Knoten

Stehende Wellen
Stehende Wellen
Ist das Medium, in dem
sich die Wellen
ausbreiten, räumlich
begrenzt, so können
unter geeigneten
Bedingungen stehende
Wellen auftreten.
Unter stehenden Wellen
versteht man Wellen, die
an festen Stellen im Raum
Knoten oder Bäuche zeigen.
Stehende Wellen in einer Saite der Länge
L = 0.5 m. Bei der Grundschwingung bewegen sich
alle Saitenelemente in Phase auf und ab. Für die
Wellenlänge gilt λ = 2L = 1 m.
Für die Oberschwingungen (in der vertikalen Achse
versetzt gezeichnet) findet man λn = 2L/n. n ist eine
ganze Zahl. An den eingespannten Enden tritt immer
ein Knoten auf.
Bauch
Knoten
Stehende Wellen
Die stehende Welle bildet sich aus der Überlagerung von Wellen, die nach
beiden Seiten laufen (Reflexion an den Enden)
Nach rechts laufende Welle!
Nach links laufende Welle!
Bemerkung zur Erinnerung
Kuzgeschlossenes Ende
An den Knoten ist Auslenkung 0:
Stehende Wellen mit festen („quantisierten“) Frequenzen:
Amplitude ändert Vorzeichen, alles wird reflektiert!
Stehende Wellen
Einfallende
und reflektierte Welle
überlagern sich zu einer stehenden Welle
einfallenden und reflektierten,
Die fünf zu verschiedenen Zeiten aufgenommenen Ortsbilder der einfallenden
und reflektierten, nach links bzw. rechts fortlaufenden, harmonischen Wellen
zeigen, wie die Überlagerung der beiden Wellen zu einer stehenden Welle
führen kann, bei der die Knoten und Bäuche ortsfest sind.
Stehende Wellen
Nach rechts laufende
und nach links laufende Welle
überlagern sich zu einer stehenden Welle
Stehende Wellen
Die Erregung längs einer Saite lässt
sich schreiben als:
Grundton (n=1)
Für den Grundton (n=1) gilt:
Bauch
Knoten
Obertöne (n>1)
Stehende Wellen
Allgemein gilt für die Wellenlänge und
die Frequenz bei einer Saite:
Grundton (n=1)
Für den Grundton (n=1) gilt:
Bauch
Knoten
Obertöne (n>1)
Merke:
Die Frequenzen sind „quantisiert“!
Der Kammerton
Damit eine gespannte Stahlsaite (Durchmesser d = 0.5 mm) von 1 m Länge
mit der Frequenz 440 Hz (Kammerton) schwingt, muss die Kraft mit der
sie gespannt ist Z = 1216 N betragen.
Bemerkung: Beim Klavier gibt es grosse Kräfte wegen der vielen Saiten.
Es gilt ja, wie wir wissen:
Und die Kraft mit der die Saite gespannt werden muss ist Z = 1216 N.
Grobe Rechnung:
Bei Klavier mit 88 Tasten ist die Kraft ZTotal= 107008 N (~10 Tonnen!)
Beispiel - eingespannte elastische Stäbe
Für eingespannte
elastische Stäbe gilt:
Knoten
Knoten
Bauch
(a) eingespannt – offen
(b) eingespannt - eingespannt
Knoten
Beispiel - eingespannte elastische Stäbe
Stab an beiden Enden eingespannt:
Stab in der Mitte eingespannt:
Stab an einem Ende eingespannt:
Eigen-, Grund- und
Oberschwingung
Nichtresonante Anregung - Streichen, Schlagen oder Zupfen
Klangfarben:
Der allgemeine Schwingungszustand
ist eine Superposition harmonischer
Normalschwingungen:
Beispiel - Membranen, Hohlkörper
Grund- und Oberschwingungen einer
Stimmgabel
n=1
n=2
n=3
Ernst Chladni (1756-1927) führt
Napoleon seine Klangfiguren vor
Chladni´sche Klangfiguren bei kreisförmigen
Membranen
Schallwellen in Gasen - stehende Wellen in Pfeifen
Harmonische Schallwelle:
Schallwelle ist longitudinale
Welle!
Relative Änderung des
Volumens:
Schallwellen in Gasen - stehende Wellen in Pfeifen
ist die Kompressibilität
Schalldruck:
Schallintensität:
Einheit der Schallintensität:
Schallwellen in Gasen - stehende Schallwelle in einem Rohr
„Überdruck“
Auslenkung:
Schalldruck:
„Unterdruck“
„Überdruck“
„Unterdruck“
„Luftdruck“
Schallwellen in Gasen - stehende Wellen in Pfeifen
Beidseitig geschlossene Pfeife:
Grundton einer beidseitig offenen Pfeife:
Einseitig offene Pfeife:
Beidseitig offene Pfeife:
Klangfarben:
Experimentelle Überprüfung:
Physiologische Aspekte von Schallwellen
Hörvermögen in
Abhängigkeit
von der Frequenz
Schmerzgrenze
dB-Skala
Logarithmische Skala für
die Schallintensität:
Hörgrenze
Mit
. Diese Referenzintensität
entspricht der Wahrnehmungsgrenze des
menschlichen Ohres bei
.
Kurven geben an bei welchen
Schallintensitäten und
Frequenzen das menschliche
Ohr einen bestimmten
Lautstärkeeindruck hat.
Physiologische Aspekte von Schallwellen
Phonskala
Man untersucht bei welcher
Lautstärke eine grosse Anzahl
von Versuchspersonen einen
Ton einer anderen Frequenz
als etwa gleich laut empfindet
wie den Normalton einer bestimmten Phonzahl.
Für 1000 Hz stimmen Phonund dB-Skala überein.
Typische Lautstärken von
Geräuschen
Physiologische Aspekte von Schallwellen
Schallpegel von
verschiedenen
Schallquellen
Physiologische Aspekte von Schallwellen
Schallpegel von
verschiedenen
Schallquellen und
die möglichen
Hörschäden
Ist Ihr Gehör in Gefahr?
Überlagerung zweier Schallwellen mit gleicher Frequenz
Überlagerung zweier Schallwellen mit gleicher Frequenz:
Wellen überlagern sich: Je nach Phasenlage - Auslöschen oder bis 4-fache
Intensität:
Überlagerung zweier Schallwellen mit gleicher Frequenz
Überlagerung zweier Schallwellen mit verschiedener Frequenz:
Frequenzunterschied klein – wir hören Ton mit einer mittleren Frequenz
und eine Schwebung
Frequenzunterschied gross – wir hören reine Töne
Grenze der Frequenztrennung hängt von Tonhöhe ab:
Ausbreitung von Wellen im Raum
Wellengleichung in kartesischen
Koordinaten (1-dimensional):
Wellengleichung in kartesischen
Koordinaten (3-dimensional):
Wellenfronten
von ebenen
Wellen
Wellenfronten
von Kugelwellen
Ebene Wellen
Ebene Welle in x-Richtung:
Ebene Welle in beliebiger Richtung:
Ebenen konstanter
Phase sind:
Kugelwellen
Erregung einer Kugelwelle:
Ebenen konstanter
Phase sind:
Amplitude nimmt nach
aussen mit 1/r ab:
Das Huygen‘sche Prinzip
Kugelwelle
Ebene Welle
Beugung
am Hindernis
Brechung und Reflexion von Wellen
Brechung und Reflexion von Wellen
Reflexionsgesetz:
Brechungsgesetz:
Brechungsindex:
Totalreflexion
Für den Grenzwinkel gilt:
Alles wird reflektiert!
Anwendung im Glasfaserkabel:
Zusammenfassung Wellen (1)
Zusammenfassung Wellen (2)
Zusammenfassung Wellen (3)
Zusammenfassung Wellen (4)
Zusammenfassung Wellen (5)
Zusammenfassung Wellen (6)

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