD + D ; I ); uD;a := L (
nD + aD; I );
so hat man für a nahe bei 1 die Approximation
(3.21)
uD;a uI + (a ? 1)u0D :
22
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Das Potential u0D besitzt eine besonders einfache Darstellung durch die Greensche
Funktion G des Laplace-Operators zum Neumann-Problem in . Diese Funktion
ist durch die folgenden Eigenschaften deniert.
(3.22a)
(3.22b)
(3.22c)
Z
@
4xG(x; y) = ?(x ? y);
@G (x; y) = ? 1 ;
@
j@ j
x
G(x; y) ds(x) = 0;
y 2 ;
y 2 ; x 2 @ ;
y 2 :
In Gleichung (3.22a) bezeichnet die Diracsche Delta-Distribution. Es existiert
eine in analytische Funktion H mit G(x; y) = (x; y) + H (x; y). Insbesondere genügt ein Einzelschichtpotential mit Kern G über @D den gleichen
Sprungbeziehungen wie das Einzelschichtpotential mit Kern . Die Gleichung
(3.16c) für u0D auf @D lautet
@ (u0D )+ ? @ (u0D)? = @uI ; u = L (1 ; I ):
(3.16c')
I
@
@
@
Aus den Sprungbeziehungen und (3.22) liest man jetzt für u0 die Darstellung
Z
I
0
uD (x) := ? G(x; y) @u
(3.23)
(y) ds(y); x 2 :
@
@D
ab. Mit dem Greenschen Satz folgt daraus
(3.24)
u0D (x) = ?
Z
D
hry G(x; y); ruI (y)i dy;
x 2 n D:
Diese letzte Gleichung wird auch durch die Formel (2.14) von Geselowitz mit
@G (x; y); u (x) = G(x; y) und = J (x) = @
J
D
x
nahegelegt. Wegen @G=@x(; y) 2= H ?1=2(@ ), y 2 @ ist die direkte Herleitung
aus (2.14) allerdings nicht gerechtfertigt.
Ist die Greensche Funktion auf bekannt, so kann man Gleichung (3.23)
benutzen, um u0D zu berechnen, ohne daÿ dabei ein Gleichungssytem auf dem
Rand zu lösen ist. Daher ist u0D wesentlich leichter numerisch zu berechnen als
uD;a. Bei der Betrachtung des inversen Problems werden sich auch theoretische
Vereinfachung ergeben, wenn wir uD;a durch uI +(a?1)u0D ersetzen. Wir denieren
daher ein Symbol für den Lösungsoperator von (3.16).
(3.25)
?
Lh(D; I ) := dd =1 L nD + D ; I ;
I 2 C?(@ ):
Die Gebietsableitung
3.3 Die Gebietsableitung
23
Ähnlich wie im vorherigen Abschnitt die Ableitung des Potentials L (
nD +
aD; I ), I 2 C?(@ ) nach a als Lösung eines Randwertproblems charakterisiert
wurde, soll dies jetzt mit der Ableitung nach dem Gebiet D geschehen.
Wir werden später benötigen, daÿ sich die zweiten Ableitungen der Lösung des
direkten Problems von beiden Seiten stetig auf den Rand @D fortsetzen lassen,
und müssen hierfür etwas stärkere Glattheit von @D verlangen. Es sei D oen, zusammenhängend mit D und C 2;-glattem Rand, 0 < < 1. Für
I 2 C?(@ ), u := L (
nD + aD ; I ) sind dann die zweiten partiellen Ableitungen
von u -hölderstetig auf @D forsetzbar. Dies folgt leicht aus (3.7) (mit = 0)
und den Abbildungseigenschaften
?
?
SD C 1;(@D) jD C 2;(D ); SD C 1;(@D) jRn nD C 2;(Rn n D)
?
KD C 1;(@D) C 1;(@D);
der beteiligten Integraloperatoren (siehe [21]).
Um Fréchet-Dierenzierbarkeit in Abhängigkeit von dem Gebiet zu denieren,
benötigt man lokal eine lineare Struktur auf der Menge der C 2;-glatten Gebiete.
Hierzu wird der Raum der Vektorfelder auf @D verwendet. Es sei C2;(@D) der
Banachraum aller C 2;-glatten Vektorfelder auf @D. Für Z aus einer hinreichend
kleinen Umgebung U der Null in C2;(@D) ist
@D + Z := fx + Z (x) : x 2 @Dg
wieder der C 2;-glatte Rand eines zusammenhängenden Gebietes DZ in . Für
a > 0 erhält man dadurch eine Abbildung
C2;(@D) U ! Hom(C? (@ ); C?(@ ));
(3.26)
Z 7! (
nDZ + aDZ ; ):
Mit Fréchet-Dierenzierbarkeit des Randpotentials auf @ bezüglich des Gebietes
D ist die Dierenzierbarkeit dieser Abbildung gemeint. Die Abbildung Z 7! DZ
wird also ähnlich verwendet, wie die Karten einer Mannigfaltigkeit. Untersucht
man die Gebietsableitung auf Injektivität, so hat man zu beachten, daÿ diese
Karten nicht injektiv sind. Das Vektorfeld Z läÿt sich zu einem C 2;-glatten
Vektorfeld auf Rn mit kompaktem Träger fortsetzen. Durch Integration dieses
Vektorfeldes erhält man einen Fluÿ (x; t) mit
d
(x; 0) = x und
dt t=0 (x; t) = Z (x):
Die Dieomorphismen t(x) := (x; t) transformieren die Randkurve also ebenfalls für t ! 0 in Richtung des Vektorfeldes Z . Man kann sich überlegen, daÿ
man daher die Ableitung in Richtung Z auch als
d ( dt t=0 nt(D) + at(D); I )
24
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
berechnen kann. Ist Z ein tangentiales Feld, so weiÿ man aus der Analysis, daÿ
die t den Rand @D auf sich selbst abbilden. Dies stützt die Auassung, daÿ die
tangentialen Vektorfelder im Kern des Dierentials Z 7! DZ liegen, auch wenn
dieses Dierential nicht wirklich deniert ist, da wir auf der Menge der Gebiete
keine Mannigfaltigkeitsstruktur haben. Mit der Injektivität des Dierentials ist
daher die Injektivität im Raum C2;(@D) modulo der tangentialen Felder gemeint.
Das heiÿt gerade, daÿ die Ableitung nicht verschwindet, wenn die Normalenkomponente hZ; i nicht verschwindet.
Im vorherigen Abschnitt ist erwähnt worden, daÿ man ein Dierenzierbarkeitsergebnis nach der inneren Leitfähigkeit a herleiten kann, indem man zunächst die
Abbildung
(3.27)
(0; 1) U ! L1>0(
); (a; Z ) 7! nDZ + aDZ
betrachtet, und dann Satz 2.3 anwendet. Ein derartiges Vorgehen ist für die
Ableitung nach dem Gebiet nicht möglich. Für DZ 6= D ist nämlich
( + a ) ? ( + a ) = ja ? 1j:
DZ L1 (
)
D
nDZ
nD
Für a 6= 1 ist daher im allgemeinen in L1 (
)
lim ( Z !0 nDZ
+ aDZ ) 6= nD + aD:
Die Abbildung in (3.27) ist also in der zweiten Variablen nicht stetig und dann
erst recht nicht dierenzierbar. Wie man ein Dierenzierbarkeitsergebnis und die
Charakterisierung des nach D abgeleiteten Potentials aus der schwachen Formulierung von (1.1) herleiten kann, ndet man in [16] für den allgemeineren Fall der
Helmholtzgleichung. In dieser Arbeit wollen wir die in Abschnitt 3.1 dargestellte
Randintegralmethode für ein Dierenzierbarkeitsergebnis benutzen.
Wir formulieren jetzt das Dierenzierbarkeitsergebnis und die Charakterisierung, wie sie aus den Arbeiten [27], [28] von R. Potthast folgen.
Satz 3.4. Die in (3.26) denierte Abbildung ist Fréchet-dierenzierbar. Ist Z 2
C2(@D), I 2 C?(@ ), a > 0 und u := L (
nD + D ; I ), so ist
d (
(3.28)
d =0 nDZ + aDZ )(I ) = u j@
;
dabei ist u die eindeutige Lösung des folgenden Transmissionsproblems
(3.29a)
u? 2 C 1;(D ); u+ 2 C 1;(
n D);
(3.29b)
4u = 0
in n @D;
(3.29c)
u+ ? u? = ?hru+ ? ru?; Z i
auf @D;
Die Gebietsableitung
(3.29d)
(3.29e)
(3.29f)
@u+ ? a @u? = ?
(r2u ? ar2u )(Z ); i
+
?
@
@
D
@ E
? ru+ ? aru?; @Z
@u = 0
Z @
u ds = 0:
25
auf @D;
auf @ ;
@
In (3.29d) bezeichnet r2u = (@ 2u=@xi@xj )i;j=1;:::;n die Hessische Matrix und
@=@Z die Ableitung d=dj=0 DZ des äuÿeren Normalenfeldes.
Die Randwerte des abgeleiteten Potentials erhält man auf heuristischem Weg,
indem man die Gleichungen u+ ? u? = 0 und (3.3c), (3.3d) so ableitet, als
wäre die Dierenzierbarkeit der Cauchy-Randdaten von u sichergestellt. Für
eine mathematisch exakte Verizierung legt man die in Abschnitt 3.1 für u =
L (
nD + aD; I ), I 2 C?(@ ) bewiesene Darstellung
Z
1
u = u~ ? j@ j u~ dx mit u~ = S
+ SD D
@
(3.30)
und (Id + Ka)( ; D)T = (I; 0)T
zugrunde. Prinzipiell geht man genauso vor wie beim Beweis von Satz 3.3. Zunächst zeigt man die Dierenzierbarkeit von Ka als Operator auf C (@ ) C (@D)
in Abhängigkeit von D. Weil der Bildraum selbst von D abhängt, ist zunächst
ein geeigneter Dierenzierbarkeitsbegri einzuführen. Wir verweisen hier lediglich auf die bereits auf Seite 24 zitierten Arbeiten von Potthast. Man erhält somit
wieder die Dierenzierbarkeit der Dichten , D . Dann benutzt man, daÿ SD als
Operator von C (@D) nach C 1(Rn n @D) dierenzierbar von D abhängt. Hierbei
wird C 1(Rn n @D) als Fréchet-Raum mit den Halbnormen
@ jjf kf kK;m := sup @x1 @xn ; K Rn n @D kompakt; m 2 N;
x2K
n
1
jj6m
= (1; : : : ; n ) 2 Nn; jj = 1 + + n
aufgefaÿt. Da der äuÿere Rand @ nicht variiert, läÿt sich jetzt aus der Stetigkeit
von S
: C (@ ) ! Rn das Dierenzierbarkeitsergebnis ableiten.
Bezeichnet man die Ableitungen nach dem Gebiet D mit @=@Z , so erhält man
durch Dierenzieren von (3.30)
@ u~ = (0; @SD )?(Id + K )?1(I; 0)T a
@Z
@Z
(3.31)
a
@
K
?
1
T
?
1
? (S
; SD ) (Id + Ka) @Z (Id + Ka) (I; 0) :
26
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Mit den von Potthast zur Charakterisierung von Gebietsableitungen bei Streuproblemen zur Helmholtzgleichung benutzten Techniken kann man aus diesem
Ausdruck die Randgleichungen (3.29c)(3.29e) für das abgeleitete Potential nachweisen. Da eine exakte Herleitung erheblichen Aufwand erfordern würde, wollen
wir hierauf nicht weiter eingehen.
Das durch (3.29) denierte Randwertproblem fällt nicht mehr in die in Satz 3.2
abgehandelte Klasse von Randwertaufgaben, weil in (3.29c) eine Unstetigkeit des
Potentials auf @D zugelassen wird. Um nachzuweisen, daÿ u durch (3.29) eindeutig bestimmt ist, ist zu zeigen, daÿ jede Lösung des Problems bei verschwindenden
rechten Seiten in (3.29c), (3.29d) trivial ist. Auf dieses homogene Problem läÿt
sich der Eindeutigkeitsteil von Satz (3.2) anwenden.
Wir wollen die rechten Seiten in (3.29c), (3.29d) in eine Form bringen, wie sie
von Hettlich [16] aus der schwachen Formulierung hergeleitet worden ist. Später
soll (3.29) benutzt werden, um zu zeigen, daÿ für I 6= 0, a 6= 1 die Ableitung u
nur dann verschwindet, wenn Z tangential zu @D liegt. Da uns dies nur im R2 gelingen wird, beschränken wir die Darstellung auch hier auf den zweidimensionalen
Fall. Eine ähnliche Rechnung läÿt sich auch in höheren Dimensionen durchführen, sie ist aber durch die komplizierteren dierentialgeometrischen Verhältnisse
schwieriger zu überblicken.
Es seien ; D R2 wie oben und = (1; 2)T : [0; L] ! @D eine positiv orientierte Parametrisierung von @D nach der Bogenlänge. Die Ableitungen
nach dem Kurvenparameter bezeichnen wir wie üblich durch Punkte oberhalb
der Funktionssymbole. Es sei ( (t)) := D ( (t)) := _ (t) die Einheitstangente an
@D. Für k = 1; 2 benutzen wir die Symbole
@ kf := dk f ( (t));
k (@D);
f
2
C
k
k
@
dt k
@ g := dk g( (t) + s (t)); g 2 C k (D ) oder g 2 C k (
n D);
@ k dsk s=0
für die Ableitungen nach dem Bogenparameter und der äuÿeren Normalen. Die
Bezeichnung @f=@ anstatt f_ benutzen wir immer dann, wenn f auch auÿerhalb von @D deniert ist. Für einen Vektor v = (v1; v2)T 2 R2 sei v? der zu v
senkrechte Vektor (v2; ?v1)T . Dann ist (v?)? = ?v und = ?.
Wegen u+ = u? auf @D stimmen die tangentialen Komponenten von ru+
und ru? auf @D überein. Durch die Zerlegung Z = hZ; i + hZ; i und die
Transmissionbedingung (3.3c) erhält man für die Gleichung (3.29c)
@u+ @u? a ? 1
+
u+ ? u? = ?hZ; i @ ? @ = ? a hZ; i @u
(3.32)
@ :
Zur Umformung der rechten Seite in (3.29d) berechnen wir zunächst den Ausdruck @=@Z . Wir schreiben im folgenden kurz Z (t) und Z_ (t) für Z ( (t)) und die
Ableitung von Z nach der Bogenlänge im Punkt (t). Die Randkurve @D + Z
Die Gebietsableitung
27
von DZ , 2 R hinreichend klein, hat die Parametrisierung t 7! (t) + Z (t).
Die äuÿere Normale auf @D + Z ist durch DZ = (D + Z_ ? )=jD + Z_ ? j
gegeben. Ableiten nach bei = 0 ergibt
@D = Z_ ? ? hZ_ ? ; i = hZ_ ? ; i = ?hZ;_ i :
(3.33)
D D
D D
D D
@Z
Die rechte Seite in (3.29d) ist auch für Z 2 C1;(@D) deniert und hängt linear
von Z ab. Wir dürfen daher Z in den Normal- und den Tangentialteil aufspalten
und die Teile getrennt abhandeln. Weil wir im folgenden nur noch und des
Gebietes D betrachten, lassen wir den Index D an diesen Vektorfeldern weg.
Wir prüfen nach, daÿ die rechte Seite für ein tangentiales Z verschwinden. Es
sei Z = z mit z 2 C 1;(@D). Wegen _ =  ? ist _ = h;_ i = ? . Hier
ist := ?h;_ i die Krümmung der Kurve. Das Vorzeichen von ist so gewählt,
daÿ ein positiv orientierter Kreis positive Krümmung hat. Aus Z_ = z_ + z _ =
z_ ? z und (3.33) folgt
@ = z ; falls Z = z :
(3.33')
@Z Durch Ausdierenzieren des Ausdrucks
@ 2u ( (t)) = d @u ( (t)) _ (t) ? @u ( (t)) _ (t)
2
1
@@
dt @x1
@x2
erhält man mit _ = @ 2u = hr2u ( ); i + @u :
@@
@
Daraus folgt
@u+ @u? @
2
2
h(r u+ ? ar u?)(Z ); i = z @ @ ? a @
@u+ @u? ? z @ ? a @
= (a ? 1)z @u
@ ;
wegen u+ = u? auf @D und der Transmissionsbedingung (3.3c). Zusammen mit
(3.33') erhält man für die rechte Seite von (3.29d)
@u+ ? a @u? = (1 ? a)z @u ? z @u+ + az @u? = 0:
@
@
@ @
@
Jetzt sei Z = z ein normales Feld. Wegen Z_ = z_ + z _ = z_ + z folgt
aus (3.33)
@ = ?z_ ; falls Z = z :
(3.33)
@Z
28
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Durch mehrfaches Anwenden der Kettenregel erhält man
@ 2u = @u _ 2 + @ 2u _ 2 + 2 @ 2u _ _ + hru ;  i;
@ 2 @x21 1 @x22 2 @x1@x2 1 2
@ 2u = @u _ 2 + @ 2u _ 2 ? 2 @ 2u _ _ = hr2u ( ); i:
@ 2 @x21 2 @x22 1 @x1@x2 1 2
Da die zweiten Ableitungen von u inklusive des Randes @D stetig sind, gilt
4u = 0 auch auf @D. Mit j_ j = 1 und  = ? folgt
@ 2u + @ 2u = 4u ? @u = ? @u :
@ 2 @ 2
@
@
Mit (3.33) kann man die rechte Seite von (3.29d) jetzt umformen zu
@u+ ? a @u? = ?z @ 2u+ + az @ 2u? ? (a ? 1)z_ @u
@
@
@ 2
@ 2
@
2
@
u
@u
@u
+
?
= (1 ? a)z @ 2 + z @ ? a @
? (a ? 1)z_ @u
@ :
Der Ausdruck in der groÿen Klammer auf der rechten Seite verschwindet wegen
der Transmissionsbedingung (3.3c). Zusammen mit (3.32) ist damit die folgende
Aussage bewiesen.
Notiz. Die Gleichungen (3.29c) und (3.29d) in Satz 3.4 lassen sich durch
+
u+ ? u? = ? a ?a 1 z @u
(3.29c')
auf @D;
@
@u+ ? a @u? = (1 ? a) @ z @u auf @D
(3.29d')
@
@
@ @
ersetzen. Hierbei ist z = hZ; i die Normalenkomponente des Vektorfeldes Z .
Satz 3.5. Es sei D oen, zusammenhängend, einfach zusammenhängend
und C 2;-glatt berandet mit D . Es sei Z 2 C2;(@D), a 6= 1, I 2 C?(@ ) und
u die durch (3.29) denierte Gebietsableitung bei @D in Richtung Z . Ist dann
u = 0 auf einer oenen Teilmenge von @ , so gilt für alle in D harmonischen
v 2 C 1(D )
Z
z hru+; rvi ds = 0:
u
@D
Bew. Es sei = 0 auf einer oenen Teilmenge von @ . Aus (3.29e) und dem
Holmgrenschen Eindeutigkeitssatz folgt u+ = 0. Ist v wie in der Behauptung, so
ergibt sich mit dem 2. Greenschen Satz und (3.29c'), (3.29d')
Z
Z @v Z @u
? v ds
0 = (u 4 v ? v 4 u ) dx = u? @ ds ?
@
@D
D
@D
Die Gebietsableitung
29
Z @u+ @v a ? 1 Z @ @u a
?
1
=
a @D z @ @ ds ? a @D @ z @ v ds
Z
a
?
1
z hru+; rvi ds:
= a
@D
In der gleichen Weise kann man auch zur Berechnung der Gebietsableitung
des in (3.25) denierten Hilfsproblems verfahren. Ist u0 := Lh(D; I ) und (u0) die
Gebietsableitung des Potentials and der Stelle D in Richtung Z , so erhält man
anstelle von (3.29c'), (3.29d')
I
(u0)+ ? (u0)? = z @u
(3.29c'h)
@ ;
@ (u0)+ ? @ (u0)? = ? @ z @uI :
(3.29d'h)
@
@
@ @
Hier ist wieder uI := L (1
; I ). Die entsprechende Version von Satz 3.5 lautet:
Satz 3.6. Es seien D, I , Z wie in Satz 3.5. Verschwindet
d
0
(u ) := d Lh(DZ ; I )j@
:
=0
auf einer oenen Teilmenge von @ , so gilt für alle in D harmonischen v 2 C 1(D )
Z
@D
z hruI ; rvi = 0:
Für I 2 C?(@ ), a > 0, Z 2 C2;(@D) denieren wir
d
(3.35a)
L (D; a; I ; Z ) := d L (
nDZ + aDZ ; I )
=0
d L (D ; I ):
und Lh(D; I ; Z ) := d
(3.35b)
=0 h Z
Die beiden Ableitungen auf der rechten Seite sind nach der Beweisskizze von
Satz 3.4 als Elemente von C 1(
n @D) aufzufassen. Diese lassen sich auf die
Ränder @ und @D fortsetzen und lösen dann die Transmissionprobleme (3.29)
beziehungsweise (3.29c'h), (3.29d'h).
Die letzten beiden Sätze sind auch im Rn , n > 3 richtig. Im wesentlichen sind
höherdimensionale Versionen der Gleichungen (3.29d'), (3.29d'h) zu beweisen. So
hat zum Beispiel die Gleichung (3.29d') die Gestalt
@u+ ? a @u = (1 ? a) Div (z Grad u):
@D @D
@
@
Hier bezeichnen Div@D , Grad@D die Oberächendivergenz beziehungsweise den
Oberächengradienten auf @D. Satz 3.5 läÿt sich mit dieser Formel genau wie
oben beweisen.
30
Das direkte Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Schlieÿlich betrachten wir den Fall mehrerer brechender Gebiete. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daÿ zwei zusammenhängende und einfach zusammenhängende Gebiete D1, D2 mit
D j ; j = 1; 2; @D1 \ @D2 = ;
enthält. Gilt D1 \ D2 = ;, so übertragen sich die Aussagen dieses Abschnitts ohne Schwierigkeiten. Die Gebietsbleitungen kann man dann getrennt voneinander
abhandeln. Die Randbedingungen (3.29c'), (3.29d') erhält man für die Ableitung
nach beiden Gebieten D1, D2 , und entsprechend gelten dann auch die Sätz 3.5,
3.6 für beide Gebiete.
Anders liegen die Dinge, wenn D2 D1 zugelassen ist. Die Charakterisierung
der Gebietsableitung bleibt nach sinngemäÿer Modikation der Konstanten in den
Gleichungen (3.29c'), (3.29d') auf @D2 weiterhin richtig. Der Beweis der Sätze 3.5,
3.6 läÿt sich allerdings nicht übertragen, weil man aus dem Verschwinden des
abgeleiteten Potentials u auf @ nicht folgern kann, daÿ ujD1nD 2 auf dem inneren
Rand @D2 verschwindet.
4 Das inverse Problem bei stückweise konstanter
Leitfähigkeit
Wir untersuchen jetzt das zweidimensionale inverse Problem für stückweise konstante Leitfähigkeiten bei nur einer Stromeinspeisung auf Eindeutigkeit. Anhand
einfacher Gegenbeispiele kann man sich überlegen, daÿ im allgemeinen nicht
aus den Randwerten eines einzigen Potentials bestimmt werden kann. Ist die
Einheitskreisscheibe, von der Form
(4.1)
(
(x) = a; jxj < r;
1; jxj > r;
0 < r < 1; a > 0
und I die Einspeisung I (cos ; sin ) = cos m, 0 6 < 2, m 2 N, so läÿt
sich die Lösung des direkten Problems durch Separation der Variablen in Polarkoordinaten explizit lösen. Man erhält, daÿ das Randpotential von der Form
f (a; r) cos m mit einer stetig dierenzierbar von a und r abhängigen Funktion f
ist. Für die von den zwei Parametern a, r abhängige Leitfähigkeit der Form (4.1)
ist der Bildraum (; I ) also der eindimensionale Unterraum R cos(m). Daran
sieht man, daÿ es im allgemeinen nicht möglich ist, das Gebiet D und seine Leitfähigkeit aus einer Einspeisung zu rekonstruieren. Wir werden daher annehmen,
daÿ der innere Leitfähigkeitswert a bekannt ist und nur das Gebiet D bestimmt
werden soll.
Mit derselben Argumentation erhält man auch, daÿ die beiden Radien 0 <
r < R < 1 eines Torus um den Ursprung aus den Randdaten bei nur einer
Einspeisung cos m selbst bei bekannter innerer Leitfähigkeit nicht zu rekonstruieren sind. Das widerlegt eine allgemeine Eindeutigkeitsaussage für nicht einfach
zusammenhängende Gebiete.
Wir werden beweisen, daÿ für a 6= 1, I 6= 0 und D einfach zusammenhängend
die Gebietsableitung von
(
nD + aD; I )
nur verschwindet, wenn in Richtung eines tangentialen Vektorfeldes auf @D abeleitet wird. Hieraus folgt eine schwache lokale Eindeutigkeitsaussage. Ist Z 2
C2;(@D) nicht tangential und DZ , 2 R klein, wie im vorherigen Abschnitt
das mit Z deformierte Gebiet, so existiert ein " = "(Z ) > 0 mit
(
nDZ + aDZ ; I ) 6= (
nD + aD; I )
für alle 0 < jj < ":
Anschlieÿend belegen wir anhand eines vereinfachten Problems, daÿ eine globale Eindeutigkeitsaussage auch für einfach zusammenhängende Gebiete nicht
erwartet werden darf.
32
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
4.1 Die Injektivität der Gebietsableitung
4.1.1 Notationen und Beweisskizze
Aus dem Satz 3.5 folgt die Injektivität der Gebietsableitung, wenn man zeigen
kann, daÿ der Raum
fhru+; rvi : v 2 C 1;(D), 4v = 0 in Dg
dicht in L1(@D) liegen. Oensichtlich liegt ein h 2 C (@D) genau dann in diesem
Raum, wenn das Randwertproblem
(4.2)
Finde v 2 C 1;(D) mit 4v = 0 in D und hru+; rvi = h auf @D
lösbar ist. Um die Dichtheitsaussage zu beweisen, ist daher zu zeigen, daÿ das
obige Randwertproblem für eine in L1(@D) dichte Teilmenge lösbar ist. Bei der
Behandlung mit der Integralgleichungsmethode führt diese Randwertaufgabe auf
stark singuläre Integralgleichungen, für die im Rn, n > 3 keine für unsere Zwecke
ausreichende Lösungstheorie existiert. Im zweidimensionalen Fall wird (4.2) durch
die Identizierung R2 ' C, (x1; x2)T ' x1 + ix2 zu einem Hilbertproblem. Die
für diese Problemklasse vorhandene Theorie wird uns in die Lage versetzen, die
Dichtheitsaussage zu beweisen.
Wir machen jetzt von der in Abschnitt 1.1 erwähnten Konvention Gebrauch,
Räume komplexwertiger Funktionen durch einen unteren Index C zu kennzeichnen. Es sei
H (D) := ff 2 C 1(D)C : f ist holomorph in Dg;
H (D) := C (D ) \ H (D):
Für ein stetiges Vektorfeld Z : @D ! R2 sei
Ba@D (Z ) := hZ; i + ahZ; i; a 2 R; a > 0
das zum Koezienten a gebrochene Feld auf @D. Wir werden später häug verwenden, daÿ die Nullstellenmengen von Z und Ba@D(Z ) übereinstimmen. Der
Operator Ba@D läÿt sich durch die Identizierung R2 ' C auch als Operator auf
den komplexwertigen Funktionen auf @D auassen. Ziel dieses Abschnittes ist es,
den folgenden Satz zu beweisen.
Satz 4.1. Es sei D C oen, beschränkt, zusammenhängend, einfach zusammenhängend und C 2-glatt berandet. Es sei f 2 H (D), f 6= 0 und 'a :=
Ba@D(f j@D ), a > 0. Dann ist
F ('a; @D) := fRe('ag) : g 2 H (D)g
dicht in L1(@D).
Die Injektivität der Gebietsableitung
33
Hieraus läÿt sich die Injektivität der Gebietsableitungen unmittelbar ableiten.
Korollar 4.2. Es seien D, a, I wie in Satz 3.5, I 6= 0 und ? eine oene Teilmenge
von @ . Die in (3.35) denierten Gebietsableitungen L (D; a; I ; Z ), Lh(D; I ; Z )
verschwinden genau dann auf ?, wenn Z tangential an @D liegt.
Bew. Für eine in D harmonische Funktion v ist @v=@x1 ? i@v=@x2 holomorph.
Weil D einfach zusammenhängend ist, existiert umgekehrt auch zu jeder in D
holomorphen Funktion g eine harmonische Funktion v mit g ' rv.
D
1
r
ru? '
'
'
'
u+
a=3
Es sei u := L (
nD + aD; I ) die Lösung des Transmissionsproblems (3.3)
zu D, a und I . Es seien f? 2 H (D), f+ 2 H (
n D ) die durch f ? ' ru?,
f + ' ru+ denierten Funktionen. Aus den Transmissionsbedingungen
@u? auf @D
+
=
a
u+ = u? und @u
@
@
folgt Ba@D (ru?) = ru+. Setzt man in Satz 4.1 f := f?, so folgt
'a = Ba@D(f ?j@D ) ' Ba@D(ru?j@D ) = ru+j@D:
Die Bedingung f 6= 0 aus Satz 4.1 ist erfüllt, denn andernfalls wäre u? konstant, und aus dem Holmgrenschen Eindeutigkeitssatz würde folgen, daÿ auch
u+ konstant ist, im Widerspruch zu I 6= 0.
Sind z; w 2 C, so ist Re(zw) das Skalarprodukt von z und w aufgefaÿt als
Vektoren im R2. Ist v 2 C 1;(D ) harmonisch in D und g 2 H (D) mit g ' rv,
so ist daher Re('ag) = hru+ ; rvi auf @D. Also ist
F ('a; @D) = fhru+; rvi : v 2 C 1;(D ), 4v = 0 in Dg:
Nach Satz 4.1 ndet man eine Folge z^k , k 2 N in F ('a; @D), die in L1(@D) gegen
die Normalenkomponente z von Z konvergiert. Weil z stetig ist, konvergiert z^k z
in L1(@D) gegen z2. Aus Satz 3.5 folgt
Z
@D
z z^k ds = 0
für alle k 2 N:
34
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
R
Durch Grenzübergang k ! 1 folgt jetzt @D z2 ds = 0, also ist z = 0.
Die Argumentation für die Injektivität von Lh(D; ) verläuft genauso, wenn
man in Satz 4.1 f ' ruI jD wählt und a = 1 setzt.
Im R2 ist (4.2) also äquivalent zu dem Hilbertproblem
(4.3)
Finde g 2 H (D) mit Re('ag) = h auf @D:
Falls die Koezientenfunktion 'a auf @D nirgends verschwindet, hängt das Lösungsverhalten dieser Gleichung vom Index der Randfunktion 'a ab. Gerade dann
ist (4.3) für jedes h 2 C (@D) lösbar, wenn der Index von 'a nichtnegativ ist.
Die Denition des Index und einen Beweis dieser Aussage ndet man in [24] oder
in [13]. Nehmen wir an, daÿ 'a nullstellenfrei ist, so ist der Index Ind('a) von 'a
tatsächlich nichtnegativ. Es ist nämlich
B@D(f j@D); = a + t(1 ? a); t 2 [0; 1]
eine stetige, nullstellenfreie Transformation von 'a in f j@D . Da sich der Index bei
solch einer Transformation nicht ändern kann, ist der Index von 'a gleich dem
von f j@D . Weil f in D holomorph ist, ist der Index von f j@D gleich der Anzahl
der Nullstellen von f in D. Insbesondere ist also
(4.4)
Ind('a) = Ind(f j@D ) > 0:
Besitzt 'a keine Nullstellen, ist somit C (@D) F ('a; @D) und Satz 4.1 folgt
unmittelbar.
Ist andererseits 'a(z0) = 0 für ein z0 2 @D, so ist oensichtlich, daÿ (4.3)
höchstens dann lösbar ist, wenn auch h in z0 eine Nullstelle hat.
Die Schwierigkeit beim Beweis von Satz 4.1 besteht daher gerade darin, die
Nullstellen von 'a geeignet abzuhandeln. Aus dem bisher gesagtem ist klar, daÿ
man (4.3) nur für solche h zu betrachten braucht, deren Nullstellenmenge die
Nullstellen von 'a umfaÿt. Es stellt sich als günstig heraus, nur solche Inhomogenitäten zu betrachten, die sogar in einer ganzen Umgebung der Nullstellen von
'a verschwinden. Wir vereinbaren die folgenden Notationen.
N('a; @D) := fz 2 @D : 'a(z) = 0g = fz 2 @D : f (z) = 0g
und für J @D abgeschlossen und zusammenhängend sei
C (@D; J ) := fh 2 C (@D) : Trg(h) J g:
Die rechten Seiten, die im Beweis betrachtet werden, wählen wir aus
[
C ('a; @D) :=
(4.5)
C (@D; J ):
J @DnN('a ;@D)
J
abg., zshgd.
Den Beweis von Satz 4.1 erbringen wir in vier Schritten.
Die Injektivität der Gebietsableitung
35
(i) Zuerst zeigen wir mit Hilfe des Riemannschen Abbildungssatzes, daÿ man
ohne Einschränkung der Allgemeinheit
D = D := fz 2 C : jzj < 1g; @D = S1 := fz 2 C : jzj = 1g
annehmen darf.
(ii) Als nächstes weisen wir nach, daÿ der lineare Spann von C ('a; S1) dicht
in L1(S1) liegt. Zum Beweis von Satz 4.1 reicht es daher aus zu zeigen, daÿ
C ('a; S1) im L1(S1)-Abschluÿ von F ('a; S1) enthalten ist.
(iii) Danach erbringen wir den Beweis von Satz 4.1 für ein auf einer Umgebung
von D holomorphes f . Wir werden zeigen, daÿ dann (4.3) für jede rechte
Seite h 2 C ('a; S1) lösbar ist, also C ('a; S1) F ('a; S1) gilt.
Beim Beweis dieser Aussage wird D = D nicht benutzt. Man braucht lediglich, daÿ der Rand @D analytisch ist. Auch der Teil (ii) ist für allgemeines
D richtig. Da sich bei einem analytisch berandetem Gebiet D das innere
Potential u? des Transmissionsproblems (3.3) harmonisch auf eine Umgebung von D fortsetzen läÿt, kann man hieraus schon das Korollar 4.2 für
analytisch berandete Gebiete herleiten.
Der Grund dafür, daÿ wir uns schon hier auf D = D einschränken, liegt
darin, daÿ wir in (iv) die expliziten Ausdrücke benötigen, die für die Lösung
von (4.3) auf der Einheitskreisscheibe gegeben sind.
(iv) Der aufwendigste Teil des Beweises ist es, Satz 4.1 für allgemeines f 2
H (D ) zu zeigen. Dies geschieht, indem man 'a von innen approximiert.
Für 0 < r < 1 denieren wir
fr (z) := f (rz); jzj < 1=r;
'(ar) := BaS1 (f r jS1 ):
Die Funktionen fr sind(rdann
auf einer(rUmgebung
von D holomorph. Nach
) 1
) 1
Teil (iii) gilt also C ('a ; S ) F ('a ; S ).
Es sei jetzt h 2 C (S1; J ) für ein abgeschlossenes,
zusammenhängendes
1
1
1
S
J S n N('a; S ) gegeben. Die Stetigkeit von Ba : C (S1)C ! C (S1)C
ist oensichtlich. Es gilt also
(4.6)
'(ar) ??!
' (C (S1)C-Konvergenz):
r!1 a
Insbesondere konvergiert '(ar) gleichmäÿig
gegen 'a. Ist r hinreichend na(r)
he bei(r)1, so ist daher auch 'a auf J nullstellenfrei, und somit ist h 2
C ('a ; S1). Für diese r existiert dann gr 2 H (D ) mit
?
Re '(ar)gr = h auf S1:
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
36
Unser Ziel ist es jetzt
(4.7)
h
Re('agr ) ??!
r!1
r<1
(L1(S1)-Konvergenz)
zu zeigen. Hieraus folgt, daÿ C ('a; S1) im L1(S1)-Abschluÿ von F ('a; S1)
enthalten ist. Satz 4.1 ist dann vollständig bewiesen.
Ruft man sich ins Gedächtnis, daÿ der Ausdruck Re(zw), z; w 2 C das
Skalarprodukt von z und w aufgefaÿt als Vektoren im R2 ist, so erhält man
die Abschätzung
? kRe('agr ) ? hkL1(S1) = Re('agr ) ? Re '(ar)gr L1(S1)
?
= Re ('a ? '(ar) )gr L1 (S1)
6 'a ? '(ar)L1 (S1)C kgr kL1(S1)C :
Wegen (4.6) konvergiert k'a ? '(ar)kL1 (S1)C für r ! 1 gegen 0. Zum Beweis
von (4.7) ist daher zu zeigen, daÿ die gr jS1 gleichmäÿig L1(S1)C-beschränkt
für r ! 1 gewählt werden können.
4.1.2 Beweis der Injektivität
Es sei jetzt D wie in der Behauptung von Satz 4.1 und f 2 H (D). Nach dem
Riemannschen Abbildungssatz existiert ein C 1;-Dieomorphismus
: D ! D ;
so daÿ jD : D ! D biholomorph ist. Es sei u 2 C 1;(D ) die harmonische
Funktion mit ru ' f . Dann ist u := u ?1 2 C 1;(D ) harmonisch in D . Es
sei f 2 H (D ) mit ru ' f und
'a := Ba@D(f j@D) 2 C (@D) und 'a := BaS1 (f jS1 ) 2 C (S1):
Wir bezeichnen die komplexe Ableitung @ =@z wie üblich durch 0. Ist z 2 C,
z = a+ib, a; b 2 R, so entspricht die
Multiplikation
mit z unter der Identizierung
?
2
a
?
b
R ' C der Multiplikation mit b a . Die komplexe Ableitung ist gerade so
deniert, daÿ die Multiplikation mit 0 der Multiplikation mit der Jacobi-Matrix
von , aufgefaÿt als reeller Dieomorphismus, entspricht. Daher ist
det(D) = j0j2:
Insbesondere folgt daraus, daÿ orientierungserhaltend ist und 0 keine Nullstellen in D hat. Identiziert
? man C mit Zeilenvektoren, so entspricht die Rechtsmultiplikation mit ab ?ab gerade der Multiplikation mit z.
Die Injektivität der Gebietsableitung
37
Es sei
: L1(S1) ! L1(@D); 7! und für q 2 C (@D) sei Mq die Multiplikationsabbildung
Mq : L1(@D) ! L1(@D);
7! q :
Lemma 4.3. Es gilt
?
('a) = 'a=0 und F ('a; @D) = Mj0 j2 (F ('a; S1)) :
Bew. Ist
: [0; L) ! @D
eine positiv orientierte Parametrisierung von @D nach der Bogenlänge, so ist
: [0; L] ! S1
eine reguläre, positiv orientierte C 1-Parametrisierung von S1. Es sei z 2 @D,
z = (t) und w := (z) 2 S1. Wegen ( )(t) = 0(z) _ (t) und _ (t) = D (z)
ist
(4.8)
0
0
D (w) = j0 ((zz))j D (z) und D (w) = j0 ((zz))j D (z):
Die zweite Identität folgt aus der ersten durch Multiplikation mit ?i.
Für das Transformationsverhalten von ru unter nden wir
ru(w) = r(u ?1)(w) = ru(z) D?1 (w):
Nach obiger Bemerkung entspricht die Rechtsmultiplikation mit D?1 (w) unter
R2 ' C gerade der Multiplikation mit (?1 )0(w) = 1=(z ). Somit ist
f (w) = f (z)=0(z):
(4.9)
Schreibt man BaS1 komplex, so erhält man für 'a den Ausdruck
?
?
'a(w) = Re f (w)D (w) D (w) + a Re f (w)D (w) D (w):
Setzt man (4.8) und (4.9) in diese Gleichung ein, so folgt
0
0
'a(w) = Re f (jz)0(Dz)(jz) j0 ((zz))j D (z) + a Re f (jz)0(Dz)(jz) j0 ((zz))j D (z)
= j00((zz))j2 Re(f (z)D (z))D (z) + a Re(f (z)D (z))D(z)
= 'a(z)=0(z):
Wegen ('a)(z) = 'a(w) ist das die erste Behauptung.
38
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Es sei jetzt h 2 F ('a; S1) gegeben. Es existiert also g 2 H (D ) mit
Re( 'a g) = h auf S1:
Setzt man g^ := 0 (g ) 2 H (D), so ergibt sich
?
?
Re 'a(z)^g (z) = Re 'a(w)0(z)0(z)g(w)
= j0(z)j2h(w) = j0(z)j2(h)(z):
Das zeigt die -Richtung der zweiten Behauptung. Die umgekehrte Richtung
erhält man auf dem gleichen Weg, indem man statt die inverse Abbildung ?1
betrachtet.
Die Abbildungen und Mj0j2 sind oensichtlich stetig und stetig invertierbar. Insbesondere bilden sie dichte Teilmengen von L1(S1) beziehungsweise
L1(@D) auf dichte Teilmengen von L1(@D) ab. Können wir also nachweisen, daÿ
F ('a; S1) dicht in L1(S1) liegt, so folgt aus Lemma 4.3, daÿ auch F ('a; @D)
dicht in L1(@D) liegt. Wir dürfen also im weiteren ohne Beschränkung der Allgemeinheit D = D annehmen.
Teil (ii) der Beweisskizze ist ein einfaches Lemma.
Lemma 4.4. Die Nullstellenmenge N('a; S1) ist abgeschlossen und eine Nullmenge in S1. Der Raum C ('a; S1) liegt dicht in L1(S1).
Bew. Die Abgeschlossenheit von N('a; S1 ) ist wegen der Stetigkeit von 'a klar.
Aus den Denitionen folgt N('a; S1) = fz 2 S1 : f (z) = 0g. Einen Beweis für die
Tatsache, daÿ die Nullstellen der Randwerte einer nicht überall verschwindenden
Funktion in H (D ) eine S1-Nullmenge bilden, ndet man in [10], Kapitel V,
Satz 6.2.
Jedes stetige, lineare Funktional auf L1(S1) ist von der Form
S
L1( 1) 3 f
7!
mit h0 2 L1 (S1). Es sei h0 2 L1 (@D) mit
Z
S1
Z
S1
h0f ds
h0h ds = 0 für alle h 2 C ('a; S1):
Wir werden h0 = 0 zeigen. Nach einer bekannten Folgerung aus dem HahnBanachschen Fortsetzungssatz impliziert dies die L1-Dichtheit von C ('a; S1).
Es sei z 2 S1 n N('a; S1). Wir wählen eine abgeschlossene, zusammenhängende
Umgebung J S1 n N('a; S1) von z und ein
2 C (S1; J ) mit > 0; (z) > 0:
Die Injektivität der Gebietsableitung
39
Wegen L1 (S1) L1(S1) und weil C (S1) dicht in L1(S1) liegt, nden wir eine
Folge (hk )k2N in C (S1), die in L1(S1) gegen h0 konvergiert. Dann ist hk 2
C ('a; S1). Also gilt
Z
S1
h0hk ds = 0 für alle k 2 N:
R
Durch den Grenzübergang k ! 1 folgt S1 (h0)2 ds = 0. Also verschwindet h0
fast überall auf der Umgebung > 0 von z. Weil N('a; S1) eine Nullmenge ist,
ist somit h0 = 0 fast überall.
Mit derselben Argumentation läÿt sich zeigen, daÿ C ('a; S1) sogar für jedes
1 6 p 6 2 dicht in Lp(S1) liegt.
Um zu zeigen, daÿ (4.3) für ein auf einer Umgebung von D holomorphes f
und h 2 C ('a; S1) lösbar ist, dividieren wir die Randbedingung, zunächst rein
formal, durch j'1j2, '1 := f jS1 und erhalten
Re('ag)=j'1j2 = Re('a='1 g='1 ) = h=j'1j2:
(4.10)
Weil die Nullstellenmengen von 'a und '1 übereinstimmen, hat '1 keine Nullstellen innerhalb des Trägers von h. Den Ausdruck auf der rechten Seite in (4.10)
werden wir uns daher im folgenden stets durch 0 auÿerhalb des Trägers von h
fortgesetzt denken. In den nächsten beiden Lemmata weisen wir nach, daÿ die
Funktion 'a='1 auf S1 glatt und nullstellenfrei ist. Auf das modizierte Problem
Finde g~ 2 H (D ) mit Re('a='1 g~) = h=j'1j2 auf S1:
(4.11)
können wir daher die Standardtheorie für Hilbertprobleme anwenden. Ist g~ eine
Lösung von (4.11), so erhalten wir mit g := f g~ oensichtlich eine Lösung des
ursprünglichen Problems.
Lemma 4.5. Es sei '1 := f jS1 und arg die Argumentfunktion auf C n f0g mit
Werten in (?; ]. Dann gelten für alle z 2 S1 n N('a; S1) die Abschätzungen
(4.12)
(4.13)
min(1; a) 6 j'a(z)='1(z)j 6 max(1; a);
?
jarg('a(z)='1(z))j 6 arccos 2pa=(1 + a) < 2 :
Bew. Ist z wie in der Behauptung und benutzt man (z ) und (z ) als reelles
Koordinatensystem, so ist 'a(z) = (ax1; x2)T , falls '1(z) = (x1; x2)T ist. Daraus
ersieht man sofort
j'1(z)j 6 j'a(z)j 6 aj'1(z)j;
und aj'1(z)j 6 j'a(z)j 6 j'1(z)j;
Das ist die erste Behauptung.
falls a > 1;
falls a 6 1:
40
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Wir fassen (z) und (z) durch die Identizierung R2 ' C als komplexe
Zahlen auf und denieren
1 (z ) + x2 (z )
T
2
a(x1; x2) := ax
;
(
x
1; x2 ) 2 R n f0g
x1 (z) + x2 (z)
und
(4.14)
?
#a :=
sup
(x1 ;x2 )T 2R2 nf0g
jarg(a(x1; x2))j:
Dann ist arg 'a(z)='1(z) 6 #a klar. Eine einfache Rechnung ergibt
(4.15)
2 + x2
1
2
T
2
Re(a(x1; x2)) = ax
x2 + x2 > 0; (x1; x2) 2 R n f0g:
1
2
Weil die Argumentfunktion nur auf der Halbgeraden fz 2 R : z 6 0g unstetig ist,
ist jarg(a)j auf R2 n f0g stetig. Aus der Denition folgt auÿerdem unmittelbar,
daÿ a nur vom Winkel zwischen (x1; x2)T und der reellen Achse abhängt. Es
reicht daher in (4.14) das Supremum über den Einheitskreis zu bilden. Da stetige
Funktionen auf Kompakta ihre Extremwerte annehmen, existiert (x1; x2)T auf
dem Einheitskreis mit
#a = jarg(#a(x1; x2))j:
Aus (4.15) folgt #a < 2 . Der explizite Ausdruck
p
#a = arccos(2 a=(1 + a))
läÿt sich mit Standardmethoden leicht berechnen.
Lemma 4.6. Für z 2 S1 n N('a; S1) sei
(z) := 'a(z)='1(z):
Ist f auf einer Umgebung von D holomorph, so läÿt sich zu einer analytischen
Funktion ohne Nullstellen auf S1 fortsetzen.
Bew. Für den Nachweis der Glattheit von ist nur in den Nullstellen von '1
etwas zu zeigen. Da f über den Rand S1 hinaus holomorph ist, besitzt '1 = f jS1
höchstens endlich viele Nullstellen. Es sei z0 2 S1 mit '1(z0) = 0. Die Funktion
'a läÿt sich auf einer hinreichend kleinen Umgebung von z0 zu einer holomorphen
Funktion fortsetzen. Ist nämlich u die auf einer Umgebung von D harmonische
Funktion mit ru ' f und " > 0 hinreichend klein, B" := fz 2 C : jz ? z0j < "g,
so besitzt das Cauchy-Problem
@v = a @u auf S1 \ B (z )
Finde v harmonisch in B"(z0) mit v = u und @
" 0
@
Die Injektivität der Gebietsableitung
41
nach dem Satz von Cauchy-Kowalewsky eine Lösung. Ist f+ die durch rv ' f +
denierte Funktion, so ist nach Konstruktion
f+ jS1\B"(z0) = BaS1 (f jS1 )jS1\B"(z0) = 'ajS1\B"(z0):
Also ist 'a='1 auf S1 \ B"(z0) die Einschränkung der auf einer Umgebung von
z0 meromorphen Funktion f+ =f . Besäÿe diese Funktion eine Polstelle in z0, so
wäre der Betrag von f+(z)=f (z) für z ! z0, z 2 S1, '1(z) 6= 0 unbeschränkt im
Widerspruch zu (4.12). Die Singularität von f+ =f bei z0 ist mithin hebbar und
'a='1 analytisch auf S1.
Wegen der Glattheit von gelten die Abschätzungen des Lemmas 4.5 auch in
den Nullstellen von '1. Aus (4.12) folgt jetzt unmittelbar, daÿ keine Nullstellen
hat.
Aus (4.13) folgt, daÿ unter den Voraussetzungen des Lemmas 4.6 den Index
0 hat. Dies benutzt man bei der Lösung des allgemeinen Hilbertproblems, um
einen Logarithmus der Randfunktion ? = zu bilden. Die Abschätzung (4.13)
versetzt uns in die Lage, dies auch direkt zu tun. Der Begri des Index wird
also im Beweispvon Satz 4.1 nicht gebraucht. Wie im Beweis von Lemma 4.5 sei
#a := arccos(2 a=(1 + a)). Mit #a := =2 ? #a > 0 läÿt sich (4.13) zu
arg( ) 2 [?=2 + #a; =2 ? #a]
umschreiben. Weil Quadrieren die Argumente verdoppelt ist
arg( = ) = arg( 2=j j2) = arg( 2) 2 [? + 2#a; ? 2#a]:
Deniert man eine zweite Argumentfunktion Arg mit Werten in [0; 2), so ist
daher
Arg(? = ) 2 [2#a; 2 ? 2#a]:
Es sei Log der zu Arg gehörige Zweig des Logarithmus, das heiÿt Log(z) =
log jzj + i Arg(z), z 2 C n f0g, log der gewöhnliche reelle Logarithmus. Dann
ist
Log(? = ) : S1 ! C
eine analytische Funktion auf S1. Weil die Werte von ? = auf dem Einheitskreis
liegen, sind die Werte von Log(? = ) rein imaginär. Für den späteren Gebrauch
notieren wir noch
(4.16)
Es sei
1 Log(?
i
(z)= (z)) 2 [2#a; 2 ? 2#a];
Z ( )
1
A()(z) := i 1 ? z dz;
S
z 2 S1 :
z 2 C; 2 C (S1)C;
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
42
der Cauchy-Integraloperator. Wir sammeln kurz die Eigenschaften von A, die wir
im Beweis benötigen.
A() ist holomorph auf C n S1. Die Funktionen A()+ := A()jCnD und
A()? := A()jD lassen sich zu Funktionen in C (C n D )C beziehungsweise
C (D )C auf S1 fortsetzen. Es ist limjzj!1 A()(z) = 0 gleichmäÿig in allen Richtungen. Für z 2 S1 existiert das Integral A()(z) als Cauchy-Hauptwert und es
ist A()jS1 2 C (S1)C. Um Uneindeutigkeiten zu vermeiden, setzen wir
A() := A()jS1 ;
2 C (S1)C:
Die Abbildungen
C (S1)C ! C (S1)C; C (C n D )C; C (D )C; 7! A(); A()+; A()?
sind stetig. Für die Randwerte gelten die Sokhotski-Plemelj-Formeln
A()? ? A()+ = 2 und A()? + A()+ = 2A() auf S1:
Später im Beweis werden wir auch noch benötigen, daÿ A2 = IdC (S1)C ist und
A sich zu einem stetigen, linearen Operator L2(S1)C ! L2(S1)C erweitern läÿt.
Beweise für alle diese Aussagen ndet man in [23].
Nun können wir Schritt (iii) der Beweisübersicht vollziehen.
Satz 4.7. Es sei f auf einer Umgebung von D holomorph. Dann ist das Hilbertproblem (4.3) für jedes h 2 C ('a; S1) lösbar. Eine Lösung g ist durch die
Formeln
H (z) := exp( 21 A(Log(? = )) (z);
?
G(z) := 21 H (z) A ? h=(j'1j2 H+ (z);
g~(z) := G? (z) + G+ (1=z );
g(z) := f (z)~g (z);
(4.17a)
(4.17b)
(4.17c)
(4.17d)
z2C
z 2 C;
z 2 D;
z 2 D:
gegeben.
Bew. Wie bereits erwähnt, lösen wir zunächst das Hilfsproblem
Finde g~ 2 H (D ) mit Re( g) = h=j'1j2 auf S1:
Die ersten drei Zeilen in (4.17) folgen dem in [24] dargestellten Lösungsweg für
ein Hilbertproblem mit Index 0.
Die Sokhotski-Plemelj-Formeln ergeben
1
2 A(Log(?
= ))? ? 12 A(Log(? = ))+ = Log(? = );
auf S1:
Die Injektivität der Gebietsableitung
43
Wendet man auf diese Gleichung exp an, so erkennt man, daÿ H eine Lösung des
homogenen Riemannproblems
H? + H + = 0
auf S1
ist.
Wir setzen zur Abkürzung := ?h=(j'1j2 H+). Wegen exp(z) 6= 0 für alle
z 2 C besitzt H+ keine Nullstellen. Es sei daran erinnert, daÿ wir (z) = 0 für
z 2= Trg(h) deniert hatten. Es ist daher 2 C (S1)C. Auf S1 ist dann
G? + G+ = 12 ( H? A()? + H+A()+) = 21 H+ (?A()? + A()+)
= ? H+ = h=j'1j2:
Wegen 1=z = z, z 2 S1 ist G+ (1=z ) = G+ (z), z 2 S1, und daraus folgt
Re( g~) = Re( G? + G+) = Re( G? + G+)
= h=j'1j2:
Also erfüllen die Randwerte von g
Re('ag) = j'1j2 Re( g~) = h auf S1:
Wir verzichten jetzt auf die Voraussetzung, daÿ f in einer Umgebung von D
holomorph ist, und verlangen nur noch f 2 H (D ). Wie in (iv) der Beweisübersicht angekündigt, denieren wir für 0 < r < 1
fr (z) := f (rz); '(1r) := fr jS1 ; '(ar) := BaS1 (f r jS1 ); r := '(ar)='(1r):
Die fr sind dann auf einer Umgebung von D holomorph und die r daher analytisch auf S1.
Die Funktion H in (4.17a) ist unabhängig von der rechten Seite h. Es sei
H (r; z) := exp(A(ir)(z)); z 2 C;
r := 21i Log(? r = r);
die entsprechend zu fr gebildete Funktion. Nach (4.16) haben wir
(4.18)
r (z) 2 [#a; ? #a];
z 2 S1; 0 < r < 1:
Wir untersuchen zunächst die Konvergenz von H (r; ) für r ! 1.
Lemma 4.8. Ist J S1 n N('a; S1) abgeschlossen und zusammenhängend, so
konvergieren die einseitigen Grenzwerte H (r; ) jJ in C (J )C.
44
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Bew. Ist J~ S1 n N('a; S1) abgeschlossen und zusammenhängend, so gilt
(4.19) ( r = r)jJ~ = ('(ar)='(1r) '(1r)='(ar))jJ~ konvergiert für r ! 1 in C (J~)C:
Für r hinreichend nahe bei 1 besitzen nämlich die Funktionen '(ar) und '(1r) auf
J~ keine Nullstellen. Jetzt benutzt man, daÿ die Multiplikationsabbildung
C (J~)C C (J~)C ! C (J~)C
und das Bilden der reziproken Funktion
fF 2 C (J~)C : F (z) 6= 0; z 2 J~g ! C (J~)C
stetige Operationen sind.
Weil auch die Anwendung glatter Funktionen C (J~)C-konvergente Folgen wieder auf C (J~)C-konvergente Folgen abbildet, folgert man
(4.20)
r jJ~ konvergiert für r ! 1 in C (J~)C.
Insbesondere konvergiert r punktweise auÿerhalb der Nullmenge N('a; S1). Aus
(4.18) und dem Lebesgueschen Konvergenzsatz schlieÿen wir
(4.21)
r konvergiert für r ! 1 in Lp(S1)C; 1 6 p < 1.
Ist J wie in der Behauptung, so folgt die C (J )C-Konvergenz von A(ir )jJ indem man das Integral geeignet aufspaltet. Dazu wählen wir ein J~ S1 nN('a; S1),
das J im Inneren enthält, und eine reellwertige Funktion 1 2 C (S1) mit
Trg(1) J;~ 1 > 0 und 1 = 1 auf einer Umgebung von J:
Setzt man 2 = 1 ? 2, so ist
A(ir ) = A(i1r) + A(i2r):
Weil r noch C -konvergent auf einer Umgebung von J~ ist, konvergiert 1r,
und dann auch A(i1r )C, für r ! 1 in C (S1)C. Die Dichten 2r des zweiten
Integrals verschwinden auf einer Umgebung von J und konvergieren nach (4.21)
in L1(S1)C. Daher konvergiert A(i2r ) für r ! 1 gleichmäÿig inklusive aller
Ableitungen auf J . Damit haben wir
A(ir )jJ konvergiert für r ! 1 in C (J )C
bewiesen.
Nach den Sokhotski-Plemlj-Formeln ist A(ir) = A(ir ) ir auf S1. Mit
(4.20) ergibt sich jetzt auch die C (J )C-Konvergenz der einseitigen Grenzwerte
A(ir) jJ . Weil die Anwendung von exp die C (J )C-Konvergenz erhält, folgt die
Behauptung.
Die Injektivität der Gebietsableitung
45
Die eigentliche Schwierigkeit in Teil (iv) der Beweisübersicht ist der Nachweis,
daÿ die Randwerte H (r; ) für r ! 1 gleichmäÿig L1(S1)C-beschränkt sind.
Lieÿe sich A zu einem Endomorphismus von L1(S1) erweitern, so wäre man
mit (4.18) sofort am Ziel. Es ist aber bekannt, daÿ A() für stetige, aber nicht
Hölder-stetige
Dichten
unbeschränkte Singularitäten haben kann. Insbesondere
?
1
1
ist also A L (S ) 6 L1(S1). Nach (4.21) konvergiert r , und dann auch A(ir )
und A(ir) , in L2(S1)C. Wir benötigen also eine Aussage, daÿ die eventuell
vorhandenen Singularitäten von limr!1 A(ir ) in den Punkten aus N('a; S1) so
schwach sind, daÿ exp(A(ir)) für r ! 1 noch L1(S1)C-beschränkt bleibt. Dies
leistet der nächste Satz. Der Beweis ist [30], Hilfssatz 2 entnommen.
Satz 4.9. Es sei 2 C (S1) mit (z) 2 [#; ? #] für alle z 2 S1 mit 0 < # < =2.
Dann ist
kexp(A(i))kL1(S1)C 6 ekRe(A(i))kL1(S1 ) = sin #:
R
Hierbei ist kF kL1(S1)CR := 21 02 jF (t)j dt, F 2 L1(S1)C deniert, das heiÿt wir
verwenden das durch S1 ds = 1 normierte Maÿ bei der Denition von kkL1 (S1)C .
Bew. Es ist klar, daÿ es ausreicht, die Abschätzung für kexp(~)kL1 (S1) mit ~ :=
Re(A(i)) zu zeigen. Im folgenden identizieren wir Funktionen aus C (S1)C mit
solchen aus C (R=2)C mittels der Parametrisierung t 7! eit.
Auf dem Einheitskreis hat der Cauchy-Integraloperator die Darstellung
Z ( )
1
A()(z) = i 1 ? z d
S
Z
2 t + i ( ) d; 2 C (S1) ; z = eit:
= 21i
cot ?
C
2
0
R
Daher ist A(i) = ~ + ic1S1 mit c := 21 02 ( ) d . Zusammen mit den
Formeln A2 = IdS1 , A(1S1 ) = 1S1 und ~ = A(i) ? i Im(A(i)) = A(i) ? ic1S1
folgt
A(~ + i) = A?A(i) ? ic1S1 + ~ + ic1S1
= i + ~:
Aus den Sokhotski-Plemlj-Formeln folgt daher, daÿ die holomorphe Funktion
Z ~( ) + i( )
1
g(z) := 2i 1 ? z d = 21 A(~ + i)(z); z 2 D ;
S
die Randwerte g? = ~ + i hat. Also ist eg 2 H (D ) mit Randwerten e~+i. Die
Cauchysche Integralformel für diese Funktion ergibt
Z ~ d 1 Z 2 ~
1
g
(0)
(4.22)
e( )+i( ) d:
e = 2i 1 e(+i)() = 2
S
0
46
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Geht man in dieser Gleichung zu den Imaginärteilen über, so erhält man
Z 2 ~
1
g
(0)
Im(e ) = 2
e( ) sin(( )) d:
0
Natürlich ist e~( ) > 0, und die Voraussetzung ( ) 2 [#; ? #] impliziert
sin(( )) > sin # > 0. Also gilt
Z 2 ~
1
g
(0)
e( ) d = kexp ~kL1(S1)C > 0:
Im(e )= sin # > 2
0
Benutzt man auf der linken Seite noch die Abschätzung
1 Z 2 ~ k~k 1 1
g
(0)
Re
g
(0)
g
(0)
( ) d 6 e L (S ) ;
= exp 2
Im(e ) 6 e = e
0
so folgt die Behauptung.
Wir wollen noch zwei Bemerkungen zu diesem Satz anschlieÿen. Der Satz
bleibt richtig, wenn die Werte von in einem beliebigem Intervall mit einer
Länge echt kleiner enthalten sind. Ist (z) 2 + [#; ? #] für alle z 2 S1 und
ein 2 [0; 2), so multipliziert man die Gleichung (4.22) einfach mit e?i und der
Beweis kann unverändert übernommen werden.
Ist 1 6 p < =( ? 2#) so ist auch noch das Intervall [p#; p( ? #)] echt kleiner
. Ganz analog zu (4.22) leitet man die Formel
Z 2 ~
1
pg
(0)
e = 2
ep( )+ip( ) d
0
her. Verfährt man jetzt genau wie im obigem Beweis weiter, so erhält man eine
Abschätzung
kexp(A(i))kLp(S1)C 6 CekRe(A(i))kL1(S1 )
mit einer nur von # abhängigen Konstante C > 0. Zusammen mit der Bemerkung
am Ende des Beweises von Lemma 4.4 kann man damit zeigen, daÿ die Dichtheitsaussage aus Satz 4.1 sogar in Lp(@D), p < p mit einem nur von a abhängigem
1 < p 6 2 richtig ist. Weil dies für den Beweis von Korollar 4.2 nicht benötigt wurde, haben wir auf die Formulierung dieses etwas stärkeren Ergebnisses in
Satz 4.1 verzichtet.
Jetzt ist es leicht, die angekündigte Beschränktheit von H zu beweisen.
Korollar 4.10. Die Randwerte H (r; ) sind für r ! 1 gleichmäÿig in L1(S1)C
beschränkt
Bew. Aus Satz 4.9 erhalten wir mit (4.18)
(4.23)
kH (r; )kL1(S1)C 6 ekRe(A(ir))kL1 (S1) = sin #a:
Die Injektivität der Gebietsableitung
47
In (4.21) hatten wir bereits gezeigt, daÿ r , also auch A(ir ), für r ! 1 in L2(S1)C
konvergiert. Weil L2-Konvergenz auf Kompakta stärker als L1-Konvergenz ist,
konvergiert die rechte Seite in (4.23) für r ! 1. Somit ist H (r; )jS1 für r ! 1
L1(S1)C-beschränkt. Weil die r reellwertig sind, folgt die Behauptung jetzt aus
H (r; ) = exp(A(ir ) ir) = H (r; )jS1 eir auf S1:
Es sei jetzt h 2 C ('a; S1) gegeben. Es sei J S1 n N('a; S1) abgeschlossen
und zusammenhängend mit Trg(h) J . Wir hatten bereits in der Beweisübersicht argumentiert, daÿ h 2 C ('(ar); S1) für r hinreichend nahe bei 1 gilt. Wir denieren für diese r die Funktionen G(r; ), g~r und gr indem wir in (4.17b)(4.17c)
'a und '1 durch '(ar) beziehungsweise '(1r) ersetzen. Die L1-Beschränktkeit der
gr jS1 ist nun einfach nachzuprüfen.
Setzen wir zur Abkürzung
r := ?h=(j'(1r)j2 rH (r; )+ ) = ?h=('(ar)'(1r)H (r; )+);
so konvergiert r für r ! 1 in C (S1)C. Aus Lemma 4.8 folgt nämlich, daÿ
'(ar)'(1r)H (r; )+ noch C -konvergent auf einer Umgebung des Trägers von h ist.
Da wir r auÿerhalb des Trägers durch 0 fortgesetzt hatten, folgt die behauptete Konvergenz von r . Also konvergiert auch A(r ) in C (S1)C. Die einseitigen
Grenzwerte von G(r; ) sind gegeben durch
G(r; z) = 21 H (r; z) (A(r )(z) r (z)); z 2 S1:
Wegen
kF1F2kL1(S1)C 6 kF1kL1 (S1)C kF2kL1(S1)C ; F1 2 L1(S1)C; F2 2 L1(S1)C;
sind die G(r; ) jS1 also L1(S1)C-beschränkt für r ! 1.
Aus
g~r jS1 = G(r; )? jS1 + G(r; )+ jS1 und gr = fr g~r
liest man jetzt direkt ab, daÿ g~r jS1 und gr jS1 für r ! 1 in L1(S1)C-beschränkt
sind.
Nach den Bemerkungen in (iv) der Beweisübersicht ist damit Satz 4.1 vollständig bewiesen.
4.1.3 Literaturübersicht
Der Satz 3.5 ist in [4] aus der schwachen Formulierung des Randwertproblems
ohne die Charakterisierung der Gebietsableitung hergeleitet worden. In [5] ist
dieser Satz auf Gebiete mit stückweise glattem Rand erweitert worden. Leider
ist er im letztgenannten Text nicht richtig formuliert. In diesen beiden Arbeiten
ist auch die Injektivität der Gebietsableitung untersucht worden. Im ersten Text
48
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
wird L (D; a; I ; Z ) 6= 0 gezeigt, falls die Normalenkomponente von Z auf ganz
@D positiv beziehungsweise negativ ist. Auÿerdem wird gezeigt, daÿ die Ableitung nicht verschwindet, wenn die Normalenkomponente von Z auf einer oenen
Teilmenge von @D, aber nicht auf ganz @D, verschwindet. Beide Aussagen lassen
sich ohne Betrachtung des Hilbertproblems (4.3) gewinnen. Insbesondere gelten
diese Aussagen auch im dreidimensionalen Fall. Für die weiteren Untersuchungen
beschränken sich beide Texte auf den R2 und eine analytische Randkurve @D.
Aus den allgemeinen Regularitätsaussagen für elliptische partielle Dierentialgleichungen folgt dann, daÿ sich das Potential u? harmonisch in eine Umgebung
von D fortsetzen läÿt. Der Gradient von u? besitzt daher höchstens endlich viele
Nullstellen auf @D. In [4] wird vorgeschlagen, daÿ Problem der Nullstellen von 'a
dadurch zu umgehen, daÿ man ein geeignetes Hilfsproblem, nämlich das Hilbertproblem mit dem modiziertem Koezienten 'a=j'aj, betrachtet. Kann man die
Lösbarkeit dieses Problems für jede Inhomogenität h 2 C (@D) nachweisen, so
läÿt sich immer noch die Injektivität von L (D; a; I ; ) ableiten. Statt der Nullstellen von 'a bereiten jetzt die Unstetigkeiten von 'a=j'aj Schwierigkeiten. Auch
für das Hilbertproblem mit unstetigem Koezienten existiert eine Lösungstheorie, aber ein Schluÿ wie in (4.4) auf den Index des Hilbertproblems läÿt sich nicht
auf 'a=j'aj übertragen. Daher ist die Lösbarkeit des Hilfsproblems bei gegebener
Inhomogenität im allgemeinen nicht gesichert. In [4] erhält man auf diesem Weg
noch die Aussage, daÿ der Kern von L (D; a; I ; ) endlichdimensional ist.
In der Gleichung (4.4) ist benutzt worden, daÿ für eine in holomorphe
Funktion f mit nullstellenfreien Randwerten der Index von f j@
gleich der Anzahl
der Nullstellen von f in D ist. In [5] wird für eine analytische Randkurve @D
gezeigt, daÿ sich diese Beziehung auf die stückweise holomorphe Funktion fu mit
(
f u = ru+; auf n D ;
ru?; auf D
u = L (
nD + aD ; I )
übertragen läÿt. Falls Ind(fu j@
) = 0 gilt, folgt dann ru+ 6= 0 in n D, 'a 6= 0
auf @D und mit (4.4) die Injektivität von L (D; a; I ; ). Um Ind(fu j@
) = 0 zu
sichern, wird zunächst ein Transmissionsproblem zu D mit geeignet vorgeschriebenen Dirichlet-Randdaten auf @ gelöst. Die Neumann-Randdaten der Lösung
auf @ werden dann als Einspeisestrom benutzt. Um eine geeignete Einspeisung
zu bestimmen, muÿ man also schon Informationen über D besitzen, aber immerhin nur solche, die sich durch Messungen auf dem Rand @ ergeben. Als
allgemeine Aussage ergibt sich aber lediglich, daÿ bei gegebenem D eine von Z
unabhängige Einspeisungen I existiert, so daÿ L (D; a; I ; ) injektiv ist.
In [29] wird diese Idee weiter ausgebaut und gezeigt, daÿ für gewisse Einspeisungen ru+ 6= 0 in unabhängig vom Gebiet D sichergestellt werden kann.
Für solche Einspeisungen wird ein lokales Eindeutigkeitsergebnis für das inverse
Problem bewiesen. Nach dem obigen Schluÿ folgt für diese Einspeisungen auch
die Injektivität der Gebietsableitung bei jedem Gebiet D.
Die Injektivität der Gebietsableitung
49
In [2] werden die Ergebnisse der letztgenannten Arbeit auf eine etwas gröÿere
Klasse von Einspeisungen und C 1;-glatt berandetes D verallgemeinert.
Gobale Eindeutigkeitsaussagen für spezielle Gebiete, zum Beispiel Polygone
und Kreise, ndet man in [12], [20].
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
50
4.2 Ein negatives Resultat für ein vereinfachtes Problem
Es seien wieder ; D R2 oen, beschränkt und C 2-glatt berandet, D und
I 2 C?(@ ). sei einfach zusammenhängend. In (3.25) hatten wir den Operator
Lh(D; I ) durch Linearisierung bezüglich der Leitfähigkeit deniert. Es sei
u0D := Lh(D; I ):
Für a nahe bei 1 können wir das Potential L (D; a; I ) nach (3.21) durch uI +
(a ? 1)u0D approximieren. Da uI aus I und berechenbar ist und wir a wieder
als bekannt voraussetzen, lautet das zugehörige inverse Problem
(4.24)
Bestimme D aus dem Randpotential u0D j@
:
Wir werden zeigen, daÿ dieses Problem für gewisse Einspeisungen äquivalent
zum inversen Quellproblem ist. Dieses Problem besteht darin, ein beschränktes
Gebiet E R2 zu rekonstruieren, wenn sein Newton-Potential
(4.25)
vE (x) :=
Z
E
(x; y) dy ( Grundlösung des Laplace-Operators);
auf einer Teilmenge der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von R2 n E
bekannt ist.
Ähnlich wie das in Satz 3.6 für die Gebietsableitung geschehen ist, formulieren
wir zunächst die Eindeutigkeitsaussage um. Für eine oene Menge U R2 sei
P (U ) := ff 2 C 2(U ) : 4f = 0g:
Satz 4.11. Es seien D1, D2 oen und C 2-glatt berandet mit D 1; D 2 . Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
(i) Es gilt u0D1 j@
= u0D2 j@
.
(ii) Es existiert eine einfach zusammenhängende Umgebung U von D 1 [ D 2,
U , so daÿ
(4.26)
8w 2 P (U ) :
Z
D1
hrw; ruI i dx =
Z
D2
hrw; ruI i dx:
(iii) Die Gleichung (4.26) gilt für jedes w, das auf einer einfach zusammenhängenden Umgebung von D 1 [ D 2 harmonisch ist.
Bew. Es sei U eine oene, beschränkte, einfach zusammenhängende und C 2 -glatt
berandete Obermenge von D 1 [ D 2 mit U . Es sei G die durch (3.22) denierte
Greensche Funktion von . Für ' 2 C (@U ) denieren wir das Einzelschichtpotential
(4.27)
w'(x) :=
Z
@U
G(x; y)'(y) ds(y):
Ein negatives Resultat für ein vereinfachtes Problem
Dann ist für j = 1; 2
Z
Dj
hrw'; ruI i dx =
=
=
Z DZ
E
Dj
@U
@U
Dj
Z Z
Z Z
@U
51
rxG(x; y)'(y) ds(y); ruI (x) dx
hrxG(x; y); ruI (x)i dx '(y) ds(y)
@u
I
G(x; y) @ (x) ds(x) '(y) ds(y):
@Dj
Aus G(x; y) = G(y; x) und der Darstellung (3.23) von u0Dj folgt
(4.28)
Z
Dj
hrw'; ruI i dx = ?
Z
@U
u0Dj ' ds;
j = 1; 2:
Es sei (i) erfüllt. Wir zeigen (iii). Es sei w auf einer einfach zusammenhängenden Umgebung U von D 1 [ D 2 harmonisch. Indem wir U eventuell verkleinern
dürfen wir annehmen, daÿ U einen C 2-glatten Rand hat und U , w 2 C 1(U )
gilt. Aus (i) und @u0Dj =@ = 0 auf @ folgt u0D1 j@U = u0D2 j@U aus dem Holmgrenschen Eindeutigkeitssatz, denn @U liegt ganz in der Zusammenhangskomponente
von n (D 1 [ D 2 ), die @ enthält. Hier geht ein, daÿ U einfach zusammenhängend
ist. Kann man zeigen, daÿ rw = rw' mit einem geeigneten ' 2 C (@U ) gilt, so
folgt die Behauptung aus (4.28). Es ist bekannt, daÿ sich das innere Neumannsche Randwertproblem des Laplace-Operators zu den Randdaten @w=@ auf @U
durch ein Einzelschichtpotential lösen läÿt. Weil sich und G bloÿ um eine in
analytische Funktion voneinander unterscheiden, kann man bei der Lösung
des Neumannproblems auch durch G ersetzen. Daher existiert ' 2 C (@U ) mit
@w'=@ = @w=@ auf @U . Aus der Eindeutigkeit des Neumann-Problems folgt
jetzt, daÿ w und w' sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Die
Gradienten von w und w' stimmen also überein.
Ist (ii) erfüllt, so gilt (4.26) insbesondere für U = . Für alle ' 2 C (@ ) ist
daher nach (4.28)
Z
(u0D1 ? u0D2 )' ds = 0;
@
und somit ist u0D1 j@
= u0D2 j@
.
Eine ähnliche Aussage läÿt sich auch für das inverse Quellproblem machen.
Satz 4.12. Es seien E1; E2 R2 oen, beschränkt und C 2-glatt berandet. Dann
sind die folgenden Ausagen äquivalent.
(i) Es ist vE1 = vE2 auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von
R2 n (E1 [ E2 ).
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
52
(ii) Es existiert eine beschränkte, einfach zusammenhängende Umgebung U von
E1 [ E2, so daÿ
(4.29)
8w 2 P (U ) :
Z
E1
w dx =
Z
E2
w dx:
(iii) Die Gleichung (4.29) gilt für jedes w, das auf einer einfach zusammenhängenden Umgebung von E1 [ E2 harmonisch ist.
Bew. Ist U eine C 2-glatt berandete, oene, einfach zusammenhängende Umgebung von E1 [ E2, so denieren wir für ' 2 C (@U )
w'(x) :=
Z
@U
(x; y)'(x; y) ds(y):
Genau wie im Beweis des vorhergehenden Satzes beweist man für j = 1; 2
Z
Ej
w' dx =
Z
@U
vEj ' ds:
Der Beweis verläuft jetzt genauso wie der von Satz 4.11.
Jetzt können wir die Äquivalenz der beiden inversen Probleme zeigen. Wir
benutzen wie in Abschnitt 4.1 die Identizierung R2 ' C. Zu jedem uI gibt es
eine in holomorphe Funktion mit Re() = uI und ist durch uI bis auf eine
rein imaginäre, additive Konstante eindeutig bestimmt.
Satz 4.13. Es sei 2 H (
) mit Re() = uI , (
) R2 sei oen und : !
(
) sei ein reeller Dieomorphismus. Es seien D1; D2 oen, C 2-glatt berandet
mit D 1; D 2 . Setzt man Ej := (Dj ), j = 1; 2, so sind die folgenden Aussagen
äquivalent.
(i) Es gilt u0D1 j@
= u0D2 j@
.
(ii) Es gilt vE1 = vE2 auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von
R2 n (E1 [ E2 ).
Bew. Es sei U eine oene, einfach zusammenhängende Umgebung von D 1 [ D 2 .
Nach Satz 4.11 ist (i) äquivalent zu
(4.30)
8w 2 P (U ) :
Z
D1
hrw; ruI i dx =
Z
D2
hrw; ruI i:
Es seien fuI , fw die holomorphen Funktionen mit f uI ' ruI und f w ' rw.
Durchläuft w alle Funktionen in P (U ), so durchläuft fw alle Funktionen in
H (U ). Daher ist (4.30) äquivalent zu
(4.31)
8f 2 H (U ) :
Z
D1
Re(f uI f ) dx =
Z
D2
Re(f uI f ) dx:
Ein negatives Resultat für ein vereinfachtes Problem
53
Weil nach Voraussetzung ein Dieomorphismus ist, ist det D = jruI j2 6= 0.
Daher ist die Abbildung f 7! fuI f eine Bijektion von H (U ) auf sich selbst. Ersetzt man in (4.31) f durch ffuI , so ist diese Gleichung, wegen jfuI j2 = jruI j2 =
det D, äquivalent zu
(4.32)
8f 2 H (U ) :
Z
D1
Re(f ) det D dx =
Z
D2
Re(f ) det D dx:
Es sei U~ := (U ). Da holomorph ist, ist ?1 ebenfalls holomorph und daher
: H (U~ ) ! H (U ), f 7! f eine Bijektion. Somit ist (4.32) äquivalent zu
(4.33)
8f 2 H (U~ ) :
Z
D1
Re(f ) det D dx =
Z
D2
Re(f ) det D dx:
Benutzt man jetzt auf beiden Seiten die Transformationsformel, so ist (4.33)
schlieÿlich äquivalent zu
(4.34)
8f 2 H (U~ ) :
Z
E1
Re(f ) dx =
Z
E2
Re(f ) dx:
Nun ist U~ einfach zusammenhängend und daher
fRe(f ) : f 2 H (U~ )g = P (U~ ):
Nach Satz 4.12 ist die Gleichung (4.34) also äquivalent zu (ii).
In der Praxis wir der Strom I oft durch Elektrodenpaare eingespeist, deren Oberäche im Verhältnis zu @ klein ist. Solche Einspeiseströme lassen sich
durch Punkteinspeisungen gut approximieren. Ist = D der Einheitskreis, so
ist das Potential uI bei Einspeisung in den Punkten p1; p2 2 S1, p1 6= p2 bis auf
Normierung gegeben durch
1
1
u(1)
(4.35)
x 2 D:
I (x) = ln jx ? p j ? ln jx ? p j ;
1
2
Liegen die Elektroden dicht beisammen, so ist auch die Dipoleinspeisung
hx ? p3; D (p3)i ; p 2 S1; x 2 D
u(2)
3
I (x) =
jx ? p3j2
eine akzeptable Näherung. Wir wollen überprüfen, daÿ für diese Einspeisungen
die Voraussetzungen von Satz 4.13 erfüllt sind.
Eine einfache Rechnung zeigt, daÿ für p = ei 2 S1 die Abbildung
(4.36)
z 7! (z ? p)?1
54
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
den Einheitskreis biholomorph auf die Halbebene
H := f 2 C : Re(ei ) < ?1=2g
abbildet. Die inverse Abbildung ist durch 7! (p + 1)= gegeben. Aus
1=(z ? p3) = (x ? p3)=jx ? p3j2; z := x1 + ix2 und D (p3) = ip3
folgt für die Dipoleinspeisung
? (2) (2) ip3
u(2)
I (z ) = Re (z ) ; := z ? p :
3
Nach dem gerade gesagten ist klar, daÿ (2) die Kreisscheibe dieomorph auf
(2)(D ) abbildet.
Ist p1 = ei1 , p2 = ei2 , so ist oensichtlich, daÿ wir stets einen Halbstrahl g# :=
ftei#; t > 0g nden können, der auÿerhalb des Abschluÿes von H 1 [ H 2 liegt.
Schlitzt man die komplexe Ebene entlang g# auf und wählt einen zugehörigen
komplexen Logarithmus log, so ist
? (1) (1)
1
1
u(1)
I (z ) = Re (z ) ; (z ) := log z ? p ? log z ? p :
1
2
Ist (1)(z1) = (1)(z2), z1; z2 2 D , so folgt durch Anwendung von exp
z1 ? p2 = z2 ? p2 :
z1 ? p1 z2 ? p1
Die Abbildung z 7! (z ? p2)=(z ? p1), z 6= p1 hat die Inverse 7! ( + )=( + ),
+ 6= 0 mit := ?p1=(p2 ? p1 ), := p2=(p2 ? p1 ), := ?1=(p2 ? p1),
= 1=(p2 ? p1). Aus der obigen Gleichung folgt also die Injektivität von (1)
auf D . Eine holomorphe Abbildung einer oenen Menge in C ist genau dann
regulär, wenn sie lokal injektiv ist (siehe zum Beispiel [11], Kapitel VI, Folgerung
zu Satz 7.2). Also ist (1) regulär und bildet D dieomorph auf (1)(D ) ab.
Nachdem wir in Abschnitt 4.1 zeigen konnten, daÿ die Gebietsableitungen für
einfach zusammenhängende Gebiete injektiv sind, ist es naheliegend zu fragen, ob
wir einen globalen Eindeutigkeitssatz für zusammenhängende und einfach zusammenhängende Gebiete beweisen können. Für das inverse Quellproblem existiert
das folgende Gegenbeispiel (aus [19]), das sich am einfachsten an einigen Bildern
erklären läÿt.
Wegen Satz 4.12 und der Mittelwerteigenschaft für harmonische Funktionen
ist klar, daÿ eine Kreisscheibe und ein Torus mit gleichem Flächeninhalt und
gleichem Schwerpunkt ein identisch äuÿeres Newton-Potential erzeugen. Wählt
man reelle Zahlen ", mit 0 < ? 1 < " < 1=2, 2 = (1 + ")2 ? "2 und deniert
man Mengen
1 := K (1; ") [ T (?1; ; 1 + "); 2 = K (?1; ") [ T (1; ; 1 + ");
Ein negatives Resultat für ein vereinfachtes Problem
55
mit K (z0; r) := fz 2 C : jz ? z0j 6 rg;
und T (z0; r1; r2) := fz 2 C : r1 6 jz ? z0j 6 r2g;
?
so ist daher v1 = v2 auf G := R2 n K (?1; 1 + ") [ K (1; 1 + ") .
?1
0
1
1
?1
0
1
2
Wir denieren Mengen D1; D2 C durch die schattierten Gebiete in der folgenden Abbildung.
D1
D2
Aus der Denition (4.25) ist unmittelbar ersichtlich, daÿ vD1 = vD2 auf G genau
dann gilt, wenn auch vD1nD2 = vD2nD1 ist. Aus D1 n D2 = 1 n 2 und D2 n D1 =
2 n 1 folgt jetzt vD1 = vD2 auf G.
D1 n D2 = 1 n 2
D2 n D1 = 2 n 1
Den Bildern entnimt man, daÿ D1 und D2 einfach zusammenhängend sind.
Es ist bereitet keine Schwierigkeiten den Beweis des Satzes 4.13 auf Gebiete mit Ecken zu übertragen, so daÿ man hieraus auch ein Gegebeispiel für das
Problem (4.24) erhält.
56
Das inverse Problem bei stückweise konstanter Leitfähigkeit
Dieses Gegenbeispiel legt die Vermutung nahe, daÿ für die Eindeutigkeit noch
zu fordern wäre, daÿ R2 n (D1 [ D2) zusammenhängend ist. Ein entsprechender
Beweis ist aber nicht bekannt. In [19] ndet man einen Eindeutigkeitsbeweis für
Gebiete, die sternförmig bezüglich ihres Schwerpunktes sind. Leider geht diese
Eigenschaft bei der Rücktransformation durch ?1 , wie in Satz 4.13, verloren.
Für unser ursprüngliches Problem erhält man, daÿ D1 = D2 aus u0D1 j@
= u0D1 j@
folgt, falls die transformierten Gebiete (Di ), i = 1; 2, sternförmig bezüglich ihres
Schwerpunktes sind. Dieses Kriterium ist aber wenig anschaulich und daher nicht
wirklich befriedigend.
5 Numerische Lösung des inversen Problems
In diesem Abschnitt werden numerische Verfahren zur Lösung des inversen Problems vorgestellt und mit synthetischen und gemessenen Daten erprobt. Bei den
gemessenen Daten handelt es sich um Aufnahmen am menschlichen Thorax aus
der medizinischen Anwendung der Impedanztomographie. Wir erläutern zunächst
die Datenaufnahme des Impedanztomographen, von dem die Meÿdaten stammen,
und gehen auf einige Details der Modellierung des direkten Problems in den Algorithmen ein. Anschlieÿend werden die Verfahren beschrieben und die aus den
Testdaten erzeugten Bilder präsentiert.
5.1 Datenaufnahme und Modellierung
Die in dieser Arbeit zur Erprobung der Rekonstruktionsverfahren verwendeten
Meÿdaten stammen von einem Impedanztomographen mit 16 Elektroden. Die
Stromeinspeisung erfolgt jeweils durch ein Paar benachbarter Elektroden. Aus
technischen Gründen können die stromführenden Elektroden nicht zur Spannungsmessung verwendet werden. Dies führt zu 14 linear unabhängigen Stromeinspeisungen und 104 Spannungswerten. Die Zuordnung der Meÿdaten zu den
einspeisenden- beziehungweise spannungsmessenden Elektroden zeigt die folgende Tafel.
I nV
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
I
2
I
3
1
I
4
2
14
I
5
3
15
27
I
6
4
16
28
39
I
7
5
17
29
40
50
I
8
6
18
30
41
51
60
I
9
7
19
31
42
52
61
69
I
10
8
20
32
43
53
62
70
77
I
11
9
21
33
44
54
63
71
78
84
I
12
10
22
34
45
55
64
72
79
85
90
I
13
11
23
35
46
56
65
73
80
86
91
95
I
14
12
24
36
47
57
66
74
81
87
92
96
99
I
15
13
25
37
48
58
67
75
82
88
93
97
100
102
16
26
38
49
59
68
76
83
89
94
98
101
103
104
Das Datum in der i-ten Zeile und der j -ten Spalte in der Tafel ist der Spannungswert zwischen Elektrode j und j + 1 (beziehungsweise 16 und 1, falls j = 16)
bei Stromeinspeisung zwischen den Elektroden i und i + 1. Das stromführende Elektrodenpaar ist durch ein 'I' gekennzeichnet. Bei Spannungswerten, die
nicht gemessen werden können, weil eine der Elektroden des Paares zur Stromeinspeisung benutzt wird, ist ein '' in der Tafel eingetragen. Die unterhalb der
Diagonalen bendlichen Spannungswerte liefern aufgrund der Reziprozität keine
neuen Informationen und werden deshalb nicht gemessen.
Bei der numerischen Implementierung des direkten Problems ist natürlich
eine möglichst groÿe Übereinstimmung zwischen mathematischer Modellierung
und tatsächlicher Messung wünschenswert. Wir werden verschiedene Annahmen
machen, die bei der Datenaufnahme in der Praxis verletzt sind. Die wichtigsten
sind in der folgenden Liste mit einer kurzen Begründung zusammengestellt.
58
Numerische Lösung des inversen Problems
(a) Es wird der zweidimensionale Fall R2 zur Berechnung des Vorwärtsabbildung herangezogen. Dies dient im wesentlichen der Vereinfachung des
Lösers für das direkte Problem (1.1).
(b) Wir werden voraussetzen, daÿ eine Kreisscheibe ist und die Elektroden
auf @ äquidistant verteilt sind. Bei den angestrebten Anwendungen in der
Medizin ist eine genaue Bestimmung der Randkurve @ und der Elektrodenpositionen mit inakzeptablem Aufwand verbunden, so daÿ diese Daten
für die Bilderzeugung nicht zur Verfügung stehen.
(c) Das Randwertproblem (1.1) modelliert den Fall einer isotropen Leitfähigkeit, während die Leitfähigkeiten von Körpergeweben in der Regel nicht
isotrop sind. In [25] ist gezeigt, daÿ eine nichtisotrope Leitfähigkeit durch
ihre Neumann-Dirichlet-Abbildung nicht eindeutig bestimmt ist.
(d) Die Modellierung der Stromeinspeisung durch die Vorgabe der NeumannRandwerte ist in der Nähe der stromführenden Elektroden ungenau. Bessere
Modelle sind erheblich komplizierter (siehe [26]) und benötigen eventuell
genaue Kenntnis der Charakteristika der verwendeten Elektroden.
Bei Verwendung eines derartig vereinfachten Modells ist es nicht möglich, aus
gemessenen Daten die absoluten Leitfähigkeiten in akzeptabler Qualität zu rekonstruieren. Zur Bilderzeugung verwendet man daher nach einer Idee von Barber
und Brown [3] zwei Datensätze. Nach der ersten Messung wird eine Veränderung
der Leitfähigkeit im zu untersuchenden Objekt abgewartet und dann der zweite
Datensatz aufgenommen. Anschlieÿend werden die relativen Spannungsänderungen als Ausgangsdaten für die Rekonstruktion der relativen Leitfähigkeitsände(1),
rungen im Objekt verwendet. Sind zwei Paare von Leitfähigkeitsverteilungen ref
(2), (2) mit identischer relativer Leitfähigkeitsänderung
(1) und ref
(1) ? (1)
(2) ? (2)
ref
ref
(5.1)
=
(1)
(2)
ref
ref
gegeben, so werden die zugehörigen relativen Spannungsänderungen im allgemeinen voneinander verschieden sein. Um zu gewährleisten, daÿ aus Leitfähigkeitspaaren mit (5.1) auch identische relative Spannungsänderungen resultieren, wird
in den Rekonstruktionsalgorithmen zusätzlich angenommen, daÿ die Leitfähigkeit in bei der ersten Messung ref konstant gewesen ist. Zur Modellierung des
Vorwärtsproblems wird die Normierung ref = 1 verwendet. Setzt man die Leitfähigkeit bei der zweiten Messung als = 1 + , 2 L1 (
), ?1 < an, so
ist gerade die relative Leitfähigkeitsänderung zwischen den beiden Messungen.
Bezeichnet man den Vektor der 104 relativen Spannungsänderungen mit v, so
erhält man eine modizierte Vorwärtsabbildung
7! v = (v;1; : : : ; v;104)T ; v;j := vj (?v (v)ref )j ; j = 1; : : : ; 104:
ref j
Beschreibung der Verfahren
59
Da die Spannungen linear von der Stromstärke abhängen, hat diese keinen Einuÿ
auf die relativen Spannungsänderungen. Auÿerdem kann man annehmen, daÿ die
Längeneinheit so gewählt ist, daÿ die Einheitskreisscheibe D ist.
Die geschilderte Vorgehensweise ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn sich
die Leitfähigkeiten im Objekt auch wirklich ändern. Bei den Anwendung in der
medizinischen Diagnostik, zum Beispiel der Beobachtung der Lungentätigkeit, ist
dies häug der Fall.
5.2 Beschreibung der Verfahren
Wir geben zunächst Beschreibungen der Verfahren, die zur Lösung des inversen
Problems inplementiert worden sind. Für alle Verfahren werden zunächst numerische Methoden zur Lösung von (1.1) benötigt. Aus diesen erhält man unmittelbar
eine Abbildung
F : ! R104; 7! v :
Hier bezeichnet einen geeigneten Parameterraum, durch den die Leitfähigkeitsänderungen beschrieben sind. Sind Spannungsänderungen v = (v;1; : : : ; v;104)T
gegeben, so wird die relative Änderungen der Leitfähigkeit als Lösung einer Minimierungsaufgabe
(5.2)
min kF () ? vkk + J ( );
2
k = 1; 2
bestimmt. Hierbei ist k:k eine Norm, J ein Strafterm, der der Regularisierung des
Problems dient, und ein positiver, reeller Regularisierungsparameter. Mit Ausnahme des in Abschnitt 5.2.2 geschilderten Verfahrens wird kk die `2-Norm und
k = 2 sein. Wir werden dann zur Lösung von (5.2) Newton-Methoden verwenden.
Allen hier vorgestellten Verfahren werden iterative Methoden zur Lösung der
Minimierungsaufgabe (5.2) zugrunde liegen. Es sind daher auch geeignete Abbruchkriterien für die Verfahren anzugeben. Bei Aufgaben dieser Art, bietet es
sich an, das Verfahren abzubrechen, wenn kF () ? v k1 kleiner als der Meÿfehler wird. Leider sind für den zur Messung verwendeten Tomographen keine
Abschätzungen der Meÿfehler bekannt. Auch kann es bei realen Messungen, zum
Beispiel aufgrund schlecht anliegender Elektroden, vorkommen, daÿ einige Messungen im Datensatz unbrauchbar sind. Der Fehler bei diesen Messungen wird
dann immer gröÿer als der Meÿfehler sein. Es ist daher versucht worden, das
Verfahren abzubrechen, wenn die Norm des Gradient des Fehlerfunktionals (5.2)
unterhalb eines geeignet klein gewählten " > 0 wird. Es war aber in keinem der
hier vorgestellten Verfahren möglich, " so zu wählen, daÿ bei die Verfahren bei
allen Testdaten weder zu lange iterieren noch zu frühzeitig abbrechen. In den numerischen Experimenten haben wir daher die Iteration per Augenschein verfolgt
und abgebrochen, wenn bei der Iteration keine wesentliche Änderung im Bild
mehr erkennbar war.
60
Numerische Lösung des inversen Problems
Weil die Konvergenz der Löser für die direkten Probleme jeweils aus Standardaussagen folgt, werden wir hierauf nicht weiter eingehen. Konvergenzbeweise
für die vorgestellten Methoden zur Lösung der inversen Probleme sind nicht gelungen.
5.2.1 Ein Tikhonov-regularisiertes Newton-Verfahren
Bei dem ersten Verfahren wird die Finite-Elemente-Methode, im folgenden FEM
genannt, zur numerischen Lösung des Vorwärtsproblems verwendet. Wir erläutern zunächst einige Details der verwendeten FEM. Weil wir dabei dem bekannten
Standard folgen, werden wir nur kurz auf die Wahl des Gitters und die verwendeten Ansatzräume für das Potential und die Leitfähigkeit eingehen.
Für die Gitterzerlegung bietet es sich an, die Kreisscheibe durch Polarkoordinatentransformation auf ein Rechteck abzubilden und dieses dann in kleinere
Rechtecke zu unterteilen. Da die stärksten Schwankungen des Potentials in der
Nähe der stromführenden Elektroden zu erwarten sind, sollte die Gitterunterteilung nahe des Randes feiner als nahe der Kreismitte sein. Die Unterteilung erfolgt
daher in Gebiete der Form
Ei;j := f(r cos ; r sin )T 2 R2 : i?n1 < r < ni ; 2 jm?i1 < < 2 mj i g;
i = 1; : : : ; n; j = 1; : : :mi; m1 6 m2 6 6 mn:
Um die auf dieser Zerlegung beruhende FEM einfach zu halten, haben wir stets
mi = mi?1 oder mi = 2mi?1 gewählt.
Die nebenstehende Abbildung zeigt
das zur Lösung des direkten Problems
verwendete Gitter. Es besteht aus 1532
Elementen. Für die Leitfähigkeiten setzen wir den Raum der über jedem Element konstanten Funktionen an. Weil die
Oberäche der Elektroden im Verhältnis zum betrachten Objekt in der Regel klein ist, wird angenommen, daÿ sich
jede Elektrode über die Auÿenkante eines Randelementes erstreckt. Der Strom
wird als konstant über die Elektrodenoberäche angesetzt. Zu dem Gitter deniert man den endlichddimensionalen Raum V derjenigen stetigen Funktionen
auf , deren Einschränkungen auf jedes Element in r und an bilinear sind.
Ersetzt man jetzt in der schwachen Formulierung (2.2') den Raum H 1(
) durch
V , so erhält man ein endlichdimesionales Gleichungssystem, das bei Wahl einer
geeigneten Basis von V dünn besetzt ist. Zur Berechnung der Vorwärtsabbildung
ist für jede der 14 Einspeisungen ein Gleichungssystem zu lösen. Da die Koezientenmatrix nicht von der Einspeisung abhängt, sind bei der Implementierung die
Beschreibung der Verfahren
61
in [14] dargestellten direkten Methoden den iterativen Verfahren zur Lösung des
Systems vorzuziehen. Die Spannungswerte werden als Dierenz der Mittelwerte
des Potentials über die beiden Elektrodenoberächen berechnet. Die Ableitungen der Spannungen nach den Leitfähigkeitswerten der Gitterelemente werden,
wie in Abschnitt 2.3 erläutert, mit der Formel (2.14) ohne erneutes Lösen eines
Gleichungssystems berechnet.
Bei der Tikhonov-Regularisierung wird für den Strafterm J in (5.2) die L2(
)Norm von verwendet. Eine Einführung in das allgemeine Konzept der Tikhonov-Regularisierung ndet man in [23]. Die Berechnung von erfolgt durch
Lösung des Minimierungsproblems
(5.3)
104
X
1
2 + k k2
min
E
(
)
;
E
(
)
:=
(
F
(
)
?
v
)
i
;i
2
2 i=1
2 L2(
):
Schlieÿlich beschreiben wir noch das Newton-Verfahren, das zur numerischen
Lösung von (5.3) verwendet wurde. Es seien E1; : : : ; EN , N = dim() die Elemente des Gitters der FEM. Eine L2(
)-orthonormale Basis von ist dann durch
(e1; : : : ; eN ) mit
ei = pj1Eij Ei ; i = 1; : : : ; N
gegeben. Der Gradient und die Hessische Matrix von E bei =
gegeben durch
(5.4)
rE() =
(5.5)
r2E() =
104 N nX
X
@Fi
k=1
N
i=1
104
k;l=1
oi=1
@ek
P e sind
;k k
o
()(Fi( ) ? vi) + ;k ek
2
( ) @Fi () + @ Fi ()(Fi( ) ? v;i)
@el @ek
@el@ek
X n X @Fi
+ k;l ek el:
Hier ist k;l das Kronecker-Delta-Symbol und ek el die Matrix, die in der k-ten
Zeile, l-ten Spalte eine 1 und sonst nur Nullen enthält. Ist ;0 eine gegebene
Näherung an die Lösung von (5.3), so berechnet man die durch einen NewtonSchritt verbesserte Lösung ;1 durch ;1 = ;0 + mit die Lösung von
r2E(;0) = ?rE(;0):
(5.6)
Wie allgemein üblich lassen wir in (5.6) die zweiten Ableitungen von F in (5.5)
weg, ersetzen also r2E() durch
r~ 2E( ) :=
104
N n X
X
@Fi
k;l=1
i=1
@Fi ( ) + oe e :
(
)
l
k;l k
@el @ek 62
Numerische Lösung des inversen Problems
Ist S := DF (;0) 2 R104N die Jakobi-Matrix von F bei ;0 bezüglich der Basis
fe1; : : : ; ek g und g := rE(;0), so wird das System (5.6) zu
(5.7)
(S T S + Id) = ?g:
Da es sich hier um ein N N -Gleichungssystem handelt, ist es für die Ezienz des
Verfahrens wichtig, die spezielle Struktur des Systems bei der Lösung zu nutzen.
Dazu berechnet man zuerst eine QR-Zerlegung
R
T
S = Q 0
mit Q 2 RN N orthogonal und R 2 R104104 eine obere Dreiecksmatrix. Dies
eingesetzt in (5.7) ergibt
RRT + Id 0 T
(5.8)
Q
0
Id Q = ?g:
Dieses System läÿt sich durch eine Cholesky-Zerlegung von RRT + Id lösen. Bei
Implementierung der QR-Zerlegung von S T durch die Householder-Methode wird
Q als Produkt von 104 Spiegelungen dargestellt. Für jede Spiegelung ist lediglich
der Normalenvektor der Spiegelungsebene zu speichern. Dadurch lassen sich alle
Operationen auf N N -Matrizen vermeiden.
Das Newton-Verfahren wird mit ;0 = 0 gestartet. Dies ist die Annahme,
daÿ zwischen den beiden Messungen keine Leitfähigkeitsänderung stattgefunden
hat. Dann wird nach dem oben beschriebenen Verfahren solange iteriert, bis die
berechnete Änderung , so klein geworden ist, daÿ sie bei einer Graustufendarstellung von nicht mehr erkennbar ist.
Es ist noch zu bemerken, daÿ es sich hier um ein restringiertes Minimierungsproblem handelt, weil > ?1 vorausgesetzt werden muÿ. In unseren numerischen Experimenten ist der Fall, daÿ während der Iteration Leitfähigkeitsänderungen kleiner als ?1 werden, nur bei Rekonstruktion von Gebieten mit groÿem
Leitfähigkeitskontrast aufgetreten. Bei den Daten aus der Praxis konvergiert das
Verfahren rasch und bedarf keiner Schrittweitensteuerung.
5.2.2 Ein Verfahren mit `1-Strafterm
Bei Verwendung der Tikhonov-Regularisierung erscheinen die Leitfähigkeitsänderungen in der Rekonstruktion in geglätteter Form. Dies führt insbesondere dazu,
daÿ bei stückweise konstantem die Kanten der Gebiete in den Bildern verwaschen und unscharf erscheinen. In [9] wurde vorgeschlagen, zur Rekonstruktion
von Funktionen mit Blockstruktur
X Z @ J ( ) = krk1 =
dx
i=1;2 @xi
Beschreibung der Verfahren
63
als Strafterm zu wählen.
Wir erläutern hier nur kurz die grundlegende Motivation für die Benutzung
dieses Strafterms und verweisen für eine genauere Analyse auf [9] und [1]. Ist die
Leitfähigkeitsänderung gegeben durch
=
n
X
k=1
ak 2 R
ak Dk ;
mit disjunkten, glatt berandeten D k und ist f 2 C 1(
), so gilt
J ( + f ) = J () + J (f ):
(5.9)
Hier ist zunächst J auf geeignete Funktionenräume zu erweitern, indem man r
im distributionellen Sinne auaÿt. Geht man davon aus, daÿ eine Rekonstruktion
~ von mit diesem Strafterm von der Form
~ =
(5.10)
n
X
k=1
bk Ek + ";
Ek ; " 2 C 1(
)
ist, so wird man aufgrund von (5.9) vermuten, daÿ " durch den Strafterm J klein
gehalten wird. Andererseits darf man erwarten, daÿ aus groÿen Abweichungen
zwischen bk Ek und ak Dk auch verhältnismäÿig groÿe Abweichungen in den zugehörigen Daten resultieren. Daher hot man, daÿ solche Abweichungen durch
den ersten Term in (5.2) verhindert werden. Natürlich sind dies heuristische Betrachtungen, weil die Zerlegung in (5.10) im allgemeinen nicht existiert.
Zur Diskretisierung der Leitfähigkeit ist wieder der Raum zu dem Gitter aus
dem vorherigen Abschnitt gewählt worden. Es seien E1; : : : ; EN und K1; : : : ; KM
die Elemente und die inneren Kanten des Gitters. Für i = 1; : : : ; M seien j1(i)
und j2(i), j1(i) < j2(i) die Indizes der beiden von Ki getrennten Elemente und
l(Ki) sei die Länge von Ki . Dann ist
(5.11)
J () =
M
X
i=1
l(Ki);j1(i) ? ;j2(i);
=
N
X
j =1
;j Ej 2 :
Deniert man
(5.12)
8
>
<?l(Ki); j = j1(i)
(rd)i;j := >l(Ki); j = j2(i) ;
:0;
sonst
i = 1; : : : ; M; j = 1; : : : ; N;
so wird (5.11) zu
(5.13)
J () = krd k1:
Numerische Lösung des inversen Problems
64
Hier ist kk1 die gewöhnliche `1 -Vektornorm. Weil J nicht dierenzierbar von
den Leitfähigkeitswerten auf den Elementen abhängt, ist die Minimierungsaufgabe (5.2) numerisch schwierig zu behandeln. Um wenigstens ein lineares `1-Problem
zu erhalten, haben wir für die Norm in (5.2) ebenfalls die `1 -Norm gewählt und
die Funktion F durch ihre Linearisierung S := DF (0) um = 0 ersetzt. Die
Linearisierung läÿt sich wie im vorherigen Abschnitt beschrieben aus der FEM
gewinnen. Prinzipiell kann für ihre Berechnung auch die Formel (3.24) verwendet werden, so daÿ man hier nicht an das Gitter einer FEM gebunden ist. Die
Minimierungsaufgabe (5.2) hat jetzt also die Gestalt
(5.14)
min kS ? v k1 + krd k1 :
2
Dieser Ansatz weicht von der in [9] gewählten Methode ab. Die grundlegende
Idee in dem zitierten Text ist es, krd k1 auf (v ) := f 2 : S = v g zu minimieren. Die Nebenbedingung S = v wird dort noch geeignet modiziert, um
(v ) 6= f0g zu sichern und die Abhängigkeit der Lösung von v zu regularisieren.
Für die Implementierung wird der Absolutbetrag in (5.11) für Argumente nahe 0
durch eine dierenzierbare Funktion ersetzt, um die aus der fehlenden Glattheit
von J resultierenden numerischen Schwierigkeiten zu umgehen. Zur Minimierung
ist dann die Methode des steilsten Abstiegs verwendet worden.
Bei numerischen Experimenten mit gemessenen Datensätzen führten Versuche, die Minimierungsaufgabe (5.14) ähnlich abzuhandeln, zu keinen befriedigenden Ergebnissen. Aus diesem Grund ist die `1 Minimierung mit dem in [6]
beschriebenen Verfahren ausgeführt worden. Im ersten Schritt berechnet es die
Lösung von
(5.15)
min kS ? v k22 + krd k22 :
2
Dann wird in den folgenden Iterationsschritten eine Folge erzeugt, die gegen eine
Lösung von (5.14) konvergiert. Ein Teil der mit dieser Methode erzielten Resultate
ist bereits in [17] veröentlicht worden.
5.2.3 Ein Verfahren für stückweise konstante Leitfähigkeiten
Ist bekannt, daÿ die gesuchte Leitfähigkeit zumindestens annähernd stückweise
konstant ist, so kann man die Lösungsmethode aus Abschnitt 3.1 zur numerischen
Berechnung des direkten Problems verwenden. Man bringt die a priori Information, daÿ Blockstruktur hat, dann nicht wie bei dem letzten Algorithmus durch
den Strafterm, sondern direkt durch die Wahl des Parameterraumes ein.
Bei der numerischen Implementierung erweist es sich als günstig, die Greensche Funktion
?
G(x; y) = ? 21 ln jx ? yj + ln x ? y=jyj2 + ln jyj :
(5.16)
Beschreibung der Verfahren
65
der Einheitskreisscheibe statt der Fundamentallösung als Kern der Einzelschichtpotentiale zu verwenden. Dadurch benötigt man bei der Darstellung des gebrochenen Potentials kein Einzelschichtpotential über den äuÿeren Rand S1 = @ D .
Anhand von
xjyj ? y=jyj 2 = jxj2jyj2 + 1 ? 2hx; yi > 0; x; y 2 D ; x 6= y
erkennt man, daÿ die Dierenz zwischen G und der Fundamentallösung des
Laplace-Operators analytisch und in beiden Variablen harmonisch auf D D
ist. Die Eigenschaften (3.22a)(3.22c) lassen sich leicht verizieren.
Wir erläutern die durch Verwendung der Greenschen Funktion entstehenden
Vereinfachungen wieder für den Fall eines einzigen Gebietes D D mit Leitfähigkeit a > 0. Es sei I 2 C?(S1), uI := L (1D ; I ) das zugehörige Potential bei
homogener Leitfähigkeit 1 und u := L (DnD + aD ; I ) die Lösung des Transmisionsproblems (3.3). Wir denieren Integraloperatoren
(S~D ')(x) :=
Z
G(x; y)'(y) ds(y); ' 2 C (@D); x 2 D ;
Z@D @G
(K~ D ')(x) :=
(x; y)'(y) ds(y); ' 2 C (@D); x 2 @D;
@D @x
und machen für ub := u ? uI den Ansatz
ub = v := S~D D mit D 2 C (@D):
Aus den Eigenschaften (3.22b), (3.22c) von G folgt
Z
Z
1
@v
1
(5.17)
@S1 (x) = ? 2 @D D ds; x 2 S und S1 v ds = 0
für beliebige Dichte D 2 C (@D). Aus der Randbedingung
@v+ ? a @v? = (a ? 1) @uI auf @D
(5.18)
@
@
@
erhält man analog zu (3.7), daÿ v genau dann (5.18) erfüllt, wenn D die Gleichung
a?1
(Id + cK~ D ) D = ?c @uI
(5.19)
auf
@D;
c
:=
@
a+1
löst. Für eine Lösung D dieser Gleichung überlegen wir uns zunächst @v=@ = 0
auf S1. Weil uI und v? in D harmonisch sind, ist nämlich
Z @uI Z v?
ds =
ds = 0
@D @
@D @
66
Numerische Lösung des inversen Problems
und aus (5.18) folgt somit
Z @v+
@ ds = 0:
@D
Weil v+ in D n D harmonisch ist, ist also
Z @v Z @v+
ds =
= 0:
@D @
S1 @
Nach (5.17) ist @v=@S1 konstant, und wegen der letzten Gleichung verschwindet
diese Konstante. Aus dem Eindeutigkeitsteil des Satzes 3.2 folgt jetzt v = ub,
wenn D die Gleichung (5.19) löst. Insbesondere ist v = 0 für eine Lösung D der
homogenen Gleichung (5.19), und wegen der Sprungbeziehungen ist dann auch
D = 0. Aus der Riesz-Theorie folgt jetzt, daÿ (5.19) eine eindeutige Lösung
besitzt.
Es seien jetzt endlich viele zusammenhängende und einfach zusammenhängende Gebiete D1; ; Dn D mit D j D und @Dj \ @Dk = ;, j; k = 1; : : : ; n,
j 6= k gegeben. Ist die Leitfähigkeit konstant gleich aj auf dem Gebiet
[
Dk ; j = 1; : : : ; n;
D^ j := Dj n
k:Dk Dj
so erhält man aus dem Ansatz
ub =
(5.20)
n
X
~
j =1
SDj
Dj
für die Dichten das Gleichungssystem
(5.21)
0
B
B
B
@
1
@ S~D2
@ S~Dn 0
1 0
~
c1KD1 c1 @D1 c1 @D1 C
B
D1
B
@ S~D1
B
c2 @ S~Dn C
~
B
C
D2 C
c
c
K
C
B
2
2
D
@
@
2
B
C
D
D
2
2
+
B
... C
B
C
.
.
.
A B ..
@
.
.
C
.
.
@
A
Dn
@ S~D2
@ S~D1
cn @Dn cn @Dn cn K~ Dn
1 0 c1 @uI 1
@D1
D1
B
@uI C
C
c
B
C:
2
D2 C
@
D2 C
B
=
?
... C
.
A B
@ ..@u C
A
Dn
cn @DIn
Hierbei ist cj := (aj ? ap(j))=(aj + ap(j)) und ap(j) die Leitfähigkeit in dem äuÿeren
der beiden Gebiete, die von der Kurve @Dj getrennt werden. Setzt man hier
die Hintergrundleitfähigkeit gleich 1, so stellen die Gröÿen aj ? 1 die relativen
Leitfähigkeitsänderungen dar.
Ähnlich wie oben kann man argumentieren, daÿ (5.21) eine eindeutige Lösung
besitzt und ub mit der Lösung D1 ; : : : ; Dn von (5.21) durch (5.20) dargestellt
wird. Sind die Randkurven @Dj , j = 1; : : : ; n analytisch, so sind die Kerne der
~
Integraloperatoren @@SDDkj , j 6= k ebenfalls analytisch. Es läÿt sich zeigen, daÿ auch
die Kerne von K~ D j analytisch sind. Für die Diskretisierung von (5.21) bietet
Beschreibung der Verfahren
67
sich daher die Nyström-Methode mit der Trapezregel an. Eine Beschreibung und
Fehleranalyse dieses Verfahrens ndet man in [23]. Zur Lösung des Vorwärtsproblems haben wir in dem Rekonstruktionsalgorithmus 32 Diskretisierungspunkte
auf jeder inneren Kurve verwendet.
Als ungebrochenes Potential uI haben wir das Potential
?
uI (x) = ? 21 ln jx ? p1j ? ln jy ? p2j
zur Einspeisung in den beiden Punkten p1, p2 gewählt. Hierbei sind p1; p2 2 S1
die Mittelpunkte der einspeisenden Elektroden. Der Spannungswert wird dann als
Potentialdierenz zwischen den Mittelpunkten der spannungsmessenden Elektroden berechnet. Die Quadratur zur Berechnung des Potentials nach (5.20) auf
dem äuÿeren Rand wurde ebenfalls mit der Trapezregel und denselben Diskretisierungspunkten wie das Nyström-Verfahren ausgeführt.
Ist die ungefähre Lage der zu rekonstruierenden Gebiete bekannt und sind
diese sternförmig, so kann man die Gebiete als
@Dj = fxj + rj (t)!j (t) : t 2 [0; 2)g; xj 2 Dj ;
cos t
N
(j ) X
(5.22)
0
!j (t) = sin t ; rj (t) = 2 + (mj) cos(mt) + m(j) sin(mt)
m=1
ansetzen.
Das
inverse
Problem
besteht dann in der Bestimmung der Parameter
(j )
(j )
(j )
(j )
0 ; : : : ; N und 1 ; : : : ; N , sowie den relativen Leitfähigkeitsänderungen a;j
in den Gebieten.
Ist die Lage der Gebiete unbekannt, so muÿ man Klassen von Kurven betrachten, bei denen die Parameter eine Bewegung der Gebiete in D zulassen. Wir
werden in den numerischen Experimenten in Abschnitt 5.3.2 den Fall eines einzigen Gebietes ohne a priori Informationen über die Lage des Gebietes betrachten.
Den Rand des Gebietes setzen wir dann als Ellipse der Form
a cos t
cos ? sin (5.23) @Dj = xm + R() b sin t ; xm 2 D ; R() = sin cos an. Die zu rekonstruierenden Kurvenparameter sind dann der Mittelpunkt xm,
die Längen der Halbachsen a, b und der Drehwinkel . Hier ist zu beachten, daÿ
der Drehwinkel im Falle a = b keinen Einuÿ auf die Kurve hat.
Für die Verwendung von Newton-Verfahren benötigt man auch die Ableitungen der Vorwärtsabbildung nach den zu bestimmenden Parametern. Prinzipiell
kann man hierfür die Charakterisierungssätze 3.3 und 3.4 verwenden. Die Berechnung der Ableitungen nach den Parametern, die die Kurve festlegen, mit Satz 3.4
erfordert wegen der Unstetigkeit (3.29c) des abgeleiteten Potentials einen Ansatz, der auch Doppelschichtpotentiale über die inneren Ränder @Dj enthält. Eine
Randintegralmethode für allgemeine Transmissionsprobleme des Typs (3.29) muÿ
68
Numerische Lösung des inversen Problems
daher ein Gleichungssystem lösen, das bei gleicher Anzahl von Diskretisierungspunkten, verglichen mit dem System (5.21), die doppelte Anzahl von Unbekannten enthält. Um dies zu vermeiden, sind in der vorliegenden Implementierung
zunächst die abgeleiteten Dichten D0 j durch Dierenzieren der diskretisierten
Version des Systems (5.21) berechnet worden. Dies erfordert im wesentlichen
das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Koezientenmatrix des Ausgangssystems. Die bereits zur Lösung von (5.21) berechnete LR-Zerlegung dieser
Matrix läÿt sich an dieser Stelle erneut verwenden. Für die Ableitung nach einem
Parameter der Kurve @Dk berechnet man anschlieÿend die Ableitung SD0 k durch
Dierenzieren des mit der Trapezregel diskretisierten Einzelschichtpotentialoperators. Das abgeleitete Potential erhält man dann in der Form
(5.24)
X
j
SDj D0 j
+ SD0 k
Dk :
Die Ableitungen nach den aj berechnen wir auf analogem Weg. Weil die SDj nicht
von den Leitfähigkeiten abhängen, verschwindet bei der Ableitung nach den aj
der zweite Term in (5.24).
Schlieÿlich ist auch für dieses Verfahren ein geeigneter Strafterm J für die
Minimierungsaufgabe (5.2) zu wählen. Zur Regularisierung P
in den Leitfähigkeitsänderungen bietet sich wieder das Quadrat der `2-Norm j (aj ? 1)2 an. Zur
Regularisierung in den Kurvenparametern ist allerdings ein Strafterm wünschenswert, der die Parameterwerte nicht direkt benutzt. Vielmehr sollten solche Gröÿen verwendet werden, die nur von @Dj abhängen, nicht aber von der jeweiligen
Parametrisierung der Kurve. Wir haben daher die Kurvenlänge l(@Dj ) zur Regularisierung verwendet. Betrachtet man die Vorwärtsabbildung als Funktion von
a1; : : : ; an und den Parametern p1; : : : ; pM , die die Kurven festlegen, so bestimmen wir die Lösung des inversen Problems durch das Minimierungsproblem
(5.25)
a min
;:::;aN kF (a1; : : : ; an ; p1 ; : : :
p11;::: ;pM
; pM ) ? vk2
+ 1
n
X
j =1
l(@Dj
)2 + 2
n
X
j =1
(aj ? 1)2:
Der Raum der zulässigen Parameter ist insbesondere bei der Kurvenklasse (5.22)
relativ kompliziert. Neben Dj D ist auch rj > 0 und @Dj \ @Dk = ;, j 6= k
sicherzustellen. Es hat sich aber gezeigt, daÿ bei geeigneter Wahl der Regularisierungsparameter 1, 2 nur Dj D in jedem Iterationsschritt explizit überprüft
werden muÿ.
Nach Wahl der Startkurven werden die aj zunächst auf den Wert 1 der Hintergrundleitfähigkeit gesetzt. Im ersten Schritt werden dann nur die Leitfähigkeitswerte aj bestimmt und die Kurven unverändert gelassen. In den Experimenten
zeigte sich, daÿ für die Minimierung eine Schrittweitensteuerung notwendig ist.
Resultate der numerischen Verfahren
69
Wir haben daher zur Lösung von (5.25) das Levenberg-Marquardt-Verfahren benutzt.
5.3 Resultate der numerischen Verfahren
Im folgenden werden wir die Rekonstruktionen der beiden Algorithmen aus 5.2.1
und 5.2.2 in Graustufenbildern darstellen. Um kontrastreiche Bilder auch bei
Ausgabe auf einem Laserdrucker zu erreichen, haben wir lediglich 8 Graustufen
verwendet. In den Kopfzeilen der Bilder benden sich jeweils die Angaben über
den verwendeten Algorithmus und die Wahl der Regularisierungsparameter. In
der Fuÿzeile der Bilder bendet sich die Anzahl der benötigten Iterationen und der
maximalen Leitfähigkeitskontraste in der Rekonstruktion oder, bei dem Gebietsrekonstruktionsverfahren aus 5.2.3, der Leitfähigkeitskontrast des Gebietes. Die
Graustufen erstrecken sich linear über den in der Fuÿzeile angegeben Leitfähigkeitsbereich eines jeden Bildes. Dabei zeigt, wenn nichts anderes gesagt ist, eine
dunklere Graustufe eine niedrigere Leitfähigkeit an. Wir bezeichnen mit L2min den
Tikhonov-regularisierten Algorithmus aus 5.2.1, mit L1min den L1-regularisierten
Algorithmus aus 5.2.2 und mit BFIT das Verfahren aus 5.2.3
5.3.1 Experimente mit synthetischen Daten
Wir testen die Verfahren zunächst an synthetisch erzeugten Daten. Zur Generierung der Daten haben wir die in Abschnitt 5.2.3 geschilderte Randintegralmethode mit 128 Diskretisierungspunkten benutzt. Um sicherzustellen, daÿ die Daten
im Rahmen der Rechnergenauigkeit exakt sind, sind die relativen Spannungsänderungen mit der Nyström-Methode auch für die Diskretisierungsstufen 16, 32,
und 64 berechnet worden. Bei allen hier verwendeten Datensätzen stimmten die
mit 64 und 128 Punkten erzeugten Spannungsänderungen in den ersten 5 Stellen
überein.
Um fehlerbehaftete Messungen zu simulieren, wurde für jeden Datensatz die
gröÿte auftretende relative Spannungsänderung kv k1 bestimmt. Dann wurde
mit der Formel
(5.26)
(~v)i = (v)i + 100" kv k1 i; i = 1; : : : ; 104
ein gestörter Datensatz v~ erzeugt. Die i sind dabei gleichmäÿig verteilte Zufallszahlen aus dem Intervall [?1; 1] und " ist der relative Fehler in Prozent.
Wir experimentieren mit bohnenförmigen Gebieten, die durch Randkurven
mit Parametrisierung
cos t
xm + G r(t) sin t ; t 2 [0; 2);
0:1 sin 2t
xm 2 D ; G > 0; r(t) = 1 + 01:9+cos0:t75+cos
t
Numerische Lösung des inversen Problems
70
begrenzt sind. Dabei bestimmen xm 2 D und G die Lage beziehungsweise die
Gröÿe des Gebietes. Im folgenden beschreiben wir die Daten durch Angabe von
Mittelpunkt xm und Gröÿe G des Gebietes.
Leitfähigkeitsänderung a = 100 (a ? 1) in Prozent bezüglich des Referenzdatensatzes.
Gröÿe des relativen Fehlers " in Prozent.
Der erste Datensatz wurde mit xm = (0:3; 0:0)T , G = 0:4, a = ?10% und
" = 5% erzeugt. Die Abbildung 1 zeigt die Originalkurve und die beiden mit
den Medien-Rekonstruktionmethoden erzeugten Bildern. Im mittleren Bild ist
deutlich zu erkennen, daÿ die Tikhonov-Regularisierung die Kanten des Gebietes verwischt. Bei nicht zu groÿen Leitfähigkeitskontrasten konvergiert L2min sehr
rasch, und schon das im ersten Iterationsschritt erzeugte Bild unterscheidet sich
nicht mehr wesentlich von dem nach drei Iterationsschritten. Dies ist ein Hinweis darauf, daÿ die Nichtlinearität der Vorwärtsabbildung in der Leitfähigkeit
nicht stark ausgeprägt ist. Wir werden dies weiter unten noch einmal durch Betrachtung der Vorwärtsabbildung veranschaulichen. Am dritten Bild erkennt man
deutlich, daÿ durch die Verwendung des L1-Strafterms das Gebiet schärfer dargestellt und das Rauschen abseits vom Zielobjekt deutlich reduziert wird. Das
Gebiet ist in beiden Rekonstruktionen gut lokalisiert, aber Rückschlüsse über die
genaue Form des Objekts lassen sich aus keinem der beiden Bilder gewinnen. Man
sieht, daÿ der Algorithmus L1min bestrebt ist, auch die Kanten des Zielobjektes
klein zu halten. Die genaue Form des Gebietes in der Rekonstruktion hängt daher
auch von dem zugrunde liegenden Gitter ab.
Zur Rekonstruktion mit BFIT haben wir die Kurvenklasse (5.22) mit Mittelpunkt xm = (0:3; 0:0)T und einem trigonometrischen Polynom 4. Grades als
radialer Abstandsfunktion gewählt. Wir studieren hier gleich den Einuÿ des Fehlers und zeigen in Abbildung 2 die Rekontruktionen bei den mit Fehlern " = 5%,
10% und " = 15% erzeugten Daten. Als Startkurve haben wir einen Kreis 0 > 0,
1 = 4 = 1 = = 4 = 0 verwendet. Die Startkurve ist im ersten Bild
schwach gestrichelt eingezeichnet. Die etwas stärker gestrichelte Linie ist die Originalkurve. Man sieht, daÿ BFIT die Form des Gebietes wesentlich besser rekonstruiert als die ersten beiden Algorithmen. Dies erklärt sich natürlich dadurch,
daÿ in dieses Verfahren die Information, daÿ die Leitfähigkeit stückweise konstant ist, direkt eingeht. Dadurch hat BFIT, im Gegensatz zu den über 1000
Leitfähigkeitswerten bei den ersten beiden Rekonstruktionsmethoden, lediglich 9
Kurvenparameter und die Leitfähigkeit anzupassen. Auÿerdem haben wir durch
die Wahl des Mittelpunktes xm auch die ungefähre Lage des Gebietes vorgegeben. Wie man sieht, ist die Rekonstruktion bei " = 15% noch relativ gut. Es
ist zu vermuten, daÿ die durch die Verwendung verschiedener Stromeinspeisungen relativ groÿe Datenmenge den Einuÿ des Fehlers reduziert. Wir haben dies
Resultate der numerischen Verfahren
Originalkurve
71
L2min , = 1:0
L1min : = 0:8
a = ?10%
3 It., ?10:4% 1:6%
5 It., ?11:1% 0:6%
Abbildung 1: Rekonstruktion des 1. Gebietes bei a = ?10%, " = 5%
BFIT
:
, 2
1 = 0 0005
= 0:002
BFIT
:
, 2
1 = 0 0005
= 0:002
BFIT
:
, 2
1 = 0 0005
= 0:002
4 It., a = ?9:7%
4 It., a = ?9:5%
4 It., a = ?9:3%
Abbildung 2: Rekonstruktion des 1. Gebietes bei a = ?10%, " = 5%, 10%, 15%
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
1 It., a = ?8:3%
1 It., a = ?7:9%
1 It., a = ?7:5%
Abbildung 3: Von BFIT bei a = ?10%, " = 5%, 10%, 15% im ersten Iterationsschritt erzeugte Kurven
72
Numerische Lösung des inversen Problems
aber nicht explizit veriziert, indem wir weniger als die gegebenen 14 Einspeisungen bei der Rekonstruktion verwendet haben. Diese Stabilität zeigt sich auch bei
L2min und L1min. Die Bilder dieser Verfahren bei " = 10%, 15% unterscheiden sich
nur unwesentlich von denen bei " = 5%. Auf ihre Abbildung haben wir deshalb
verzichtet.
Betrachtet man in die von BFIT im ersten Iterationsschritt erzeugten Kurven in Abbildung 3, so fällt auf, daÿ diese bei höherem Fehlerniveau zu oszillieren beginnen. Dies erklärt sich durch die Benutzung der Kurvenlänge l(@D)
als Strafterm in (5.25). Man rechnet nämlich leicht nach, daÿ für einen Kreis
0 > 0, 1 = = N = 1 = N = 0 die Ableitungen der Kurvenlänge
nach den Parametern 1; : : : ; N und 1; : : : ; N verschwinden. Daher werden
durch die von uns gewählten Regularisierung gerade die hohen Frequenzen der
radialen Abstandsfunktion r im ersten Schritt nicht bestraft. In den nachfolgenden Iterationsschritten führt der Strafterm l(@D) dann zu einer Glättung der
Kurve. Wählt man aber das Fehlerniveau oder den Grad des trigonometrischen
Polynoms gröÿer, so entstehen im ersten Schritt Verschlingungen der Randkurve.
In der Regel führt die weitere Iteration dann zu keinen brauchbaren Ergebnissen. Bei den weiter unten aufgeführten Rekonstruktionen aus realen Daten haben
wir nur trigonometrsche Polynome vom Grad 2 verwendet. Dabei sind Probleme
mit Verschlingungen nicht aufgetreten. Wir haben daher auf den Versuch verzichtet, durch Schrittweitensteuerung oder Einführung zusätzlicher Strafterme diesen
Eekt zu vermeiden.
Objekte am Rand der Kreisscheibe erzeugen gröÿere Spannungsänderungen
als solche, die in der Mitte liegen. Man wird daher erwarten, daÿ die Rekonstruktion für Objekte nahe des Randes besonders gut ausfallen. Die Abbildung 4
zeigt die Rekonstruktionen von BFIT, wenn der Mittelpunkt des Zielgebietes bei
xm = (?0:6; 0:0)T liegt. Gebietsgröÿe und Leitfähigkeitskontrast sind unverändert G = 0:4, a = ?10%. Die schwach gestrichelte Kurve im ersten Bild ist
wieder die Startkurve.
An dem ersten Bild erkennt man, daÿ nahe des Randes auch die Einbuchtung
des Gebietes nahezu perfekt rekonstruiert wird. Die folgenden beiden Bilder zeigen, daÿ nun auch die Anfälligkeit gegenüber dem Fehler " gröÿer ist. Dies hängt
damit zusammen, daÿ sich bei einem randnahen Gebiet bei Einspeisung und
Spannungsmessungen in der Nähe des Gebietes gröÿere Spannungsänderungen
ergeben. Dadurch wird die Amplitude des Fehlers (5.26) erhöht, und entsprechend wird der Anteil der Spannungswerte, die durch das Rauschen unbrauchbar
geworden sind, gröÿer. Somit reduziert sich der oben angesprochenen Eekt, daÿ
der Einuÿ des Fehlers durch die relativ groÿe Anzahl von Daten gemindert wird.
Die Abbildung (5) zeigt die beiden Rekonstruktionen des Gebietes mit L2min
und L1min. Die Verbesserung in der Darstellung der Form des Zielobjektes ist nur
geringfügig. Klar erkennt man auch wieder, daÿ L1min die Kanten des Gebietes
möglichst gerade entlang der Kanten des FEM-Gitters legt. Wir haben für dieses
Bild den Regularisierungsparameter so klein wie möglich gewählt, um diesen Ef-
Resultate der numerischen Verfahren
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
73
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
5 It., a = ?10:3%
5 It., a = ?10:5%
9 It., a = ?11:0%
Abbildung 4: Rekonstruktion des 2. Gebietes bei a = ?10%, " = 5%, 10%, 15%
L2min : = 1:0
L1min : = 0:25
3 It., ?11:2% 1:6%
4 It., ?12:9% 1:1%
Abbildung 5: Rekonstruktion des 2. Gebietes bei a = ?10%, " = 5%
BFIT
1 = 0:0005, 2 = 0:002
L2min : = 1:0
L1min : = 0:8
5 It., a = ?10:0%
3 It., ?10:6% 2:6%
4 It., ?12:0% 1:0%
Abbildung 6: Rekonstruktion des 3. Gebietes bei a = ?10%, " = 5%
74
Numerische Lösung des inversen Problems
fekt zu reduzieren. Trotzdem ist die Bohnenform auch aus diesen Bildern nicht
zu erkennen.
Die ersten beiden Algorithmen rekonstruieren erst dann auch die ungefähre
Form des eingeschlossenen Gebietes, wenn dieses relativ groÿ ist. Abbildung 6
zeigt die Bilder für das Gebiet xm = (0:0; 0:0)T , G = 0:65, a = ?10%
Schlieÿlich studieren wir noch den Einuÿ des Kontrastes auf die Rekonstruktionen. Das erste Bild in Abbildung 7 zeigt den Verlauf der relativen Spannungsänderungen bei variablem Leitfähigkeitskontrast für das erste zur Rekonstruktion
verwendete Gebiet bei einer Hintergrundleitfähigkeit von 1. Die auf der x-Achse
aufgetragenen Leitfähigkeiten erstrecken sich von 0 bis 2, die entsprechenden
relativen Leitfähigkeitsänderungen also von ?100% bis 100%. Aufgetragen sind
verschiedene Spannungsänderungen bei der Stromeinspeisung zwischen den Elektroden 2 und 3, bei der sich die gröÿten Spannungsänderungen ergeben haben.
Die mit Vi:j gekennzeichnete Kurve zeigt den Verlauf der relativen Spannungsänderung zwischen den Elektroden i und j . Die Lage der bei der Rechnung verwendeten Elektrodenmittelunkte entnimmt man dem zweiten Bild. Der Wert bei
a = 0 ist die Änderungen bei einem isolierenden Gebiet, für a ! 1 nähern sich
die Werte asymptotisch denen für ein perfekt leitendes Gebiet. Die Abbildung
bestätigt, daÿ die Kurven in einem Bereich von ?20% bis 20% annähernd linear
verlaufen. Verwendet man eine in der Leitfähigkeit um a = 1 linearisierte Vorwärtsabbildung, so entnimmt man dem Bild, daÿ diese die Wirkung negativer
Kontraste zu klein und die positiver Kontraste zu groÿ berechnet. Linearisiert
man in einem Algorithmus für das inverse Problem die Vorwärtsabbildung in der
Leitfähigkeit, so wird man daher erwarten, daÿ positive Kontraste zu klein und
negative zu groÿ in der Rekonstruktion erscheinen.
Bei den Rekonstruktionen mit BFIT zeigte sich, daÿ BFIT für beliebiges a
gute Ergebnisse liefert, wenn man bei groÿen negativen Kontrasten verhindert,
daÿ die von BFIT in den Iterationen gefundenen Leitfähigkeiten negativ werden. Aufgefallen ist, daÿ bei groÿen Kontrasten die Anfälligkeit für den Fehler "
zunimmmt. Nach unseren obigen Betrachtungen liegt es nahe, die Vorwärtsabbildung in BFIT durch ihre Linearisierung um a = 1 zu ersetzen und hierfür die
Formeln (3.21), (3.23) heranzuziehen. Für die Auswertung der Vorwärtsabbildung
sind dann nur Quadraturen auszuführen. Hierfür haben wir wieder die Trapezregel mit 32 Diskretisierungspunkten verwendet. Den so modizierten Algorithmus
bezeichnen wir im folgenden mit LBFIT. Bei kleinen Leitfähigkeitskontrasten
benötigen BFIT und LBFIT in der Regel gleich viele Iterationen und erzeugen
nahezu identische Bilder. Durch die vereinfachte Vorwärtsabbildung wird ein Iterationsschritt von LBFIT um ein vielfaches schneller ausgeführt als ein solcher
von BFIT.
Die Abbildungen 8 und 9 zeigen Rekonstruktionen des ersten Gebietes mit
einem Kontrast von ?50% beziehungsweise 50%. Bei den Bildern mit positivem
Kontrast haben wir eine inverse Graustufendarstellung gewählt. In Abbildung 9
stellt eine dunklere Graustufe also eine Gebiet mit höherem Leitfähigkeitskontrast
Resultate der numerischen Verfahren
75
150%
E7
100%
0.4
V
0.6
6:7;
0.8
V
1:6
?20%
11:12;
E4
E3
E2
E9
E1
E10
E16
E11
0.2
E5
E8
50%
0.0
E6
V
14:15;
1:8
V
2:0
E12 E E14
13
E15
16:1
Abbildung 7: Verlauf der Spannungänderungen bei Einspeisung durch E2, E3 und
variablem Kontrast
LBFIT
:
, 2
1 = 0 0005
= 0:002
L2min : = 4:0
L1min : = 0:8
6 It., ?80:1%
5 It., ?46:6% 7:1%
8 It., ?78:7% 9:4%
Abbildung 8: Rekonstruktion des 1. Gebietes bei a ? 50%, " = 5%
LBFIT
:
, 2
1 = 0 0005
= 0:002
L2min : = 4:0
L1min : = 0:8
4 It., 35:5%
4 It., ?8:0% 41:2%
8 It., ?1:9% 36:6%
Abbildung 9: Rekonstruktion des 1. Gebietes bei a = 50%, " = 5%
76
Numerische Lösung des inversen Problems
dar. Die Startkurve für LBFIT ist die gleiche wie in Abbildung 2. Die anhand der
Abbildung 7 prognostizierten Fehler im Leitfähigkeitskontrast bei Verwendung
von L1min und LBFIT treten deutlich in Erscheinung. Es ist aber bemerkenswert,
daÿ die von LBFIT gefundenen Kurven das Gebiet trotzdem in akzeptabler Weise
wiedergeben.
Bricht man L2min nach dem ersten Schritt ab, so erhält man ebenfalls ein in
der Leitfähigkeit linearisiertes Verfahren. Man erwartet daher für die im ersten
Schritt von L2min gefundenen Kontraste ein ähnliches Verhalten wie bei bei L1min.
Bei unseren Experimenten zeigte sich aber, daÿ die Tikhonov-Regilarisierung in
L2min dazu führt, daÿ auch positive Leitfähigkeitskontraste überschätzt werden.
Bei Experimenten mit einem Regularisierungsparameter = 1 war eine Unterschätzung positiver Leitfähigkeitskontraste im ersten Iterationsschritt erst bei
einem originalen Leitfähigkeitskontrast von über 400% Prozent zu bemerken. Generell neigt L2min dazu, die im Leitfähigkeitsprol vorhandenen Sprünge entlang
der Kanten zu glätten, dafür aber die Dierenz der Leitfähigkeitsänderung in
den beiden Gebieten zu überschätzen. Um diesen Eekt abzumildern, haben wir
bei der Erzeugung der in Abbildung 8, 9 gezeigten Bilder für L2min als Regularisierungsparameter = 4 gewählt. Man erkennt, daÿ die negative Leitfähigkeit
etwas besser wiedergegeben wird als die positive. Dies liegt daran, daÿ eine Änderung der Leitfähigkeit bei a = ?50% gröÿeren Einuÿ auf die Daten hat als bei
a = 50%. Daher ist der Einuÿ des Strafterms bei positivem Kontrast stärker
als bei einem gleichgroÿen Kontrast mit negativem Vorzeichen.
5.3.2 Rekonstruktionen aus Phantomdaten
Bei den Phantomdaten handelt es sich um Messungen, die speziell zum Testen
von Rekonstruktionsalgorithmen aufgenommen worden sind. Dazu wurde ein zylinderförmiger Trog mit elektrolytischer Flüssigkeit gefüllt und entlang einer zum
Zylinderboden parallelen Ebene Elektroden äquidistant angebracht. Die Referenzmessung wurde ohne Objekt im Zylinder aufgenommen. Danach wurde ein
kugelförmiges Objekt mit einer relativ zur Flüssigkeit um 30% reduzierten Leitfähigkeit eingebracht. Der Zylinder hat einen Durchmesser von 34cm und das
Zielobjekt einen Durchmesser von 6cm. Bei den hier zur Rekonstruktion verwendeten Daten wurden die weiteren Messungen bei einem Abstand der Kugel von
7, 9, 11 und 13cm vom Rand des Zylinders aufgenommen. Phantomdaten stellen
also ideale Meÿdaten dar, weil die am Anfang dieses Abschnitts erwähnten Modellierungsfehler soweit wie möglich durch den Versuchsaufbau eliminiert worden
sind.
Die rekonstruierten Bilder sind in Abbildung 10 aufgelistet. Die erste Spalte
enthält die von BFIT erzeugten Bilder, die zweite die von L2min und die dritte die
von L1min. Die schwach gestrichelte Linie im ersten Bild ist wieder der Startkreis,
mit dem wir die Iteration von BFIT in allen vier Fällen gestartet haben. In den
Bildern von BFIT ist die Lage des Zielobjekts getrichelt eingezeichnet. Für BFIT
Resultate der numerischen Verfahren
77
L2min
= 1:0
L1min
= 0:8
12 It., ?13:4%
3 It., ?11:8% 2:9%
4 It., ?14:3% 0:9%
9 It., ?12:4%
3 It., ?8:7% 2:4%
3 It., ?12:5% 1:3%
7 It., ?11:6%
2 It., ?5:9% 1:2%
3 It., ?8:0% 0:5%
BFIT
: , 2
1 = 0 04
= 0:28
6 It., ?11:3%
2 It., ?5:2% 0:6%
3 It., ?7:8% 0:3%
Abbildung 10: Rekonstruktionen aus Phantomdaten
78
Numerische Lösung des inversen Problems
haben wir als Randkurve diesmal die Ellipsen aus (5.23) angesetzt. Die Regularisierungsparameter für BFIT muÿten erhöht werden, um noch die Konvergenz
dieses Verfahrens in allen Fällen zu erreichen.
Zunächst einmal fällt auf, daÿ alle Rekonstruktionen den Kontrast erheblich
unterschätzen. Dies kann man damit erklären, daÿ bei den Messungen der Strom
auch auÿerhalb der Ebene der Elektroden ieÿt. Dadurch fallen die Spannungsänderungen kleiner aus, als sie von den zweidimensionalen Modellen vorausgesagt
werden. Dieser Eekt wird umso stärker, je weiter das Objekt vom Rand entfernt
ist. Hierbei dürfte es auch eine Rolle spielen, daÿ Objekte nahe des Zentrums
verhältnismäÿig kleine Spannungsänderungen liefern und daher der Einuÿ der
Regularisierung entsprechend groÿ ist.
Das Objekt wird in allen Rekonstruktionen gut lokalisiert. Die Tendenz von
2
Lmin, die Kanten zu verwischen, und von L1min, die Gebiete eckig darzustellen,
ist auch hier wieder deutlich abzulesen. Auch erkennt man die Neigung von L2min
zum Gegenschwingen. Bei einem Objekt mit negativer Leitfähigkeitsänderung
ndet L2min auch immer Regionen, die eine hierzu proportionale Leitfähigkeitsänderung in die umgekehrte Richtung aufweisen. Dieses Phänomen ist bei L1min
viel schwächer ausgeprägt. Weil die Leitfähigkeitsänderungen stückweise konstant
sind, liefert erwartungsgemäÿ BFIT die besten Rekonstruktionen. Bei der Bilderzeugung aus den Thoraxdaten im nächsten Abschnitt muÿten die Regularisierungsparameter für BFIT noch höher gesetzt werden, um akzeptable Ergebnisse
zu erhalten. Bei weiteren Experimenten hat sich gezeigt, daÿ BFIT mit diesen
Parametern für die ersten beiden am Trog gemessenen Datensätzen nicht mehr
konvergiert.
5.3.3 Rekonstruktionen aus Thoraxdaten
Als letztes zeigen wir Bilder aus Daten, die an einem menschlichen Thorax aufgenommen sind. Naturgemäÿ wissen wir bei diesen Daten nicht, was die Rekonstruktion idealerweise zeigen sollte. Aus diesem Grund zeigen wir Rekonstruktionen von zwei verschiedenen Meÿreihen. Die erste Folge von Messungen wurde
an einem aufrecht sitzenden Probanden vorgenommen. Anschlieÿend wurde eine
zweite Folge von Messungen aufgenommen, bei der die Testperson auf der rechten Seite lag. In der Seitenlage wird der rechte Lungenügel stärker beatmet als
der linke, und wir können überprüfen, ob wir diesen Eekt in den Bildern sehen
könnnen, die wir mit den hier vorgestellten Algorithmen erzeugen.
Die jeweils ersten Messungen in den beiden Lagen wurden als Referenzdatensätze verwendet. Sie sind bei einem mittleren Beatmungszustand aufgenommen.
Anschlieÿend atmete die Testperson spontan, also nicht betont tief, weiter. In Abständen von einer Sekunde wurden weitere Meÿdaten aufgenommen. Wir haben
jeweils Bilder aus den Messungen 19 nach der Referenzmessung erzeugt. Das
erste Bild in der ersten Zeile in Abbildung 11 zeigt die Orientierung des Körpers
in den Bildern. Der rechte Lungenügel bendet sich in den Abbildungen unten.
Resultate der numerischen Verfahren
79
Auÿerdem sind die Kreise eingezeichnet, mit denen BFIT gestartet worden ist.
Es zeigt sich, daÿ man bei den am Thorax gemessenen Daten stark regularisieren
muÿ, um noch brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Für BFIT haben wir in allen
Bildern 1 = 0:03 und 2 = 0:8 gewählt. Als radiale Abstandsfunktion wurde ein
trigonometrisches Polynom zweiten Grades gewählt. Um einen Eindruck von dem
Grad der Regularisierung zu vermitteln, zeigt das zweite Bild in der ersten Zeile
der Abbildung 11 die Rekonstruktion des ersten bohnenförmigen Gebietes aus
Abschnitt 5.3.1 mit diesen Parametern.
Das letzte Bild dieser Zeile zeigt das mit L1min erzeugte Bild der ersten Messung
in aufrechter Position. Man sieht, daÿ die Tendenz von L1min, die Gebiete eckig
darzustellen, bei dieser Anwendung der Impedanztomographie zu unakzeptablen
Ergebnissen führt. Bei der Bilderzeugung mit L2min traten groÿe Störungen in den
Bildpunkten auf, die an die Elektroden grenzen. In den meisten Fällen waren
die Leitfähigkeitänderungen in der Rekonstruktion in diesen Punkten wesentlich
gröÿer als die im Rest des Bildes. Auch L2min ist daher für die Bilderzeugung
bei den Thoraxdaten nur bedingt brauchbar. Wie oben erwähnt, unterscheidet
sich bei nicht zu groÿen Leitfähigkeitskontrasten bereits das im ersten Iterationsschritt von L2min erzeugte Bild nicht mehr wesentlich von den weiteren. Bei
den Experimenten mit den synthetischen Daten waren die von L2min und L1min
im ersten Schritt erzeugten Bilder bei nicht zu hohem Leitfähigkeitskontrast nahezu identisch. Bei den von L1min im ersten Schritt erzeugten Rekonstruktionen
trat das Problem der Störungen an den Elektroden nur in wesentlich schwächerer Form auf. Es scheint also so zu sein, daÿ der in (5.15) verwendete Strafterm
krdk22 die bei realen Messungen auftretenden Störungen besser unterdrückt als
die Tikhonov-Regularisierung. Zu Vergleichszwecken zeigen wir, neben den von
BFIT erzeugten Bildern, auch jeweils die von L1min mit = 6:0 im ersten Iterationschritt generierten Rekonstruktionen. In den Abbildungen 11 14 sind in
jeder Zeile die Bilder zu je drei aufeinander folgenden Messungen dargestellt. Die
obere Zeile enthält die Rekonstruktionen von BFIT, die folgende die von L1min zu
denselben Meÿzeitpunkten. Die Zahlen in der Fuÿzeile der von BFIT erzeugten
Bilder sind jeweils die Anzahl der Iterationen, der Kontrast im linken Lungenügel und der Kontrast im rechten Lungenügel. In den Abbildungen 11, 12 sind
die Rekonstruktionen bei aufrechter Lage und in 13, 14 die in Seitenlage abgebildet. Zur Darstellung des Atemzyklus würde es sich anbieten, für die von L1min
erzeugten Bilder eine über alle Meÿzeitpunkte einheitliche Graustufeneinteilung
zu wählen. Es ist dann an den Bildern unmittelbar zu erkennen, daÿ bei Messungen, in denen der Beatmungszustand der Lunge wieder annähernd denjenigen
während der Referenzmessung erreicht hat, die Kontraste klein sind. Um die von
Bilder von BFIT und L1min besser vergleichen zu können, haben wir hier aber die
Graustufendarstellung für L1min jeweils über die maximalen Werte jedes einzelnen Bildes erstreckt. Weil die Leitfähigkeitskontraste in den Abbildungen relativ
klein sind, haben wir auch LBFIT auf die Daten angewendet. Wiederum ergeben
sich im Vergleich mit BFIT nur marginale Unterschiede. Bei der Bilderzeugung
80
Numerische Lösung des inversen Problems
aus Thoraxdaten kann man oensichtlich ohne Qualitätsverlust den wesentlich
schnelleren Algorithmus LBFIT verwenden.
Die Atemzyklen sind in beiden Darstellungen klar zu erkennen. Auch der oben
beschriebene Eekt der unterschiedlichen Beatmung der Lungenügel in Seitenlage zeichnet sich deutlich ab. Die von BFIT konstruierten Gebiete grenzen in
der Regel die Regionen ein, in denen auch der Kontrast in den von L1min erzeugten Bildern am gröÿten ist. Auch die rekonstruierten Kontraste korrelieren gut.
Die Rekonstruktionen von L1min zeigen deutlich die groÿen Störungen, die durch
Meÿfehler und ungenaue mathematische Modellierung bedingt sind. Erkennbar
ist auch, daÿ L1min bei Abbruch nach dem ersten Schritt ähnlich wie L2min gegenschwingt. Durch die Einschränkung auf stückweise konstante Leitfähigkeiten
in BFIT werden diese Eekte vermieden. Bei den Anwendungen in der Medizin
möchte man aus den Bildern weitere Daten, beispielsweise die Schwerpunkte der
Lungenügel, ableiten. Bei Rekonstruktionsalgorithmen, die das Bild in Pixeln
liefern, müssen hierfür zunächst mit Konturerkennungsverfahren die Umrisse der
Lungenügel bestimmt werden. Ein weiterer Vorteil von BFIT und LBFIT ist es,
daÿ sich solche Daten aus den Kurven ohne Schwierigkeiten ableiten lassen.
Resultate der numerischen Verfahren
81
BFIT
linke Seite
Rücken
1 = 0:03, 2 = 0:8
L1min : = 1:0
11 It., a : ?8:3%
6 It., ?10:8% 7:7%
Brust
rechte Seite
9 It., 9:1%, 8:4%
6 It., 8:4%, 7:8%
10 It., 9:3%, 8:5%
?4:6%, 9:3%
?4:6% 8:4%
?4:7% 9:3%
Abbildung 11: Thoraxbilder, aufrecht sitzend, Messungen nach 1 3 Sekunden
Numerische Lösung des inversen Problems
82
14 It., ?3:9%, ?5:1%
10 It., ?6:2%, ?9:9%
8 It., ?6:3%, ?8:5%
?4:7%, 4:6%
?11:0% 8:0%
?9:0% 6:4%
19 It., 5:9%, 5:0%
7 It., 8:2%, 7:1%
7 It., 2:9%, 1:5%
?3:7%, 5:3%
?4:30% 8:1%
?2:0% 4:8%
Abbildung 12: Thoraxbilder, aufrecht sitzend, Messungen nach 4 9 Sekunden
Resultate der numerischen Verfahren
83
17 It., ?6:2%, ?8:4%
11 It., 2:7%, 3:6%
9 It., ?1:8%, ?5:3%
?9:2%, 2:4%
?2:1% 3:4%
?5:8% 0:8%
17 It., ?5:6%, ?9:5%
19 It., ?5:1%, ?6:1%
16 It., ?3:8%, 9:4%
?11:5%, 0:9%
?5:5% 1:4%
?4:5% 9:6%
Abbildung 13: Thoraxbilder, Seitenlage, Messungen nach 1 6 Sekunden
Numerische Lösung des inversen Problems
84
11 It., 1:5%, 14:0%
16 It., 3:0%, 12:3%
2 It., 0:0%, 0:6%
?5:0% 13:1%
?3:5% 11:8%
?3:0% 3:7%
Abbildung 14: Thoraxbilder, Seitenlage, Messungen nach 7 9 Sekunden
LITERATUR
85
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