Aufgabe 7 Aufgabe 7 Aufgabe 7 E-Reader* Aufgabennummer: B_224 E-Reader E-Reader E-Reader Technologieeinsatz: E-Reader möglich £ erforderlich T Ein Ein Unternehmen Unternehmen bringt bringt einen einen neuen neuen E-Reader E-Reader auf auf den den Markt. Markt. Die Die nachstehende nachstehende Tabelle Tabelle bebeEin Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle in beschreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader schreibt die Entwicklung der Anzahl insgesamt (vonMarkt. AnfangDie an)nachstehende verkauften E-Reader Ein Unternehmen bringt einen neuender E-Reader auf den Tabelle in beschreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in einer bestimmten Region. einer bestimmten Region. schreibt die Entwicklung einer bestimmten Region.der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in einer bestimmten Region. Zeit in in Anzahl der der insgesamt insgesamt (von (von Anfang Anfang an) an) Zeit Anzahl Zeit in Anzahl der E-Reader insgesamt (von Anfang an) Wochen verkauften Wochen verkauften Zeit in Anzahl der E-Reader insgesamt (von Anfang an) Wochen verkauften E-Reader 1 179 1 179 Wochen verkauften E-Reader 1 179 2 364 2 364 1 179 2 364 3 674 3 674 2 364 3 674 4 981 4 981 3 674 4 981 5 1 310 5 1 310 4 981 5 1 310 6 1 700 6 1 310 700 5 6 1 700 7 2 055 7 2 700 055 6 1 7 2 055 8 2 280 8 280 7 2 055 8 2 280 9 2 470 9 2 470 8 280 9 2 470 10 2 500 10 2 470 500 9 10 2 500 11 2 540 11 2 500 540 10 11 2 540 12 2 545 12 2 545 11 12 2 540 545 12 2 545 a) Betrachtet Betrachtet man man nur nur die die 5 5 Zahlenpaare Zahlenpaare im im Zeitintervall Zeitintervall [3; [3; 7], 7], so so zeigt zeigt sich sich ein ein annähernd annähernd linealineaa) a) rer Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd lineaVerlauf. rer Verlauf. man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd lineaa) Betrachtet rer Verlauf. rer Verlauf. – – Ermitteln Ermitteln Sie Sie die die Regressionsgerade Regressionsgerade für für das das Zeitintervall Zeitintervall [3; [3; 7]. 7]. – Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3;im 7].Sachzusammenhang. – Interpretieren Interpretieren Sie Sie die die Steigung Steigung dieser dieser Regressionsgeraden Regressionsgeraden – im –– Ermitteln Sie die das Zeitintervall [3;im 7].Sachzusammenhang. Interpretieren SieRegressionsgerade die Steigung dieserfür Regressionsgeraden Sachzusammenhang. – Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang. b) b) Betrachtet Betrachtet man man nur nur die die ersten ersten 3 3 Zahlenpaare, Zahlenpaare, so so zeigt zeigt sich sich ein ein annähernd annähernd exponentieller exponentieller VerVerb) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Verlauf. Dieser kann durch lauf. Dieserman kann durch b) Betrachtet die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Verlauf. Dieser kannnur durch tt (t V1(t lauf. Dieser kann durch V tt V111(t t oder durch durch V1(t oder oder durch tt V ℯℯ oder durch V22(t (t tt ℯ V22(t t dargestellt werden. V (t ℯ dargestellt werden. 2 dargestellt werden. dargestellt werden. tt ... ... Zeit Zeit in in Wochen Wochen tV...(t),Zeit in Wochen V2(t) (t) ... ... Anzahl der der bis bis zur zur Zeit Zeit tt insgesamt insgesamt verkauften verkauften E-Reader E-Reader V (t), V Anzahl 1 t ... Zeit in Wochen V111(t), V222(t) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader V1(t), V2(t) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader – und V V2 annähernd annähernd denselben denselben Wachstumsverlauf Wachstumsverlauf – Erklären Erklären Sie, Sie, warum warum beide beide Funktionen Funktionen V V1 und – beschreiben. Erklären Sie, warum beide Funktionen V111 und V222 annähernd denselben Wachstumsverlauf – beschreiben. Erklären Sie, warum beide Funktionen V1 und V2 annähernd denselben Wachstumsverlauf –– beschreiben. Berechnen Sie Berechnen Sie die die Verdoppelungszeit Verdoppelungszeit in in diesem diesem exponentiellen exponentiellen Wachstumsmodell. Wachstumsmodell. – beschreiben. Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell. – Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell. * ehemalige Klausuraufgabe 4 4 E-Reader 2 c) Betrachtet man alle 12 Zahlenpaare, so lässt sich die Entwicklung der Anzahl der insgesamt verkauften E-Reader näherungsweise durch eine logistische Funktion V beschreiben: V(t) = 2 608 1 + 20,28 · ℯ –0,6151· t t ... Zeit in Wochen V(t) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader – Begründen Sie anhand der gegebenen Funktion, warum die Funktionswerte sich mit wachsendem t dem maximalen Wert 2 608 annähern. – Berechnen Sie, um wie viel der logistische Funktionswert V(8) vom gegebenen Tabellenwert bei 8 Wochen abweicht. In der nachstehenden Grafik sind die logistische Funktion V sowie deren Ableitungsfunktion V′ grafisch dargestellt. – Interpretieren Sie die Bedeutung der Koordinaten des Hochpunktes H der Ableitungsfunktion V ′ im Sachzusammenhang. Hinweis zur Aufgabe: Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. 5 öffentliches Dokument E-Reader 3 Aufgabe 7 (Teil B) E-Reader Möglicher Lösungsweg Möglicher Lösungsweg a) Ermitteln der Regressionsgerade mittels Technologieeinsatz: V(t) = 348,1 ∙ t – 396,5 t ... Zeit in Wochen V(t) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader In diesem Zeitraum werden nach diesem Modell pro Woche rund 348 Stück verkauft. b) Da 1,94 ≈ ℯ 0,662688, beschreiben V1 und V2 annähernd denselben Wachstumsverlauf. ln(2) = 1,045... ln(1,94) Die Verdoppelungszeit beträgt rund 1,05 Wochen. Verdoppelungszeit: T = c) Da für großes t der Wert ℯ – 0,6151 ∙ t gegen null geht, nähert sich der Nenner der Zahl 1 und V(t) damit 2 608. Funktionswert nach 8 Wochen: V(8) ≈ 2 272 Abweichung vom gegebenen Tabellenwert: 2 280 – 2 272 = 8 Der logistische Funktionswert weicht um ca. 8 Stück vom gegebenen Tabellenwert ab. Die 1. Koordinate von H ist nach diesem Modell derjenige Zeitpunkt, in dessen Nähe am meisten E-Reader pro Woche verkauft wurden. Die 2. Koordinate entspricht in etwa der Anzahl der verkauften E-Reader in dieser Woche. Lösungsschlüssel Lösungsschlüssel a) 1 × B: für die richtige Ermittlung der Regressionsgeraden 1 × C: für die richtige Interpretation der Steigung im Sachzusammenhang a) 1 × B: für die richtige Ermittlung der Regressionsgeraden b) 1 × D: für die richtige Erklärung, warum V1 und V2 annähernd denselben Wachstumsverlauf 1 × C: für die richtige Interpretation der Steigung im Sachzusammenhang beschreiben b) 1 × D: für die richtige Erklärung, warum V1 und V2 annähernd denselben Wachstumsverlauf 1 × B: für die richtige Berechnung der Verdoppelungszeit mithilfe der Funktion V1 oder V2 beschreiben c) 1 × D: für die richtige Begründung, warum sich die Funktionswerte mit wachsendem t dem 1 × B: für die richtige Berechnung der Verdoppelungszeit mithilfe der Funktion V1 oder V2 Wert 2 608 annähern c) 1 × D: fmaximalen ür die richtige Begründung, warum sich die Funktionswerte mit wachsendem t dem 1 × B: maximalen für die richtige Berechnung der Abweichung Wert 2 608 annähern 1 × C: für die richtige Interpretation 1 × B: für die richtige Berechnung der der Koordinaten Abweichungdes Hochpunktes im Sachzusammen1 × C: fhang ür die richtige Interpretation der Koordinaten des Hochpunktes im Sachzusammen- hang 11 öffentliches Dokument
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