Aufgabenblatt 1

Aufgabe 1: Zum Vorlesungsexperiment „Rakete“
Berechnen Sie für das in der Vorlesung gezeigte Experiment „Rakete“ die Startgeschwindigm
keiten v x und v y unter Berücksichtigung der Erdbeschleunigung g = 9.81 2 .
s
Bei der Rakete ist die Bewegung in x-Richtung eine gleichförmige Bewegung, während für
die y-Richtung die Überlagerung mit der Erdbeschleunigung berücksichtigt werden muss. Als
Ausgangsgleichungen ergeben sich somit für den allgemeinen Fall:
x = x0 + v x t
y = y0 + v y t +
ayt 2
2
Für den vorliegenden Fall ist a y = − g (Minuszeichen, da Abschuss nach „oben“, somit Erdbeschleunigung der Ausgangsbewegung entgegengesetzt). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann x0 = 0m angenommen werden. Für y0 müsste genau genommen die endliche
Höhe über dem Fußboden beim Abschuss (einige 10cm) berücksichtigt werden, näherungsweise wird dieses aber hier vernachlässigt, d.h., wir rechnen mit y0 = 0m . Somit vereinfachen
sich die Ausgangsgleichungen zu
x = vxt
gt 2
2
Wir kennen die in x-Richtung zurückgelegte Wegstrecke: x(t = 1.48s) = 27 m (gemessener
Wert des Vorlesungsexperimentes). Damit lässt sich die Bewegung vollständig beschreiben:
m
m
2 7m
2 7m 2 7m 54 m
x
≈
=
=
= 18
≈ 20
vx = =
s
s
1.5s
3 2s
3s
t 1.48s
Nach t = 1.48s ist die Höhe y wieder 0m (Einschlag auf dem Boden), und somit folgt
2
9.81 m  3 
3
9.81 m
2
⋅ (1.48s) ≈ v y ⋅ s −
⋅ s
0 = v y ⋅1.48s −
2 s2  2 
2
2 s2
3
9.81 m 9 2
⋅ s = vy ⋅ s
2
2
2 s 4
3 ⋅ 9.81 m
m
m
= v y = 7.36 ≈ 10
4 s
s
s
Damit ist die Bewegung der Rakete quantitativ vollständig beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt des Abschusses der Rakete lautet
 vx   20 
r    m
v =  v y  =  10 
v   0  s
 z  
y = v yt −
Aufgabe 2: Umrechnungen
a.) Wie viel Yards legt ein 100m-Läufer zurück?
b.) Ein Siliziumchip hat eine Fläche von 1.25 Quadratinch. Wie viel Quadratzentimeter sind
das? Angenommen der Chip hat eine quadratische Form, wie groß ist die Kantenlänge des
Chips in cm und inch?
c.) Die vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit auf amerikanischen Autobahnen beträgt 55
amerikanische Meilen pro Stunde (mi/h). Wie groß ist diese Geschwindigkeit in (i.) Meter
pro Sekunde (m/s) und (ii.) Kilometer pro Stunde (km/h)?
Zu a.) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass 1 Yard = 1yd = 91.44cm = 0.9144m. Somit gilt
1yd
1m =
= 1.094 yd . Damit gilt natürlich ebenso 100m = 109.4 yd .
0.9144
Zu b.) Mit der Umrechnung 1 inch = 2.54cm folgt 1 inch 2 = (2.54cm) 2 = 6.45cm 2 . Mit diesem
Faktor ergibt sich insgesamt 1.25 inch 2 = 1.25 ⋅ (2.54cm) 2 = 8.06cm 2 . Die Kantenlänge des
Chips berechnet sich daher zu
8.06cm = 2.84cm = 1.12 inch = 1.25 inch .
Zu c.) Eine amerikanische Meile entspricht 1609m. Weiterhin benutzen wir den Zusammhang
1Stunde = 1h = 3600s. Damit ergibt sich als Umrechnung
mi
mi
m
1 h
1 m
m
55
= 55 ⋅1609 ⋅
= 55 ⋅ 1609 ⋅
= 24.6 .
h
h
mi 3600 s
3600 s
s
Analog folgt
mi
mi
m
km
km
55
= 55 ⋅1609
= 55 ⋅ 1.609
= 88.5
.
h
h
mi
h
h
Aufgabe 3: Beschleunigung
a.) Moderne Sportwagen beschleunigen typischerweise in 3s von 0 auf 100km/h, gewöhnlichere Autos benötigen hierfür ca. 10s. Bestimmen Sie die Beschleunigung a unter Annahme einer konstanten Beschleunigung über den gesamten Zeitraum. Drücken Sie das
m
Ergebnis in Einheiten der Erdbeschleunigung g = 9.81 2 aus.
s
m
b.) Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von v = 15 . Zum Zeitpunkt t1 = 0s wird eine
s
Vollbremsung am Ort x0 eingeleitet, und das Auto kommt nach t 2 = 5s zum Stehen. Berechnen Sie die Ausgangsgeschwindigkeit in km/h, die Bremsbeschleunigung in m/s und
den Bremsweg x − x0 in m. Wie verlängert sich der Bremsweg, wenn eine Reaktionszeit
des Fahrers von 0.5s mit berücksichtigt wird?
Zu a.) Der grundlegende Zusammenhang lautet v = at . Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
m
Beide Autos: v(t = 0) = 0
s
km
km 1000m h
1000 m
m
Sportwagen: v(t = 3s) = 100
= 100
=
= 27.8
h
h km 3600s
36 s
s
m
Normales Auto: v(t = 10s) = 27.8
s
Somit folgt für die jeweiligen Autos:
v(t = 3s) − v(t = 0s) 27.8 m
m 9.26 m s 2
∆v
Sportwagen: a =
g = 0.94 g
9
.
26
=
=
=
=
s 2 9.81 s 2 m
3s
3 s2
∆t 0s
3s
v(t = 10s) − v(t = 0s) 27.8 m
m 2.78 m s 2
∆v
g = 0.28 g
2
.
78
=
=
=
=
s 2 9.81 s 2 m
10s
10 s 2
∆t 0s
10 s
Normales Auto: a =
Zu b.) Die Ausgangsgeschwindigkeit ergibt sich über
m
m km 3600s
3.6km
km
v = 15 = 15
= 15
= 54
.
s
s 1000m h
h
h
Analog zu Aufgabe a berechnet sich die Bremsbeschleunigung über
m
15 m
∆v
v(t = 5s) − v(t = 0s)
=
=−
= −3 2
a=
2
s
5s
5 s
∆t 0s
Die volle Bewegungsgleichung des Autos lautet ab dem Zeitpunkt der Bremsung
5s
5s
5s
5s
5s
m
m
m 
m
m
 m
v (t ) = 15 − 3 2 t ⇔ x − x0 = ∫ v (t ) dt = ∫  15 − 3 2 t  dt = 15 ∫ dt − 3 2 ∫ tdt
s
s
s
s 
s 0s
s 0s
0s 
0s
5s
5s
 m t2 
 m 
⇒ x − x0 = 15 t  − 3 2  = 75 m - 37.5m = 37.5m
 s  0s  s 2  0s
Während der Reaktionszeit bewegt sich das Auto mit der Ausgangsgeschwindigkeit v = 15
fort. Dabei legt es den Weg ∆x = vt = 15
der Bremsweg zu x − x0 + ∆x = 45m .
m
s
m
⋅ 0.5s = 7.5m zurück. Insgesamt ergibt sich damit
s

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