Kapitel 15
Kalte und dichte Quantengase
Der Übergang vom normalen zum entarteten Gas findet statt, wenn die Teilchen anfangen,
sich zu überlappen. Das ist der Fall, wenn die thermische de-Broglie-Wellenlänge etwa dem
mittleren Abstand zwischen den Teilchen entspricht. Entarte Elektronen-Gase findet man
in sehr kalten Festkörpern oder in dichten weißen Zwergen. Entartete Neutronengase findet
man in den noch viel dichteren Neutronensternen. Der Übergang zu einem entarteten FermiGas findet nicht durch einen scharfen Phasenübergang statt. Für ein System von identischen
Bosonen ist die Situation eine andere. Man beobachtet einen Phasenübergang zwischen der
normalen Gasphase und der kondensierten Tieftemperaturphase.
15.1
Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas
Wir wollen die Eigenschaften eines nicht-relativistischen Fermi-Gases bei hinreichend tiefen
Temperaturen oder bei hinreichend hohen Dichten etwas genauer untersuchen. Ausgangspunkt ist das Resultat für die mittlere Anzahl Teilchen in einem durch die Energie εi charakterisierten Einteilchenzustand,
1
n̄i = β(ε −µ)
.
(15.1)
e i
+1
Für T → 0 oder β → ∞ ist dies eine Stufenfunktion
T →0
n̄i −→ θ(µ − εi )
(15.2)
Am absoluten Temperatur-Nullpunkt sind alle Einteilchenzustände bis zur Fermi-Energie εF =
µ besetzt und alle energetisch höher liegende Zustände unbesetzt. Die Fermi-Energie gibt die
höchste Energie an, die ein Teilchen in einem Fermi-Gas haben kann, wenn das System in
seinem Grundzustand ist.
178
15. Kalte und dichte Quantengase
15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas
179
n̄i
1
εF
εi
Die Fermi-Energie definiert über die Energie-Impuls Beziehung den Fermi-Impuls
εF =
p2F
.
2m
(15.3)
Das Resultat (14.66) für die (mittlere) Teilchendichte vereinfacht sich zu
Z εF
2
N=
D(ε)dε = D(εF )εF
3
0
und das Resultat (14.76) für innere Energiedichte des entarteten Fermi-Gases zu
Z εF
2
εD(ε)dε = D(εF )ε2F .
U=
5
0
(15.4)
(15.5)
Die Auflösung von (15.4) nach der Fermi-Energie führt zu folgender Beziehung zwischen
Fermi-Energie und Teilchendichte n:
εF =
h2 2/3
n
8ma
mit a =
gπ 2/3
6
,
(15.6)
beziehungsweise zwischen Fermi-Impuls und Teilchendichte
h
pF = √ n1/3 .
2 a
(15.7)
Die allgemeine Beziehung pV = 2U/3 ergibt mit (15.5) die thermische Zustandsgleichung am
absoluten Temperatur-Nullpunkt:
2
h2
p = nεF =
n5/3 .
5
20 ma
(15.8)
Der Druck des entarteten Fermi-Gases verschwindet also nicht wenn die Temperatur gegen
Null strebt. Für T = 0 ist er proportional zur Potenz 5/3 der Dichte.
Neben der Fermi-Energie und dem Fermi-Impuls führt man die Fermi-Temperatur, auch
Entartungstemperatur genannt, ein
kTF = εF
bzw. TF =
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
h2
n2/3
8kma
(15.9)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas
180
Teilchen in einem Ensemble der Temperatur TF haben im Mittel eine thermische Energie εF .
Die Bedingung für starke Entartung ist offensichtlich
T TF .
(15.10)
Mit (15.9) schreibt sich diese Bedingung auch gemäß
!2/3
2/3
TF
3π 1/2 3
=
λdB n
≈ λ3dB n
1.
T
4g
(15.11)
Die thermischen de Broglie Wellenlänge muss also deutlich größer als der typische Teilchenabstand sein, damit Entartung vorliegt.
Nun erwärmen wir ein Fermi-Gas, wobei wir aber deutlich unterhalb der Fermi-Temperatur
bleiben. Anstelle der Stufenfunktion als Verteilungsfunktion tritt dann eine „ausgewaschene
Stufenfunktion“ wie in der Figur dargestellt.
n̄i
1
von oben
nah unten:
kT
kT
kT
kT
kT
µ
= µ/3
= µ/5
= µ/10
= µ/20
=0
εi /µ
Für T > 0 sind nicht mehr alle Zustände mit Energien unterhalb µ besetzt. Umgekehrt gibt es
besetzte Zustände mit Energien oberhalb µ.
Sommerfeld-Entwicklung
Bei endlichen Temperaturen sind das großkanonische Potential, die Teilchenzahl und die innere Energie (in beliebigen Dimensionen) proportional zu den Integralen
Z ∞
Z ∞
βk
εk−1
xk−1
1
(+)
fk (z) =
dε
=
dx,
ϑ = βµ .
(15.12)
Γ(k) 0 eβ(ε−µ) + 1
Γ(k) 0 ex−ϑ + 1
(+)
In diesem Abschnitt betrachten wir Fermionen und können das Plus-Symbol an fk
sen. Wir betrachten hier etwas allgemeinere Integrale von der Form
Z ∞
ϕ(x)
Iϕ (θ) =
dx
x−ϑ
e
+1
0
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
weglas-
(15.13)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas
181
mit einer langsam variierenden Funktion ϕ und approximieren diese Integrale für tiefe Temperaturen β → ∞. Dies führt auf die Sommerfeld-Entwicklung in inversen Potenzen des bei
tiefen Temperaturen großen Parameters ϑ = βµ für die Integrale fk . Zunächst wählen wir den
Exponenten x − ϑ als neue Variable y, beziehungsweise setzen x = ϑ + y. Dann folgt
Z 0
Z ∞
ϕ(ϑ + y)
ϕ(ϑ + y)
Iϕ (ϑ) =
dy +
dy .
(15.14)
y +1
e
ey + 1
−ϑ
0
Im ersten Integral ersetzen wir y durch −y und benutzen dann
1
1
=1− y
.
−y
1+e
e +1
(15.15)
Danach finden wir
Iϕ (ϑ) =
Z
ϑ
0
ϕ(ϑ − y) dy −
Z
ϑ
0
ϕ(ϑ − y)
dy +
ey + 1
Z
∞
0
ϕ(ϑ + y)
dy .
ey + 1
Bis hierher haben wir noch nicht genähert. Nun wollen wir annehmen ϑ 1. Dann dürfen
wir im zweiten Integral die obere Integrationsgrenze ϑ durch ∞ ersetzen, da der Integrand
für große y exponentiell abfällt, und erhalten
Z ϑ
Z ∞
ϕ(ϑ + y) − ϕ(ϑ − y)
dy + O(e−ϑ ) ,
(15.16)
Iϕ (ϑ) =
ϕ(z) dz +
y +1
e
0
0
wobei wir im ersten Integral noch ϑ − y = z setzten. Für große ϑ dürfen wir auch die Funktion
ϕ in Potenzen von y entwickeln, da nur Funktionswerte in der Umgebung von y = 0 zum
Integral beitragen. Damit erhalten wir die Näherung
Z ϑ
Z ∞ 2n−1
X
y
2
(2n−1)
Iϕ (ϑ) ≈
ϕ(z) dz +
ϕ
(ϑ)
dy .
(15.17)
(2n − 1)!
ey + 1
0
0
n=1,2,3,...
Das verbleibende Integral wird im Anhang ausgerechnet. Es ist proportional zu eine BernoulliZahl B2n :
Z 2n−1
y
(−1)n−1 2n−1
dy
=
2
− 1 π 2n B2n .
(15.18)
y
e +1
2n
Die in den führenden Termen auftretenden Bernoulli-Zahlen sind
1
B2 = ,
6
B4 = −
1
,
30
B6 =
1
.
42
Somit nimmt die Reihenentwicklung (15.17) folgende Form an:
Z ϑ
X (−1)n
Iϕ (ϑ) ≈
ϕ(z) dz −
π 2n (4n − 2) B2n ϕ(2n−1) (ϑ) .
(2n)!
0
(15.19)
(15.20)
n≥1
Eingesetzt in die Entwicklung (15.17) erhalten wir
Z ϑ
π2
7π 4 000
31π 6 (5)
Iϕ (ϑ) ≈
ϕ(z) dz + ϕ0 (ϑ) +
ϕ (ϑ) +
ϕ (ϑ) + . . .
6
360
15120
0
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.21)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas
Für die spezielle Wahl ϕ = xk−1 /Γ(k) ist Iϕ gleich dem gesuchten Integral fk und
Z ϑ
ϑk
ϑ(k−m−1)
ϕ(z) dz =
und ϕ(m) (x)|x=ϑ =
.
Γ(k + 1)
Γ(k − m)
0
182
(15.22)
Setzen wir diese Resultate in (15.21) ein, dann erhalten wir die gesuchte Reihendarstellung
k
X
2n
ϑ
k
π
1 −
.
fk (ϑ) =
(−1)n (4n − 2)
· B2n
(15.23)
Γ(k + 1)
ϑ
2n
n≥1
Insbesondere haben die Funktionen f1/2 und f3/2 für große Argumente die Entwicklungen:
π2 1
7π 4 1
31π 6 1
ϑ3/2
1+
+
+
+ ... ,
(15.24)
f3/2 (ϑ) =
Γ(5/2)
8 ϑ2
640 ϑ4
3072 ϑ6
ϑ5/2
5π 2 1
7π 4 1
155π 6 1
f5/2 (ϑ)
1+
−
−
+ ... .
(15.25)
Γ(7/2)
8 ϑ2
384 ϑ4
21504 ϑ6
Die mittlere Teilchenzahl ist nun offensichtlich
gV
gV ϑ3/2
N = 3 f3/2 (ϑ) = 3
λdB
λdB Γ(5/2)
π2 1
1+
+ ...
8 ϑ2
.
Für das großkanonische Potential finden wir entsprechend
gV
gV ϑ5/2
5π 2 1
J = −kT 3 f5/2 (ϑ) = −kT 3
1+
−
.
.
.
.
8 ϑ2
λdB
λdB Γ(7/2)
(15.26)
(15.27)
Wir müssen noch das chemische Potential in ϑ = βµ durch die Teilchenzahl bzw. die Teilchenzahldichte ersetzen. Dazu dividieren wir (15.26) durch V und erhalten die Beziehung
π2 1
Γ(5/2) 3
3/2
ϑ
1+
+ ... =
λdB n ≡ `3 n .
(15.28)
2
8 ϑ
g
wobei wir, um die Notation einfach zu halten, die Hilfslänge ` ∝ λdB einführten. Diese formale Potenzreihe in 1/ϑ2 invertieren wir bis zur gewünschten Ordnung und erhalten ϑ als
Potenzreihe in (`3 n)−4/3 1:
ϑ = (`3 n)2/3 −
π2
1
π4 1
−
... .
12 (`3 n)2/3
80 (`3 n)2
(15.29)
Nun ersetzen wir ϑ in der Entwicklung (15.27) für das großkanonische Potential um den
Druck als Funktion der Teilchendichte, also die thermische Zustandsgleichung zu gewinnen,
2 3 2/3 π 2
1
π4 1
p = kT n
(` n) +
−
+ ... .
(15.30)
5
6 (`3 n)2/3
40 (`3 n)2
Mit der für ideale Quantengase gültigen Relation 3pV = 2U gewinnen wir die Abhängigkeit
der inneren Energie von der Teilchendichte, d.h. die kalorische Zustandsgleichung :
3 3 2/3 π 2
1
3π 4 1
U = kT N
(` n) +
−
+ ... .
(15.31)
5
4 (`3 n)2/3
80 (`3 n)2
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas
183
Die Entropie ist proportional zur Ableitung des großkanonischen Potentials bei konstantem
chemischen Potential,
∂J
V 5/2 π 2 1
7π 4 1
31π 6 1
S=−
=k 3ϑ
−
−
+ ... .
(15.32)
∂T µ,V
`
2 ϑ2
240 ϑ4
1792 ϑ6
Setzen wir für ϑ wieder die Reihenentwicklung (15.29) ein, dann finden wir
2
1
2π 4 1
1
π
247
−
+ ... .
S = kN
−
2 (`3 n)2/3
40 (`3 n)2 315 (`3 n)10/3
(15.33)
Für sehr kleine Temperaturen dominiert der erste Term, und
S ≈ kN
π2
1
∝T.
2 (`3 n)2/3
(15.34)
In Übereinstimmung mit dem dritten Hauptsatz verschwindet die Entropie am absoluten
Nullpunkt der Temperatur. In führender Ordnung ist die Wärmekapazität CV = T (∂S/∂T )V,N
gleich der Entropie und verschwindet ebenfalls linear mit der Temperatur.
Übung: Ersetzen wir die Dichte durch die Fermi-Energie, dann vereinfachen sich einige Resultate. Zeige, dass
!
εF
π 2 kT 2 π 4 kT 4
(15.35)
ϑ=
−
− ... .
1−
kT
12 εF
80 εF
Zeige weiterhin, dass daraus folgende Entwicklung für den Druck p = −J/V folgt,
!
2
5π 2 kT 2 π 4 kT 4
p = nεF 1 +
−
− ... .
5
12
εF
16 εF
(15.36)
Beim Studium des Verhaltens eines Fermi-Gases über den gesamten Temperaturbereich
muss man die auftretenden Integrale fk numerisch berechnen. Man kann zum Beispiel wie
folgt vorgehen. Zuerst bestimmt man die Werte {n} für vorgegebene Werte {ϑ} mit Hilfe der
Relation
1
n = 3 f3/2 (ϑ) .
(15.37)
λdB
Für jedes ϑ muss dazu das Integral f3/2 (ϑ) berechnet werden. Nun bestimmen wir für jedes ϑ
den Druck
kT
p = 3 f5/2 (ϑ) ,
(15.38)
λdB
ebenfalls mit Hilfe einer numerischen Integration. Für jedes ϑ kennen wir damit die Dichte n
und den Druck p und dies ergibt die gesuchte Abbildung n → p für jedes gewählte ϑ. In der
folgenden Figur sind die Integrale
Z
1
xk−1
fk =
dx
(15.39)
Γ(k)
ex−θ + 1
für k = 3/2 und k = 5/2 geplottet.
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.2. Fermi-Gase in Metallen
184
f5/2
f3/2
5
ϑ
−2
0
2
Die folgende Figur zeigt die thermische Zustandsgleichung für das Fermigas. Neben der numerischen Lösung sind auch die Näherungen O(n5/3 ) in grau, O(n1/3 ) in grün und O(n−1 ) in
blau eingezeichnet. (15.30)
p [kT /ℓ3 ]
10
numerish
bis O n5/3
f bis O n1/3
f bis O n−1
f
8
6
4
2
nf [1/ℓ3 ]
0
15.2
1
2
3
4
5
Fermi-Gase in Metallen
Alkalimetalle besitzen pro Atom ein Valenzelektron, das im Metall zu einem quasi-freien Leitungselektron wird. Die Konzentration der Leitungselektronen ist somit durch die Konzentration der Atome bestimmt. Wenn wir annehmen, dass sich die Leitungselektronen in guter
Näherung wie ein ideales Elektronengas verhalten, dann finden wir für die Fermi-Energie
εF =
2/3 2/3
~2
3π 2
ne .
2m
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.40)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.2. Fermi-Gase in Metallen
185
und daraus den Fermi-Impuls und die Fermi-Geschwindigkeit vF = (2εF /m)1/2 sowie die
Entartungstemperatur TF = εF /k. Beispiele sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Da die Entartungtemperatur typisch einige zehntausend Grad ist, ist für Zimmertemperaturen die Tieftemperaturnäherung T /TF 1 eine sehr gute Näherung.
Li
Na
K
Rb
Cs
Cu
Ag
Au
ne [1022 cm−3 ]
4.60
2.50
1.34
1.08
0.86
8.50
5.76
5.90
vF [108 cm s−1 ]
1.30
1.10
0.85
0.79
0.73
1.56
1.38
1.39
εF [eV]
4.7
3.1
2.1
1.8
1.5
7.0
5.5
5.5
TF [104 K]
5.5
3.7
2.4
2.1
1.8
8.2
6.4
6.4
Die spezifische Wärme bei konstantem Volumen ist die Summe der Beträge von den Elektronen und den Rumpfatomen, die zu Schwingungen im Gitter fähig sind. Bei niedrigen Temperaturen erwarten wir
CV = AT + BT 3 + . . . ,
(15.41)
Der Term linear in der Temperatur ist der Elektronenanteil und der kubische Term ist im
wesentlichen der Beitrag der Gitterschwingungen. Für ein ideales Fermi-Gas mit g = 2 ist
A=
π2
N kTF−1 .
2
(15.42)
Die folgende Tabelle zeigt den Vergleich zwischen den gemessenen Werten von A und den
Werten für ein ideales Fermi-Gas.
Li
Na
K
Rb
Cs
Cu
Ag
Au
A [mJ mol−1 K−1 ]
1.630
1.380
2.080
2.410
3.200
0.695
0.646
0.729
AR mJ mol−1 K−1 ]
0.75
1.14
1.69
1.97
2.36
0.50
0.65
0.65
A/AF
2.17
1.21
1.23
1.22
1.35
1.39
1.00
1.13
Man findet eine qualitativ gute Übereinstimmung zwischen den Werten A und AF . Die Abweichungen vom idealen Verhalten rühren von der Elektron-Elektron-Wechselwirkung sowie
der Elektron-Gitter-Wechselwirkung her.
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3
15.3. Weisse Zwerge
186
Weisse Zwerge
In der Astrophysik werden Sterne im Hertzsprung-Russell-Diagramm eingeordnet, in dem die
absolute Helligkeit MV über der inversen Temperatur dargestellten Spektralklassse aufgetragen wird. Die meiste Zeit ihres Lebens verbringen Sterne auf der Hauptreihe, in der sich auch
unsere Sonne, ein gewöhnlicher G-Stern, befindet. Bei einem Hauptreihenstern sind der Gravitationsdruck, der den Stern zusammendrückt, und der Druck des heißen Gases im Gleichgewicht. Es werden jedoch auch weitere Objekte beobachtet – die sogenannten
weißen Zwerge – die nicht durch den gewöhnlichen Gasdruck stabilisiert werden
können, da deren Gravitationsdruck viel
größer als der Gasdruck ist.
Zum Beispiel hat Sirius B, der von W.
A DAMS im Jahre 1925 als kompaktes Objekt identifizierte Begleiter von Sirius A,
bei immerhin 1.05 Sonnenmassen einen
Radius von nur 5160 km oder von 0.0074
Sonnenradien. Trotzdem beträgt seine effektive Temperatur nur Teff ≈ 27 000 0 K.
Die Stabilität der weißen Zwerge war ein
Rätsel, das von der klassischen Physik
nicht gelöst werden konnte sondern erst
von der Quantenphysik und zwar mit den
Methoden der Quantenstatistik. Die Erklärung der Stabilität geht auf F OWLER zurück, der zeigte, dass der Nullpunkts-Druck des
Elektronengases – ein reiner Quanteneffekt – für die Stabilität der weißen Zwerge verantwortlich ist. Die chemische Zusammensetzung von weißen Zwergen variiert und ist noch nicht in
allen Details bekannt. Zum Beispiel haben viele Kerne von planetarischen Nebel, dies sind
weiße Zwerge in ihrer Frühphase, keinen Wasserstoff mehr. Wenn weiße Zwerge abkühlen
beginnen sie zu kristallisieren. Die Kühlrate ist allerdings so langsam, dass die Zeit zur Bildung eines kristallinen Festkörper sehr groß ist.
Befindet sich ein kugelsymmetrischer Zwerg im hydrostatischen Gleichgewicht, dann ist
dp(r)
GM (r)
=−
ρ(r).
dr
r2
(15.43)
Es sei p̄ der mittlere Druck, ρ̄ die mittlere Dichte und R der Radius des Zwergs. Dann gelten
dp(r)
p̄
≈−
dr
R
und
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
GM (r)
GM
ρ(r) ≈ 2 ρ̄
2
r
R
(15.44)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3. Weisse Zwerge
187
Es folgt dann
p̄
GM ρ̄
p̄
Rs
≈
=⇒ f (ρ̄, T ) ≡ 2 ≈
,
2
R
R
ρ̄c
R
wobei Rs =
2GM
c2
(15.45)
der Schwarzschildradius des weißen Zwerges ist. Kollabiert ein Stern bis zu seinem Schwarzschildradius dann ist die Fluchtgeschwindigkeit v 2 = 2GM/R gerade gleich der Lichtgeschwindigkeit. Der Faktor Rs /R in (15.45) ist ein Maß für die Rotverschiebung eines Photons,
dass von der Oberfläche des Zwerges abgesandt wird. Das Verhältnis f (ρ̄, T ) von Druck und
Ruhemassendichte in (15.45), charakterisiert die Kompaktheit eines gravitativen Körpers. Es
ist ≈ 10−6 für die Sonne, ≈ 10−4 für weiße Zwerge und ≈ 1 für Neutronensterne.
Wird die Dichte eines Gases erhöht, dann nimmt der mittlere Abstand a zwischen den
Atomen ab. Die Elektronen können dann von Atom zu Atom tunneln und dies führt zu einer Verbreiterung der Energieniveaus. Das Linienspektrum geht in ein Kontinuum über und
wenn a kleiner als der Radius der K-Schale = C a0 /Z (mit Bohrradius a0 ) wird, dann werden
die Atome ionisiert. Der mittlere Abstand zwischen den Atomen wird durch die Massendichte
% bestimmt, so dass die Bedingung für Ionisation lautet
Amp Z 3
Amp
,
(15.46)
%= 3 ≥ 3
a
C
a0
wobei A die Massenzahl und mp die Protonenmasse bezeichnen. Für Dichten größer als
A Z4
· 10 g/cm3 ,
(15.47)
Z C3
ist die Materie vollständig ionisiert und bildet ein Elektron-Kern Plasma. Quantenmechanische Rechnungen ergeben den Wert C ≈ 6.
%0 =
Zur Entartung des Kern- und Elektronengases: In einer ersten Näherung behandelt man
die Elektronen und Kerne als Gas von nicht-wechselwirkenden Fermionen. Es sei N die Anzahl Teilchen im Volumen V . Für ein ideales klassisches Gas bei Temperatur T ist die Anzahl
Teilchen in einer Impulsschale
λ3dB −p2 /2mkT
e
4πp2 dp.
h3
Elektronen gehorchen dem Pauliprinzip und deshalb ist ihre maximal mögliche Anzahl im
räumlichen Volumen V und Impuls-Intervall [p, p + dp ] proportional dem Volumen der Impulsschale,
dNB = N
V
2 · 4πp2 dp .
(15.48)
h3
Der Faktor 2 berücksichtigt den Elektronenspin. Für kleine Energien E kT hat dNmax ≈
p2 dp die gleiche Impulsabhängigkeit wie dNB . Damit die klassische Boltzmannverteilung überhaupt realisiert werden kann muss offensichtlich gelten
dNmax =
dNB
dNmax
≤
dp
dp
bzw.
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
N λ3dB ≤ 2V
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3. Weisse Zwerge
188
Das Gleichheitszeichen markiert die Grenze zwischen dem klassischen idealen-Gas Verhalten und dem entarteten Fermigas. Diese wird erreicht für
n∗ =
N∗
2
= 3 .
V
λdB
(15.49)
Für ein Elektronengas ist die Grenzdichte
n∗e = 4.8 · 1015 T 3/2 cm−3
(T in 0 K).
(15.50)
Im Zentrum von Sirius B ist Tc ≈ 2.2 · 107 0 K und deshalb
n∗e ≈ 5 · 1026 cm−3 .
Die zentrale Massendichte in Sirius B ist %c ≈ 3.3 · 107 g/cm3 und ergibt
ne ≈
2
%c
≈ · 1031 cm−3 .
Amp
A
Die Elektronendichte ne ist viel größer als die Grenzdichte n∗e . Die Elektronen in einem weißen Zwerg sind also in guter Näherung vollständig entartet. Sie werden durch das Pauli-Verbot
zu höheren Impulsen gezwungen als der Maxwell-Boltzmann Verteilung entspräche. Für die
Protonen ist die Grenzdichte größer als np ≈ ne ,
n∗p =
m 3/2
p
m
n∗e ≈ 4.5 · 1031 cm−3 ,
und deshalb können wir sie als nicht-entartetes klassisches Gas behandeln..
Die Dichte des vollständig entarteten Elektronengases ist proportional zur dritten Potenz
des Fermi-Impulses,
8π
ne = 3
h
Z
0
pF
8π
pF
p dp = 3 p3F =⇒
=
3h
me c
2
Z%6
A
1/3
,
%6 =
%
106 g/cm3
.
(15.51)
Der Fermi-Impuls wächst mit zunehmender Dichte. Im Zentrum von Sirius B ist der FermiImpuls der Elektronen etwa me c. Dies bedeutet, dass nahe der Fermi-Kante die Elektronen
relativistisch sind. Für relativistische Elektronen ist die Beziehung zwischen Impuls und Energie
ε2 − (pc)2 = (mc2 )2 =⇒
dε
p
= c2 .
dp
ε
(15.52)
Die Änderung der Energie-Impuls-Beziehung gegenüber der nichtrelativischen Näherung εp =
p 2 /2m hat physikalische Konsequenzen.
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3.1
15.3. Weisse Zwerge
189
Das entartete relativistische Elektronengas
Das Pauli-Prinzip spielt eine wesentliche Rolle um weiße Zwerge gegen den Gravitationskollaps zu stabilisieren. Wir müssen die Elektronen deshalb als Quantengas behandeln und die
Maxwell-Boltzmann Verteilung durch die Dirac-Fermi Verteilung ersetzen. Wir haben auch
gesehen, dass die Elektronen in einem weißen Zwerg relativistisch sein können. Wir werden
also die relativistische Beziehung (15.52) zwischen Energie und Impuls zugrunde legen.
Ausgangspunkt unserer Untersuchungen sind die Formeln
Z
8πV
J = −kT log Zβ,µ = −kT 3
dp p2 log 1 + eβ(µ−εp )
h
Z
∂J
8πV
p2
N = −
= 3
dp
∂µ
h
1 + eβ(ε−µ)
(15.53)
(15.54)
für das großkanonische Potential und die mittlere Teilchenzahl. Der erste Faktor in der Impulsverteilung
8πp2 V
1
dN =
·
dp
(15.55)
h3
1 + eβ(εp −µ)
ist die maximale Zahl der Phasenraumzellen und der zweite Faktor ist der Auffüllfaktor. Für
T → 0 ist er entweder 0 oder 1, je nach Vorzeichen von ε − µ,
dN T →0 8πp2 V
−→
θ(µ − εp )
dp
h3
(15.56)
Alle Impulseigenzustände mit εp ≤ µ sind besetzt und alle Zustände mit höherer Energie
bleiben unbesetzt. Das chemische Potential ist also gleich der Fermi-Energie,
µ = εF .
(15.57)
Die Impulse mit εp = εF liegen auf der Fermi-Fläche und wie für nicht-relativistische Fermionen ist dies eine Kugeloberfläche. Alle Zustände innerhalb der Kugel sind besetzt, alle
Zustände außerhalb der Kugel sind unbesetzt. Damit ist die Teilchenzahldichte für T = 0
gegeben durch
ne =
p 3
Amp
8π 3
F
p
=⇒
%
=
n
=
%
,
e
∗
h3 F
Z
mc
%∗ = 106
A
g
·
.
Z cm3
(15.58)
Diese Beziehung erlaubte es uns, den Fermi-Impuls der Elektronen durch die im Wesentlichen von den Kernen herrührende Massendichte auszudrücken.
Zustandsgleichung: Nach einer partiellen Integration in (15.53) finden wir für den Druck des
Fermi-Gases
Z
8π
dε/dp
pe = 3 p3
dp.
(15.59)
3h
1 + eβ(ε−µ)
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3. Weisse Zwerge
190
Nach unseren früheren Abschätzungen sind Elektronen in weißen Zwergen hochgradig entartet und der Druck rührt im Wesentlichen von deren Nullpunktsbewegung. Wir setzen im
Folgenden also T = 0. Für das vollständig entartete Elektronengas mit relativistischer EnergieImpuls-Beziehung ist dann
Z pF
p4 c2
8π
p
dp.
pe = 3
3h 0
m2e c4 + p2 c2
Wir setzen x = p/me c und erhalten
Z
pe = p∗
xF
0
8x4
= p∗ · f (xF ),
(1 + x2 )1/2
(15.60)
wobei p∗ proportional zum Compton-Druck ist,
p∗ =
1 me c2
dyn
≈ 6 · 1015
.
24π 2 λ3e
cm2
(15.61)
Nun können wir den reskalierten Fermi-Impuls xF = pF /mc mit Hilfe von (15.58) durch die
Massendichte ersetzen und erhalten
(15.62)
pe = p∗ · f (%/%∗ )1/3 .
Für nicht-relativistische und relativistische Fermi-Impulse findet man folgende Entwicklungen für pe /p∗ :
pe
p∗
% 5/3 4 % 7/3
∼
−
+ ...
%∗
7 %∗
4/3
2/3
%
%
∼ 2
−2
+ ...
%∗
%∗
8
5
xF 1
xF 1.
(15.63)
Der Druck in einem weißen Zwerg kommt von der Nullpunktsbewegung der leichten Elektronen, so dass p ≈ pe . Die Masse kommt dagegen von den schweren Kernen.
Masse-Radius Beziehung Für % %∗ oder % %∗ erhalten wir in guter Näherung polytrope
Zustandsgleichungen
K 1+1/n
dp
K
d%
p=
%
=⇒
= %1/n
.
(15.64)
n+1
dr
n
dr
Für kleine Sterndichten bzw. nicht-relativistische Elektronen ist der Polytropenindex n = 3/2
und für große Sterndichten bzw. relativistische Elektronen ist n = 3. Es sei nun M (r) die
Masse innerhalb des Radius r. Die Massenerhaltung
dM (r)
= 4πr2 %(r)
dr
(15.65)
zusammen mit der hydrodynamischen Gleichgewichtsbedingung
dp(r)
GM (r)
=−
%(r)
dr
r2
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.66)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3. Weisse Zwerge
ergeben die Differentialgleichung
d r2 dp
d
= −G M = −4πGr2 %.
dr % dr
dr
191
(15.67)
Nach der Variablenänderung % = %c y n führt die Zustandsgleichung (15.64) auf
1 dp
dy
= K%1/n
.
c
% dr
dr
(15.68)
Reskalieren wir noch die radiale Variable gemäß
r=
α %(1−n)/n
x,
c
α=
K
4πG
1/2
dann ergibt sich die bekannte Emden’sche Differentialgleichung
1 d
2 dy
x
= −y n .
x2 dx
dx
,
(15.69)
(15.70)
Analytische Lösungen sind bekannt für n = 0, 1 und 5. Eine Randbedingung ist offensichtlich
y(x = 0) = 1. Um reguläre Lösungen zu erhalten fordern wir zusätzlich y 0 (x = 0) = 0. Man
kann zeigen, dass für n < 5 die reskalierte Dichte y(x) eine Nullstelle x0 besitzt. Diese definiert
den Sternradius R = αx0 . Benutzt man die Emden’sche Differentialgleichung dann findet
man für die Massenfunktion
Z r
M (r) = 4π
r2 %(r)dr = −4πα3 %c(3−n)/2n x2 y 0 (x).
(15.71)
0
Die Gesamtmasse des Sterns ist
M = −4πα3 %c(3−n)/2n x20 y 0 (x0 )
(15.72)
Der Sternradius
R = α%c(1−n)/2n x0
(15.73)
bestimmt offensichtlich die Massendichte in Zentrum des Zwergs, %c = %c (R, x0 ). Diese Beziehung setzen wir in (15.72) ein und erhalten
K n/(n−1) (1+n)/(n−1) 0
x0
y (x0 )R(3−n)/(1−n) .
(15.74)
M = −4π
4πG
Es folgt R3−n ∝ M 1−n oder
dR
1 − n −2/(3−n)
∝
M
.
dM
3−n
(15.75)
Für weiße Zwerge ist 1 < n < 3 und für diese Werte des Polytropenindex n nimmt der Radius
mit zunehmender Masse ab,
dR
< 0.
dM
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.76)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.3. Weisse Zwerge
192
Kleine Dichten: Für Zwerge mit Dichten klein gegenüber %∗ sind die Elektronen nicht-relativistisch
und der Nullpunktsdruck
8
p ≈ pe = p∗
5
%
%∗
5/3
3
=⇒ n = ,
2
K=
4p∗
5/3
%∗
,
nimmt relativ schnell mit der Dichte zu. Von der numerischen Lösung der Emdenschen Differentialgleichung findet man x0 = 3.65 und x20 y 0 (x0 ) = −2.71. Eingesetzt in (15.74) ergibt
sich
−3 5
2Z
R
M = 0.70
MSonne .
(15.77)
104 km
A
√
Nach (15.72) wächst die Masse mit zunehmender Dichte gemäß M ∼ %c , bis die Dichte %∗
erreicht ist. Mit zunehmender Masse schrumpft der weißer Zwerg.
Große Dichten: Für große Dichten (% ≥ %∗ ) werden die Elektronen im Zentrum ultra-relativistisch
und der Nullpunktsdruck wächst langsamer mit der Dichte an, als für nicht-relativistische
Elektronen,
4/3
%
8p∗
p ≈ pe = 2p∗
,
n = 3, K = 4/3 .
%∗
%∗
Von der numerischen Lösung der Emden’schen Gleichung findet man x0 = 6.90 und x20 y 0 (x0 ) =
−2.02. Eingesetzt in (15.74) ergibt sich
2
2Z
MCh = 1.46
MSonne .
(15.78)
A
Für hohe Dichten ist die Masse also unabhängig von der zentralen Dichte und erreicht eine
obere Grenze, die Chandrasekhar Masse MCh . Der Radius ist dann
−1/3 2/3
%c
2Z
4
R = 3.35 · 10
km.
(15.79)
3
6
A
10 g/cm
Für %c → ∞ werden alle Elektronen relativistisch und die Masse strebt gegen die Chandrasekhar Grenzmasse MCh . Diese hängt nur vom Verhältnis A/Z ab. Werden relativistische Elektronen dichter gepackt, können sie weniger Masse tragen als vorher. Im Falle einer Störung kann
der zusätzliche Fermi-Druck das Mehr an Gravitationsdruck nicht ausgleichen. Die Kompression setzt sich fort, bis mit einem Neutronenstern oder schwarzem Loch ein neuer Gleichgewichtszustand erreicht ist.
Löst man sich von der Polytropennäherung, dann findet man ganz ähnliche Resultate. Im
Grenzfall εF (r = 0) → ∞ erhält man die Grenzmasse
2
2Z
MCh ≈ 1.463 ·
MSonne .
(15.80)
A
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
193
Für 56 Fe (mit 26 Protonen) ist MCh ≈ 1.26 MSonne . Bei einer genaueren Behandlung der weißen
Zwerge berücksichtigt man noch die den negativen Druckbeitrag durch die Coulomb-Kräfte
der Ionen und Temperatureffekte aufgrund der nicht vollständigen Entartung. Der Wert der
Grenzmasse ändert sich nur unwesentlich.
15.4
Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
Das entartete Bose-Gas zeigt ein qualitativ anderes Verhalten als das entartete Fermi-Gas. Die
mittlere Anzahl Teilchen im Zustand mit Energie εi ,
n̄i =
1
eβ(εi −µ)
−1
(µ < 0)
(15.81)
strebt für alle εi > 0 gegen Null wenn die Temperatur gegen Null strebt. Also halten sich
bei tiefen Temperaturen die Teichen in den energetisch niedrigsten Zuständen mit εi → 0
auf. Wir erwarten, dass bei festgehaltener Teilchendichte das chemische Potential für T → 0
sehr klein wird, exp(−βµ) ≈ 1 und der Grundzustand mit einer makroskopischen Anzahl von
Teilchen besetzt wird. Beim Übergang von den Summen
X
X
X
n̄i ,
εi n̄i oder
Ji
(15.82)
i
zu den entsprechenden Integralen über die Impulse der Einteilchenzustände im Grenzfall
V → ∞ ist nun Vorsicht geboten. Die Zustandsdichte ist proportional zu ε1/2 und bei einem sorglosen Übergang zum Integral über die Einteilchen-Energien fallen die Zustände mit
verschwindender Energie heraus. Um dies zu verhindern zerlegen wir die Summe über einen
Beitrag von der mittleren Anzahl Teilchen im Grundzustand und dem Beitrag der Gasteilchen
in den angeregten Zuständen,
X
N = N0 + Ng ,
Ng =
n̄i .
(15.83)
i,εi >0
Der erste Beitrag ist
N0 =
g
e−βµ − 1
=g
z
,
1−z
z = eβµ < 1
(15.84)
während der zweite Term der normalen Materie wieder in gewohnter Weise in ein Integral
überführt werden kann, so dass
ng =
Ng
g (−)
= 3 f3/2 (z) .
V
λdB
Die Tatsache, dass das Bose-Integral
Z ∞
X zn
1
xk−1
(−)
fk (z) =
dx
=
Γ(k) 0 ex−ϑ − 1
nk
n
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.85)
(z < 1)
(15.86)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
194
bei x = 0 beginnt ist unproblematisch, da für k > 1 der Integrand am Ursprung verschwindet. Die Bose-Integrale wachsen monoton zwischen 0 und 1 und divergieren für z > 1. Sie
erreichen ihr Maximum bei z = 1, wo sie den Wert fk (1) = ζR (k) annehmen (wir schreiben
nun f anstelle von f (−) ). Die Funktionen mit k ≤ 2 haben bei z = 1 eine vertikale Tangente.
In der folgenden Abbildung sind die Bose-Integrale f3/2 und f5/2 geplotted.
Bose-Integrals
(−)
2.6124
f3/2
1.3415
f5/2
2.4
2.0
(−)
1.6
1.2
0.8
0.4
z
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Mit f3/2 ist auch die Dichte der Teilchen in den angeregten Zuständen nach oben beschränkt
g
ng ≤ nmax = 3 ζR (3/2) ∝ T 3/2 .
(15.87)
λdB
Überschreitet die Teilchendichte n die Grenzdichte nmax , dann müssen die überzähligen Teilchen den Grundzustand bevölkern. Für diesen Zustand gibt es keine obere Grenze für die
Teilchenzahl. Für n > nmax erhalten wir eine untere Schranke für die Dichte der Teilchen im
Grundzustand:
n0 = n − ng ≥ n − nmax .
(15.88)
Für genügend große Dichten oder genügend tiefe Temperaturen wird ein makroskopische
große Anzahl von Atomen in Grundzustand kondensieren. Wegen (15.84) ist für eine makroskopisches N0 die Fugazität ganz nahe bei 1,
z=
1
g
≈1−
.
1 + g/N0
N0
(15.89)
Im thermodynamischen Grenzfall divergiert bei konstanter Kondensatdichte n0 > 0 die Anzahl Teilchen im Grundzustand und z strebt gegen 1. Gleichzeitig nimmt ng seinen maximalen Wert nmax an.
Die Bedingung
!
n = nmax = gζR (3/2)
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(2πmkT )3/2
h3
(15.90)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
195
unterscheidet die Phase ohne und mit Kondensation im Grundzustand und definiert bei gegebener Dichte die kritische Temperatur
h2
Tc =
2πkm
n
g ζR (3/2)
2/3
,
(15.91)
unterhalb welcher die Bose-Einstein Kondensation im Grundzustand einsetzt. Eine interessante Größe ist die relative Häufigkeit der Kondensatteilchen für T < Tc . Die Teilchendichte ist
3/2
nach (15.91) proportional zu Tc und nmax ist nach (15.87) proportional zu T 3/2 . Deshalb gilt
n − ng
n0
=
n
n
V →∞
−→ 1 −
nmax
=1−
n
T
Tc
3/2
.
(15.92)
Das Kondensat trägt offensichtlich nicht zur inneren Energie bei und wir können in bekannter Weise von der Summen- zur Integration übergehen, so dass
U=
3kT gV
f (z) ∝ T 5/2 .
2 λ3dB 5/2
(15.93)
Für hohe Dichten dürfen wir f5/2 durch ζR (5/2) nähern.
Zustandsgleichung
Die kondensierten Teilchen haben verschwindenden Impuls und liefern keinen Betrag zu
Druck. Deshalb gilt weiterhin die Relation pV = 2U/3, so dass
p
g
= 3 f5/2 (z) .
kT
λdB
(15.94)
In der kondensierten Phase mit z = 1 ist der Druck dann unabhängig von der Teilchendichte,
p
g
= 3 ζR (5/2) .
kT
λdB
(15.95)
In der Gasphase können wir jedem negativen Wert der Fugazität mit (15.85) das (mit der Temperatur) reskalierte Volumen je Teilchen 1/(nλ3dB ) und mit (15.94) den (mit der Temperatur)
reskalierten Druck pλ3dB /kT zuordnen. Ähnlich wie für das klassische ideale Gas liegen diese
Größen auf einer universellen Kurve, die in der folgenden Abbildung gezeigt ist. Zum Vergleich haben wir die entsprechende Kurve für das klassische ideale Gas geplotted.
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
196
pλ3dB /kT
klassishes
ideales Gas
2
Phasenübergang
ζR (5/2)
1
Gasphase
kondensierte
0.5
Phase
1/ζR (3/2)
1.0
1.5
2.0
V /(N λ3dB )
Wir sehen hier sehr schön das nicht-klassische Verhalten für hohe Drucke.
Spezifische Wärme
Aus der Wärmekapazität des Gases erkennen wir, dass die Temperatur Tc einen thermodynamischen Phasenübergang kennzeichnet. Zur Bestimmung der Wärmekapazität benutzen wir
das großkanonische Potential. Zuerst berechnen wir die Entropie aus
∂J
,
(15.96)
S=−
∂T V,µ
und aus der Entropie dann die Wärmekapazität
∂S
CV = T
.
∂T V,N
(15.97)
Da hier die Konstanz der Teilchenzahl explizit gefordert wird, lässt sich die Wärmekapazität
nicht direkt als zweite Ableitung von J bestimmen, da J das chemische Potential und nicht
die Teilchenzahl als Argument hat. Dieser Umstand wird durch einen Korrekturterm berücksichtigt, und man erhält die Wärmekapazität ganz allgemein
∂S
∂N 2
∂N −1
CV = T
−T
.
(15.98)
∂T V,µ
∂T T,µ ∂µ T,V
Wir wollen diese allgemeine und nützliche Formel beweisen. Dazu leiten wir
S(T, N, V ) = S (T, µ(T, N, V ), V )
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.99)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
nach bei festem Volumen und fester Teilchenzahl nach T ab,
∂S
∂µ
∂S
∂S
=
+
.
∂T V,N
∂T V,µ
∂µ T,V ∂T V,N
197
(15.100)
Benutzen wir hier die Maxwell-Relation
∂S
∂N
=
∂µ T,V
∂T V,µ
(15.101)
für den zweitletzten Term, dann finden wir
∂µ
∂N
∂S
+T
.
CV = T
∂T V,µ
∂T V,µ ∂T V,N
(15.102)
Um den letzten Faktor umzuformen, betrachten wir
∂N
∂N
∂N
dT +
dV +
dµ
dN =
∂T V,µ
∂V T,µ
∂µ T,V
(15.103)
für konstante Teilchenzahl und Volumen, d.h. für verschwindende dN und dV . Nach Division
der resultierenden Relation durch dT ergibt sich
∂N
∂µ
∂N
+
.
(15.104)
0=
∂T V,µ
∂µ T,V ∂T V,N
Damit können wir den letzten Faktor in (15.102) durch Ableitungen der mittleren Teilchenzahl ausdrücken, und erhalten die gesuchte Relation (15.98). Man beachte, dass das großkanonische Potential und die zugehörige Entropie
gV
f5/2 (z)
λ3dB
gV 5
µ
S = S0 + k 3
f5/2 (z) −
f (z)
kT 3/2
λdB 2
= J0 − kT
J
(15.105)
(15.106)
Kondensatbeiträge aufweisen,
J0 = kT g log(1 − z)
und S0 = k
µ
J0
N0 −
kT
kT
,
(15.107)
ähnlich wie die Teilchenzahl
N = N0 +
g
f3/2 (z),
λ3dB
N0 =
gz
1−z
(15.108)
einen Kondensatanteil N0 aufweist. Wir wollen uns noch davon überzeugen, dass im thermodynamischen Limes die Kondensatbeiträge J0 und S0 langsamer als die Teilchenzahl und bei
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation
198
konstante Dichte dann auch langsamer als das Volumen anwachsen. Für große N0 folgt aus
der Beziehung N0 = N0 (z) nämlich sofort
g
log(1 − z) = log
− O (g/N0 )
N0
µ
N0 = −g + O (g/N0 )
kT
Die Beiträge von den Teilchen in den angeregten Zuständen sind extensiv und wachsen linear
mit dem Volumen. Im thermodynamischen Limes für die Dichten J0 /V und S/V tragen die
Kondensate dann nicht mehr bei.
In der Gasphase gibt es auch in endlichen Systemen keine Kondensatbeiträge und mit
Hilfe der Rekursionsrelation (14.72) erhält man
!
2
15k gV
3 f3/2 (z)
CV =
f5/2 (z) −
für T > Tc .
(15.109)
4 λ3dB
5 f1/2 (z)
Im klassischen Grenzfall z → 0 strebt fk (z) gegen z und deshalb konvergiert die spezifische
Wärme gegen den klassischen Wert
CV
15k f5/2 (z) 3 f3/2 (z)
3k
CV
=
=
−
−→
.
(15.110)
N
nV
4
f3/2 (z) 5 f1/2 (z)
2
In den kondensierten Phase entwickeln wir die Wärmekapazität in (15.98), worin wir die Potenziale J und S in (15.105) und (15.106) benutzen, in Potenzen von 1/V (dabei wird auch
die Volumenabhängigkeit von z benötigt) und erhalten im thermodynamischen Grenzfall das
einfache Resultat
15k gV
CV =
ζ(5/2) .
(15.111)
4 λ3dB
Division durch die Teilchendichte, ausgedrückt durch die kritische Temperatur, ergibt
CV
15k ζR (5/2) T 3/2
=
für T < Tc .
(15.112)
N
4 ζR (3/2) Tc
Die folgende Abbildung zeigt einen qualitativen Plot der spezifischen Wärme.
CV /kN
3
2
1
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
T /Tc
15. Kalte und dichte Quantengase
15.5. Hohlraumstrahlung
199
Der Knick bei Tc weist darauf hin, dass die Bose-Einstein-Kondensation ein thermodynamischer Phasenübergang ist.
15.4.1
Ultrakalte Gase
Flüssiges 4 He geht unterhalb des λ-Punktes, bei etwa 2, 2 K, in den superfluiden Zustand
über. Eine 4 He-Atom besteht aus 2 Protonen und 2 Neutronen und ist daher als Ganzes betrachtet ein Boson. Daher war es naheliegend, eine Verbindung zwischen der Bose-EinsteinKondensation und der Superfluidität von 4 He anzunehmen. Wenn man für die Dichte von
4 He % ≈ 145 kg m−3 und für die Atommasse m ≈ 4 m ansetzt, erhält man (15.91) eine Wert
p
von etwa 3, 1 K, was sehr dicht am tatsächlichen Wert des Übergangs zur Superfluidität ist.
Allerdings kann 4 He nicht als ideales Bose-Gas beschrieben werden, da die Teilchendichte so
hoch ist, dass die Wechselwirkung zwischen den Helium-Atomen nicht vernachlässigt werden kann. Tatsächlich gibt es viele Diskrepanzen zwischen den Eigenschaften von suprafluiden 4 He und den Vorhersagen für ein ideales Bose-Gas. Die Theorie des superfluiden Heliums
ist wesentlich komplizierter als die Theorie der Bose-Einstein-Kondensation.
Im Jahr 1995 gelang es erstmals, an einem realen physikalischen System die Bose-EinsteinKondensation zu realisieren. Dabei wurden stark verdünnt atomare Gase aus Alkalimetallen (Lithium, Natrium, Kalium, Rubidium, Caesium, Francium) verwendet. Diese werden in
Magnet- und Laserfallen eingefangen und gekühlt. Die Atomdichten in den Fallen liegen typischerweise im Bereich von 1011 bis 1015 cm−3 , also um viele Größenordnungen unter der
atomaren Dichte n ≈ 2 × 1022 cm−3 von 4 He. Dazu kommt, dass die Atome von Alkalimetallen wesentlich schwerer als die von 4 He sind. Ausgehend von (15.91) erwarten wir kritische Temperaturen im Bereich 10 nK bis 1 µK. Die Temperaturen, bei denen Bose-EinsteinKondensation beobachtet wurde, lagen tatsächlich im Bereich von 0, 5 bis 2 µK, wobei der
genau Wert von der Atomsorte (87 Rb, 23 Na und 7 Li) und von der in der Falle erreichten Teilchendichte abhängt.
15.5
Hohlraumstrahlung
Wir betrachten das elektromagnetische Strahlungsfeld in einem ideal reflektierenden Kasten.
Die Strahlung sei im thermischen Gleichgewicht mit der Materie in den Kastenwänden. Man
spricht in diesem Zusammenhang von einem schwarzen Körper. Die Untersuchungen von
Max Planck zur Schwarzkörperstrahlung markierten den Beginn der Quantenmechanik. Die
Quanten des Strahlungsfeldes sind die masselosen Photonen mit der relativistischen Beziehung zwischen Energie und Impuls,
ε = pc ,
(15.113)
————————————
A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.5. Hohlraumstrahlung
200
was der Dispersionsrelation ω = kc elektromagnetischer Wellen im freien Raum entspricht,
wenn die aus der Quantenmechanik bekannten Zuordnungen
ε = hν = ~ω
und p = ~k
(15.114)
vorgenommen werden. Photonen haben zwei Polarisationsfreiheitsgrade, so dass g = 2 ist.
Wegen der verschwindenden Ruhemasse der Photonen können diese in beliebiger Anzahl erzeugt oder vernichtet werden. Die Photonenzahl ist also keine Erhaltungsgröße und wir können für Photonen kein chemisches Potential einführen. Die Anzahl der Photonenzustände
mit Impulsbetrag zwischen p und p + dp ist
D(p) = 4π
2V 2
p dp
h3
(15.115)
und ihre mittler Besetzungszahl ist
N (p) =
1
epc/kT
−1
.
(15.116)
Mit pc = hν erhalten wir die mittlere Anzahl Photonen im Frequenzintervall [ν, ν + dν]
dNν =
8π 2
1
dν .
ν V hν/kT
c3
e
−1
Die mittlere Anzahl Photonen im Hohlraum ist dann
Z ∞
8π
ν2
N = 3V
dν .
c
ehν/kT − 1
0
(15.117)
(15.118)
Die Energie des Strahlungsfeldes ist gegeben durch die Plancksche Strahlungsformel
Z
8π
hν
U =V
%(T, ν) dν mit %(T, ν) = 3 ν 2 hν/kT
.
(15.119)
c
e
−1
Die folgende Figur zeigt die von Max Planck erstmalig abgeleitete spektrale Energiedichte %(T, ν) für drei verschiedene Temperaturen. Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt
die spektrale Energieverteilung der schwarzen Strahlung im gesamten Frequenzbereich richtig. RUBENS und K URLBAUM haben 1901 die verschieden Strahlungsformeln überprüft und
Plancks Formel für richtig befunden.
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A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
15. Kalte und dichte Quantengase
15.5. Hohlraumstrahlung
201
ρ
T1
T1 > T2 > T3
T2
T3
hν
RayleighJeans
hνmax ∼ T
Wien
Zur Berechnung der Photonenzahl und Energie im Hohlraum setzen hν/kT = x und erhalten
mit (siehe (14.70))
Z ∞ k−1
1
x
(−)
= fk (1) = ζR (k)
(15.120)
Γ(k) 0 ex − 1
das einfache Ergebnisse
N
2ζR (3)
=
V
π2
kT
~c
3
,
U
6ζR (4)
=
V
π2
kT
~c
3
kT .
(15.121)
Die Anzahl der Photonen wächst mit der dritten Potenz der Temperatur und die Energie mit
deren vierten Potenz. Sie verschwinden beide für tiefe Temperaturen T → 0. Wegen µ = 0 ist
das großkanonische Potential gleich der freien Energie,
X
F = kT
log 1 − e−εi /kT .
(15.122)
i
Für große Volumen dürfen wir die Summe durch ein Riemannsches Integral nähern,
Z ∞
8πV
F = 3 kT
dν ν 2 log 1 − e−hν/kT .
(15.123)
c
0
Die partielle Integration mit anschließender Variablensubstitution hν/kT = x führt auf
2V ζR (4) kT 3
4σ
k4 π2
4
F =−
kT
=
−
V
T
,
σ
=
.
(15.124)
π2
~c
3c
60c2 ~3
Aus der freien Energie können wir in bekannter Weise die Entropie ausrechnen
16 σ
∂F
S=−
=
V T3
∂T V
3 c
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A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.125)
15. Kalte und dichte Quantengase
15.6. Anhang: Zur Sommerfeld-Entwicklung
und genauso den Druck
p=−
∂F
∂V
=
T
4σ 4
T .
3c
202
(15.126)
Die aus freier Energie und Entropie berechnete innere Energie
U = F + TS =
4σ
V T4
c
(15.127)
ist natürlich identisch zum früheren Resultat in (15.121). Für das Photonengas ist die spezifische Wärme CV ∝ T 3 und verhält sich verschieden zur spezifischen Wärme eines Gases von
nicht-relativistischen identischen Bosonen.
15.6
Anhang: Zur Sommerfeld-Entwicklung
Zur Approximation des Integrals in (15.17) von 0 bis ∞ entwickeln wir den Integranden in
Potenzen von exp(−x). Wegen (14.71) sind die entstehenden Integrale proportional zu Fakultäten:
Z 2n−1 −x
Z
Z 2n−1
∞
∞
X
X
(−1)p−1
x
x
e
2n−1
p−1 −px
dx
=
dx
=
x
(−1)
e
dx
=
(2n
−
1)!
.
ex + 1
1 + e−x
p2n
p=1
p=1
Die letzte Summe ist genau die η-Funktion an der Stelle 2n. Dies kann noch durch die Riemannsche ζR -Funktion ausgedrückt werden,
η(s) = ζR (s) 1 − 21−s .
(15.128)
Die Integrale in (15.17) sind deshalb proportional zu Werten der Riemannschen ζR -Funktion,
Z 2n−1
x
(−1)n−1 2n−1
1−2n
dx
=
(2n
−
1)!
1
−
2
ζ
(2n)
=
2
− 1 π 2n B2n .
(15.129)
R
x
e +1
2n
In der letzten Gleichung benutzten wir, das ζR (2n) proportional zu der Bernoulli-Zahl B2n ist.
Ganz analog findet man für die Bose-Integrale
Z
∞
X
x2n−1
1
(2π)2n
dx
=
(2n
−
1)!
=
(2n
−
1)!
ζ
(2n)
=
(−1)n+1 B2n .
R
ex − 1
p2n
4n
p=1
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A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik
(15.130)
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