Unabhängigkeit von Ereignissen

VI Stochastik
Trainingsblatt
Unabhängigkeit von Ereignissen
1.Eine Laplace-Münze (Z = Zahl; W = Wappen) wird dreimal geworfen. Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge ihres Auftretens
notiert, also z. B. (W; Z; Z) oder (Z; W; Z).
a) Geben Sie die Ergebnismenge S und die angegebenen Ereignisse in aufzählender Schreibweise an.
S ={(;; ),(
A: „Es fällt höchstens einmal Wappen“; B: „Im ersten Wurf fällt Zahl“;
C: „Im dritten Wurf fällt Wappen“.
A={(;; ),(
};
B={(;; ),(
C={(;; ),(
}
};
};
A ° B = {
}; A ° C = {
}; B ° C = {
b) Welche zwei der Ereignisse A, B und C sind voneinander unabhängig?
P (A) =
; P (B) =
; P (C) =
; P (A ° B) =
; P (A ° C) =
; P (B ° C) =
P (A)·P (B) = ; P (A)·P (C) = ; P (B)·P (C) = ;
Damit gilt: Voneinander unabhängig sind die Ereignisse }.
.
2. a)Für eine zufällig ausgewählte Familie mit zwei Kindern betrachtet man die Ereignisse A: „Die Familie hat höchstens einen
Jungen“ und B: „Die Familie hat Kinder beiden Geschlechts“. Zeigen Sie unter der Voraussetzung der Gleichwahrscheinlichkeit
von Jungengeburten (J) und Mädchengeburten (M), dass die beiden Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.
b) Zeigen Sie, dass die Ereignisse A und B unabhängig voneinander sind, wenn man Familien mit drei Kindern betrachtet.
3. a)Von den unabhängigen Ereignissen
A und B sind zwei Einträge im Baumdiagramm bekannt. Vervollständigen
Sie zuerst das Baumdiagramm. Tragen
Sie anschließend alle fehlenden Einträge in die Vierfeldertafel ein.
b)Von den unabhängigen Ereignissen
P und H sind zwei innere Einträge
der Vierfeldertafel bekannt. Vervollständigen Sie zuerst die Vierfeldertafel. Tragen Sie anschließend alle
fehlenden Einträge in das Baumdiagramm ein.
0,3
A
_
B
_
B
B
B
 
A
_
A
 
Å
B
_
A
0,2
H
P
_
P  
9
 _
20  
_
B
H
P
_
H
_
H  
3
_
 10  
_
P
Å
H
_
H
4.Ein Unternehmen hat insgesamt 1680 Mitarbeiter, darunter 760 Frauen und 920 Männer. Die Tabelle zeigt, wie viele Frauen
bzw. Männer jeweils eine Lesehilfe (Brille oder Kontaktlinsen) tragen. Ein Mitarbeiter wird zufällig ausgewählt.
Untersuchen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Mitarbeiter eine Lesehilfe trägt, vom Geschlecht abhängig ist.
Frauen (F)
_
Männer ( F   )
Lesehilfe (L)
Keine
_
Lesehilfe ( L   )
266
322
494
598
_
5. Es ist bekannt, dass P (A) = 0,3; P ( _
B   )= 0,8 und P ( A   ° B )= 0,15. Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig?
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VI Stochastik
Trainingsblatt
Unabhängigkeit von Ereignissen – Lösungen
1.Eine Laplace-Münze (Z = Zahl; W = Wappen) wird dreimal geworfen. Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge ihres Auftretens
notiert, also z. B. (W; Z; Z) oder (Z; W; Z).
a) Geben Sie die Ergebnismenge S und die angegebenen Ereignisse in aufzählender Schreibweise an.
S = {( Z ; Z ; Z ),( Z; Z; W), (Z; W; Z), (W; Z; Z), (Z; W; W), (W; Z; W), (W; W; Z), (W; W; W)
A: „Es fällt höchstens einmal Wappen“; B: „Im ersten Wurf fällt Zahl“;
C: „Im dritten Wurf fällt Wappen“.
A = {( Z ; Z ; Z ),( Z; Z; W), (Z; W; Z), (W; Z; Z)
};
B = {( Z ; Z ; Z ),( Z; Z; W), (Z; W; Z), (Z; W; W)
C = {( Z ; Z ; W ),( Z; W; W), (W; Z; W), (W; W; W)
};
};
A ° B = { (Z; Z; Z), (Z; Z; W), (Z; W; Z)
}; A ° C = { (Z; Z; W)
b) Welche zwei der Ereignisse A, B und C sind voneinander unabhängig?
3
4
4
4
_
P (A) = 
; P (B) = _8  ; P (C) = _8  ; P (A ° B) = _8  ;
8 
1
1
1
_
_
_
P (A)·P (B) = 4  ; P (A)·P (C) = 4  ; P (B)·P (C) = 4  ;
}
Damit gilt: Voneinander unabhängig sind die Ereignisse B und C
}; B ° C = { (Z; Z; W), (Z; W; W)
1
P (A ° C) = _8 
;
2
}.
1
P (B ° C) = _8  = _ 4 
.
2. a)Für eine zufällig ausgewählte Familie mit zwei Kindern betrachtet man die Ereignisse A: „Die Familie hat höchstens einen
Jungen“ und B: „Die Familie hat Kinder beiden Geschlechts“. Zeigen Sie unter der Voraussetzung der Gleichwahrscheinlichkeit
von Jungengeburten (J) und Mädchengeburten (M), dass die beiden Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.
S = {(J; J), (J; M), (M; J), (M; M)};
A = {(J; M), (M; J), (M; M)}; B = {(J; M), (M; J)}; A ° B = {(J; M), (M; J)};
3
3
2
2
_
_
_
P (A) =  4  ; P (B) =   4  ; P (A)·P (B) =  8  ; P (A ° B) =  _4 ≠ P (A)·P (B)
b) Zeigen Sie, dass die Ereignisse A und B unabhängig voneinander sind, wenn man Familien mit drei Kindern betrachtet.
S = {(J; J; J), (J; J; M), (J; M; J), (M; J; J), (J; M; M), (M; J; M), (M; M; J), (M; M; M)};
A = {(J; M; M), (M; J; M), (M; M; J), (M; M; M)};
B = {(J; J; M), (J; M; J), (M; J; J), (J; M; M), (M; J; M), (M; M; J)};
3
6
4
4 6 3
A ° B = {(J; M; M), (M; J; M), (M; M; J)};
P (A) = _ 8  ; P (B) = _ 8  ; P (A)·P (B) =  _8  ·  _8  = _ 8  ; P (A ° B) =  _8  = P (A)·P (B)
3. a)Von den unabhängigen Ereignissen
A und B sind zwei Einträge im Baumdiagramm bekannt. Vervollständigen
Sie zuerst das Baumdiagramm. Tragen
Sie anschließend alle fehlenden Einträge in die Vierfeldertafel ein.
b)Von den unabhängigen Ereignissen
P und H sind zwei innere Einträge
der Vierfeldertafel bekannt. Vervollständigen Sie zuerst die Vierfeldertafel. Tragen Sie anschließend alle
fehlenden Einträge in das Baumdiagramm ein.
0,8
0,3
A
0,2
_
0,7
0,8
A
0,2
H
P
_
P  
9
 _
20  
3
 _
20  
3
 _5 
_
B
_
B
0,24
0,56
0,8
B
A
_
A
 
B
 
0,06
0,Å4
0,2
B
_
B
0,75
3
_
 10  
Å
 _
Å0  
 _4 
3
2
Å
Å
_
 4 
0,25
0,6
H
0,4
_
0,6
H
0,4
_
P
_
H  
 _5 
0,3
0,7
Å
_
P
H
H
4.Ein Unternehmen hat insgesamt 1680 Mitarbeiter, darunter 760 Frauen und 920 Männer. Die Tabelle zeigt, wie viele Frauen
bzw. Männer jeweils eine Lesehilfe (Brille oder Kontaktlinsen) tragen. Ein Mitarbeiter wird zufällig ausgewählt.
Untersuchen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Mitarbeiter eine Lesehilfe trägt, vom Geschlecht abhängig ist.
Es genügt, ein Ereignispaar, also z. B. L und F, auf stochastische UnabhängigKeine
Lesehilfe (L)
_
keit zu untersuchen: | S | = 1680; | F | = 760; | L | = 588; | L ° F | = 266
Lesehilfe ( L   )
588 _
760 _
19
19
19
266 _
7
=  20   ; P (F) =  _
=  42  ; P (L ° F) =  _
=  120   ; P (L)·P (F) =  _
P (L)
=  _
Frauen (F)
266
494
120   
1680   
1680   
1680   
_
Männer ( F   )
322
598
Hieraus folgt, dass das Tragen einer Lesehilfe nicht vom Geschlecht abhängt.
_
5. Es ist bekannt, dass P (A) = 0,3; P ( _
B   )= 0,8 und P ( A   ° B )= 0,15. Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig?
_
_
_
_
P ( A   )= 1 – P (A) = 0,7; P (B) = 1 – P ( B   )= 0,2; P ( A   )·P (B) = 0,7·0,2 = 0,14 ≠ P ( A   ° B ); A und B sind voneinander abhängig.
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