55. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Olympiadeklasse 3

55. Mathematik-Olympiade
1. Stufe (Schulrunde)
Olympiadeklasse 3
Lösungen
c 2015 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.
www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.
550311 Lösung
6 Punkte
Wenn nur 2 Socken herausgeholt werden, könnte eine schwarz und eine weiß sein. Man hätte
also kein gleichfarbiges Paar. Es reichen aber 3 Socken.
Nehmen wir an, die erste Socke ist weiß, dann kann die zweite Socke auch weiß sein und man
hat zwei gleichfarbige Socken. Oder die zweite Socke ist schwarz, dann wird noch die dritte
Socke betrachtet. Ist sie weiß, hat man zwei weiße gleichfarbige Socken, ist sie schwarz, hat
man zwei schwarze gleichfarbige Socken. Der Fall, dass die erste Socke schwarz ist, ist analog.
Die gesuchte kleinste Zahl beträgt also 3.
1. Socke
weiß
2. Socke
ß
wei
ENDE
schw
a rz
schw
a rz
weiß
3. Socke
weiß
2. Socke s
chw
a rz
ENDE
schw
a rz
ENDE
ENDE
Lösungsvariante:
Bei zwei Socken kann eine weiß und die andere schwarz sein. Weil es nur zwei Farben gibt,
müssen von drei Socken mindestens zwei dieselbe Farbe haben.
550312 Lösung
8 Punkte
Es gibt insgesamt 68 unterschiedliche Lösungen. Hier einige Beispiele:
1
2
3
11
+
+
+
+
2
3
4
12
+
+
+
+
33
32
31
13
+
+
+
+
34
33
32
34
=
=
=
=
70
70
70
70
1
2
3
11
+
+
+
+
3
4
12
12
+
+
+
+
32
31
24
23
+
+
+
+
34
33
31
24
1
=
=
=
=
70
70
70
70
1
2
3
12
+
+
+
+
4
11
13
13
+
+
+
+
32
24
21
22
+
+
+
+
33
33
33
23
=
=
=
=
70
70
70
70
550313 Lösung
8 Punkte
Teil a)
Mädchen
Jungen
Gesamtzahl
Jahrgang
Klasse
1A
8
16
24
Klasse
1B
11
11
22
Klasse
2A
12
13
25
46
Klasse
2B
17
8
25
50
Klasse Klasse
3A
3B
11
9
13
14
24
23
47
Klasse
4A
8
13
21
Klasse
4B
14
9
23
44
Teil b) 46 + 50 + 47 + 44 = 187
Teil c) 8 + 11 + 12 + 17 + 11 + 9 + 8 + 14 = 90
Teil d ) 16 + 11 + 13 + 8 + 13 + 14 + 13 + 9 = 97 oder 187 − 90 = 97
Teil e) Im Jahrgang 2 sind 21 Jungen.
Teil f ) Jahrgang 4 verlässt die Schule, das sind 44 Schüler. Da zusätzlich 2 Kinder wegziehen
und im neuen ersten Jahrgang 49 Schüler hinzukommen, sind es dann (187 − 44 − 2 + 49 =)
190 Schüler.
550314 Lösung
10 Punkte
Teil a) Mögliche Spiegelgeraden:
Teil b)
Teil c)
550315 Lösung
8 Punkte
Teil a) Um eine Strecke von 3 cm abzumessen, musst du das Lineal mit der 1 an den
Anfangspunkt legen und bei der 4 die 3 cm kennzeichnen.
Um eine Strecke von 5 cm abzumessen, musst du das Lineal mit der 1 an den Anfangspunkt
legen und bei der 6 die 5 cm kennzeichnen.
Teil b) 11 cm und 13 cm lassen sich nicht abmessen.
2
Punktverteilungsvorschläge
Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch
für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer
einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der
Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde.
Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu
machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der
Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie
wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten.
Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil
der Punkte für Teillösungen beizubehalten.
Aufgabe 550311
Insgesamt: 6 Punkte
richtige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2 Punkte
nachvollziehbarer Lösungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Punkte
Aufgabe 550312
Insgesamt: 8 Punkte
Für jede richtige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Punkte
Aufgabe 550313
Teil
Teil
Teil
Teil
Teil
Teil
Insgesamt: 8 Punkte
a) je zwei richtige Angaben 1 Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Berechnung der Gesamtschülerzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
c) Berechnung der Anzahl der Mädchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
d) Berechnung der Anzahl der Jungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Nennung des Jahrgangs mit der kleinsten Anzahl an Jungen . . . . . . . . .. . . . . .
f) Berechnung der Anzahl der Schüler im neuen Schuljahr . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Aufgabe 550314
2
1
1
1
1
2
Punkte
Punkt
Punkt
Punkt
Punkt
Punkte
Insgesamt: 10 Punkte
Teil a) Für mindestens 7 richtige Buchstaben 1 Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2 Punkte
Für alle richtigen Buchstaben 1 Punkt
Teil b) Für jeden richtigen Buchstaben je 1 Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 Punkte
Teil c) Für jeden richtigen Buchstaben mit Zeichnung je 1 Punkt . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 Punkte
Aufgabe 550315
Insgesamt: 8 Punkte
Teil a) je richtig eingetragenem Wert 1 Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Punkte
Teil b) je richtig angegebenem Wert 2 Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Punkte
3

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