Übungsstunde 7
Dienstag, 3. November 2015
11:13
Lernziele: Elektromagnetische Wellen
-
Erweitertes Durchflutungsgesetz (4. Maxwellgleichung) & Maxwell'scher Verschiebungsstrom
(Mikroskopische) Maxwellgleichungen
Wellen
Elektromagnetische Wellen & Licht
Induktivität
.
Erweitertes Durchflutungsgesetz
Wiederholung: Mikroskopische Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen im Vakuum)
Differentielle Form
Integrale Form
(M1)
Gauss'sches Gesetz
(M2)
Gauss'sches Gesetz für Magnetfelder
(M3)
Faraday'sches Induktionsgesetz
(M4)
Ampère-Maxwell'sches Gesetz (Erweitertes
Durchflutungsgesetz)
Erweitertes Durchflutungsgesetz/Ampère-Maxwell'sches Gesetz/4. Maxwellgleichung
Beispiel: Aufladen eines Kondensators (keine Elektrostatik!)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Displacement
_current_in_capacitor.svg
Screen clipping taken: 03.11.2015 12:38
(Physik I (MAVT)-Skript von Prof. Wegscheider)
Ampère'sches Gesetz
Differentielle Form
Integrale Form
Ampère'sches Gesetz (1. Form des
Durchflutungsgesetzes)
(M4-MS)
/(M4-A)
- Annahme für Ampère'sches Gesetz: Magnetostatik oder etwas allgemeiner
Für obiges Beispiel erhalten wir nach dem (alten) Ampère'schen Gesetz:
- Für gilt:
- Für
gilt:
- Aber:
Widerspruch
Lösung: Ampère-Maxwell'sches Gesetz
Differentielle Form
Integrale Form
(M4)
Ampère-Maxwell'sches Gesetz (Erweitertes
Durchflutungsgesetz)
Für obiges Beispiel erhalten wir nun:
- Für gilt nun:
kein Widerspruch mehr!
Verschiebungsstrom
-
hat die Einheit eines Stromes
"fiktive" Definition eines Stromes, obwohl keine Ladungen verschoben werden
man kann sich den Strom über den nichtleitenden Raum fortgesetzt denken
(M4) kann man nun schreiben als:
Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 1
Induziertes magnetisches Feld
(M4-V):
Für
:
-
Analog für
:…
Insgesamt:
Wellen
Definition
- wörtlich: Welle = räumlich sich ausdehnende Störung oder Schwingung einer orts- und zeitabhängigen physikalischen Grösse
- mathematisch: Wellen = Lösungen der Wellengleichung:
○ : Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
oder
○ Laplace-Operator in D (Kartesische Koordinaten):
○ D'Alembert-Operator:
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (hier Lichtgeschwindigkeit )
Typen
- Mechanische Wellen: an ein Medium gebunden (Schallwellen, Wasserwellen, Seilwellen, …)
- Wellen ohne Medium: können sich auch im Vakuum ausbreiten (Licht, …)
Wichtige Eigenschaften
- Wellen transportieren Energie, jedoch keine Materie
Beispiele
1. Beliebige Welle (Wasserwelle)
2. Harmonische (ebene) Welle (Elektromagnetische Welle)
3. Harmonische (ebene) Welle (Elektromagnetische Welle)
4. Wellenpaket
Screen clipping taken: 31.10.2013 01:52
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:2006-01-14_Surface_waves.jpg)
Screen clipping taken: 31.10.2013 02:17
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave
_packet_%28dispersion%29.gif)
Screen clipping taken: 31.10.2013 01:58
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Electromagneticwave3Dfromside.gif)
Screen clipping taken: 31.10.2013 02:06
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Electromagneticwave3D.gif)
5. Verschiedene Wellenformen
6. Stehende Wellen (1D)
7. Stehende Welle (2D, Trommel)
Screen clipping taken: 31.10.2013 02:19
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode21.gif)
Screen clipping taken: 31.10.2013 02:18
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standing_waves_on_a_string.gif)
Screen clipping taken: 27.11.2012 12:58
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/Waveforms.svg)
Einfache Lösungen der Wellengleichung
- Wellengleichung:
oder
○ 1D:
○ 2D:
○ 3D:
○
D:
- Ebene Welle:
,
: bel. Funktionen,
zeigt in räumliche Ausbreitungsrichtung der Welle
Screen clipping taken: 31.10.2013 03:10
(http://commons.wikimedia.org/wiki/Fil
,
: bel. Funktionen
- Sphärische Welle:
e:Plane_wave_animation.gif)
- Hier: ist eine Superposition einer auslaufenden ( ) und einer einlaufenden Welle ( )
- Aber auch: http://www.spiegel.de/wissenschaft/technik/maxwell-gleichungen-physiker-berechnen-felder-aus-verknotetem-licht-a-929825.html
Harmonische Wellen
Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 2
Screen clipping taken: 31.10.2013
03:12
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:S
pherical_Wave.gif)
Harmonische Wellen
Harmonische Welle = Welle ist eine periodische sinusförmige (also auch Cosinus!) Funktion
- Ebene harmonische Welle:
- Sphärische harmonische Welle:
Wichtige Beziehungen für Wellen
- Wellenvektor : zeigt in Ausbreitungsrichtung
- (Kreis-)Wellenzahl:
- Wellenzahl:
- Wellenlänge :
- Kreisfrequenz :
- Frequenz :
- Phasengeschwindigkeit
(Dispersionsrelation)
:
Screen clipping taken: 27.11.2012 13:03
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/
Onda.svg)
- Gruppengeschwindigkeit:
Screen clipping taken: 27.11.2012 12:42
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Nonsinusoidal_wavelength.JPG)
Elektromagnetische Wellen/"Licht"
- Elektromagnetische Welle = fortschreitende Welle aus - und -Feld
:
- Vektoridentität für beliebiges 3D-Vektorfeld
○ Beweis (kartesische Koordinaten):
mit
(siehe Wikipedia für Herleitung: https://de.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita-Symbol#Anwendungen ):
Mikroskopische Maxwellgleichungen im Vakuum
- Im Vakuum gilt:
Differentielle Form
Integrale Form
(M1-V)
(M2)
Gauss'sches Gesetz für Magnetfelder
(M3)
Faraday'sches Induktionsgesetz
(M4-V)
- Wellengleichung für -Feld:
oder
mit
: Vakuumlichtgeschwindigkeit
oder
mit
: Vakuumlichtgeschwindigkeit
○ Beweis: Rotation von (M4-V):
- Wellengleichung für -Feld:
○ Beweis: Rotation von (M3) & analog zu oben
Eigenschaften
- Phasengeschwindigkeit:
= Vakuumlichtgeschwindigkeit
- Polarisationsrichtung = Richtung des -Feldes
stehen senkrecht aufeinander
- : Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle
Screen clipping taken: 04.12.2012 12:35 (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Onde_electromagnetique.svg)
Screen clipping taken: 31.10.2013 01:58
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Electromagneticwave3Dfr
omside.gif)
Screen clipping taken: 11.12.2012 12:32
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light_Circular.Polarizer_Creating.Left.Handed.Helix.View.svg)
Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 3
Screen clipping taken: 31.10.2013 02:06
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Electromagneticwave3D.gif )
Elektromagnetisches Spektrum
Screen clipping taken: 31.10.2013 03:04 (http://en.wikipedia.org/wiki/File:EM_spectrum.svg)
Verketteter Fluss, Verkettungsfluss, Induktionsfluss
Der Fluss
auf der rechten Seite des Faraday'schen Induktionsgesetzes wird verallgemeinert auch verketteter Fluss genannt (Grund: siehe Bild).
gesamter Leiter
beliebige Fläche, deren Rand der gesamte Leiter ist
In einer Spule mit
Windungen gilt approximativ (unter Vernachlässigung der Zulaufdrähte und der "Neigung/Windung" des Drahtes in der Spule):
Induktivität (vergleiche mit Kapazität)
Induktivität: stromdurchflossener Leiter, der aufgrund einer Änderung des elektrischen Stromes ein Magnetfeld aufbaut, das der Stromänderun g
entgegenwirkt (Lenz'sche Regel)
: (verketteter!) Fluss durch die vom Leiter aufgespannte Fläche
: Stromstärke, die diesen Fluss 'selbst' erzeugt
Es gilt:
: Induktivität = Proportionalitätskonstante (nur von Geometrie abhängig!; es gilt eigentlich immer
)
Screen clipping taken: 17.10.2013 10:24
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Solenoid
-1.png/320px-Solenoid-1.png)
Energie, um Strom in einer Induktionsspule aufzubauen/Gespeicherte Energie der Spule in Form des Magnetfeldes:
Nutzen/Sinn:
lässt sich z.B. leichter für Rechnungen mit Stromkreisen bestimmen:
Beispiel: Zylinderspule
Induktivität:
1. Magnetische Flussdichte ("Feld") bestimmen (mittels Ampère):
2. (Verketteter) Fluss durch die durch den Leiter aufgespannte Fläche bestimmen:
3. Gleichungen mit Strom durch die Spule ausdrücken:
4. Umformen:
Übungsstunde (Nuhro Ego) Page 4
, z.B.
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