Kap. 2: Log-Linearisierung

Einführung in DSGE-Modelle und deren
Lösung mit Hilfe von Dynare
Prof. Dr. Jochen Michaelis
Wintersemester 2015/2016
Kapitel 2: log-Linearisierung
2. Methodischer Exkurs: Log-Linearisieren
Zietz, Joachim (2008): ‚A Clarifying Note on Converting to Log-Deviations from the
Steady State‘, Economics Bulletin 3: 1-15.
Uhlig, Harald (1999): A Toolkit for Analyzing Nonlinear Dynamic Stochastic Models
Easily“, in: R. Marimon und A. Scott (Eds.); Computational Methods for the Study
of Dynamic Economics, Oxford University Press, S. 30-61.
oder: Homepage von Harald Uhlig
Ausgangspunkt:
Die meisten Makro-Modelle sind nicht-linear und haben keine exakte Lösung.
Beispiel: 𝑌 = 𝐶 + 𝐼
mit Konsumfunktion 𝐶 = 𝑌 𝛼
 𝑌 − 𝑌𝛼 = 𝐼
Nur Näherungslösungen für Y möglich!
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Kapitel 2: log-Linearisierung
Log-Linearisierung ist eine Methode für Bestimmung solcher Näherungslösungen
Kernidee (bzw. Annahme):
In der Nähe des Steady States ist das Modell näherungsweise linear in
logarithmierten Größen
Vorgehensweise:
Formuliere das Modell in (prozentualen) Abweichungen vom Gleichgewicht
 Abweichungen sind lineare Funktionen der Modellparameter (first order
approximation)
 Umwandlung eines nicht-linearen Modells in ein lineares System
 Komplexitätsreduktion, Nutzung von Standardsoftware
Achtung:
Lineare Approximation nur in der Nähe des Gleichgewichts eine gute Approximation
Weiterentwicklung: second-order approximation
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Taylor-Approximation:
Taylor-Approximation n-ter Ordnung der Funktion 𝑓(𝑥) um einen Wert 𝑥0 :
(2.1)
𝑇𝑛,𝑥0 𝑥 ≡
𝑓(𝑥0 )
𝑓′ 𝑥0
+ 1!
0!
𝑥 − 𝑥0 +
𝑓′′ 𝑥0
2!
𝑥 − 𝑥0
2
+ ⋯+
𝑓(𝑛) 𝑥0
𝑛!
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛
First-order approximation: 𝑇1,𝑥0 𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0
Second-order approximation: 𝑇2,𝑥0 𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0 +
𝑓′′ (𝑥0 )
2
𝑥 − 𝑥0
2
Es gilt:
(2.2)
𝑓 𝑥 = 𝑇𝑛,𝑥0 𝑥 + 𝑅𝑛
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mit 𝑅𝑛 als Restgröße (remainder)
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f (x )
f (x )
•
x0
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•
•
x
x
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Mehrere Variablen
Approximation der Funktion 𝑔(𝑥, 𝑦) um den Wert (𝑥0 , 𝑦0 )
First order TA:
(2.3) 𝑇1,𝑥0,𝑦0 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑔𝑥 𝑥0 , 𝑦0 ∙ 𝑥 − 𝑥0 + 𝑔𝑦 𝑥0 , 𝑦0 ∙ 𝑦 − 𝑦0
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Definitionen
𝑋𝑡 = Variable (z.B. Output, Arbeitszeit)
𝑋 = Gleichgewichtswert (Steady State-Wert) der Variablen 𝑋𝑡
𝑥𝑡 = ln𝑋𝑡 = Logarithmus dieser Variable
𝑥 = 𝑙𝑛𝑋 = Logarithmus des Steady State
(2.4)
𝑥𝑡 ≡ 𝑥𝑡 − 𝑥 = 𝑙𝑛𝑋𝑡 − 𝑙𝑛𝑋
log deviation of 𝑋𝑡 from its steady state 𝑋
𝑥𝑡 ist (ungefähr) gleich der prozentualen Abweichung von 𝑋𝑡 vom Steady state 𝑋
Beispiel: Steady State = 100
Prozentabweichung exakt:
101−100
100
aktueller Wert = 101
= 0.01 = 1%
Log-Differenz: ln 101 − ln 100 = 0.00995 = 0.995%
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First order TA der Variablen 𝑿𝒕 um den Steady State-Wert 𝑿:
1. Formuliere 𝑋𝑡 um zu:
𝑋𝑡
𝑙𝑛
𝑋𝑡 = 𝑋 ∙ = 𝑋 ∙ 𝑒
𝑋
𝑋𝑡
𝑋
= 𝑋 ∙ 𝑒 𝑙𝑛 𝑋𝑡−𝑙𝑛𝑋 = 𝑋 ∙ 𝑒 𝑥𝑡
mit 𝑥𝑡 ≡ 𝑙𝑛𝑋𝑡 − 𝑙𝑛𝑋 als prozentuale Abweichung von 𝑋𝑡 von seinem
Gleichgewichtswert 𝑋.
2. FOTA für die Funktion 𝑒 𝑥𝑡 um den Gleichgewichtswert 𝑥𝑡 = 0 ( 𝑋𝑡 = 𝑋)
(2.5)
𝑒 𝑥𝑡 ≈ 𝑒 0 + 𝑒 0 (𝑥𝑡 − 0) = 1 + 𝑥𝑡
𝑓(𝑥)
(2.6)
𝑓(𝑎)
𝑓′ (𝑎)
𝑥−𝑎
 𝑋𝑡 ≈ 𝑋 ∙ (1 + 𝑥𝑡 )
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Second order TA der Variablen 𝑿𝒕 um den Steady State-Wert 𝑿:
1.
𝑋𝑡 = 𝑋 ∙ 𝑒 𝑥𝑡
2. SOTA für die Funktion 𝑒 𝑥𝑡 um den Gleichgewichtswert 𝑥𝑡 = 0 ( 𝑋𝑡 = 𝑋)
(2.7)
𝑒 𝑥𝑡 ≈ 𝑒 0 + 𝑒 0 (𝑥𝑡 − 0) +
𝑓(𝑥)
(2.8)
𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0
𝑋𝑡 = 𝑋 ∙ 1 + 𝑥𝑡 +
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𝑥−𝑥0
1
2
𝑥𝑡
1
2
𝑒0
𝑓′′ 𝑥0
𝑥𝑡 − 0
𝑥−𝑥0 2
2
= 1 + 𝑥𝑡 +
1
2
𝑥𝑡
2
2
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Log-Linearisierung einer linearen Gleichung: 𝒀𝒕 = 𝑪𝒕 + 𝑮𝒕
Im Steady State gilt: 𝑌 = 𝐶 + 𝐺
Umformulierung der Gleichung in prozentualen Abweichungen vom StSt mittels FOTA
𝑌 ∙ 1 + 𝑦𝑡 = 𝐶 ∙ 1 + 𝑐𝑡 + 𝐺 ∙ (1 + 𝑔𝑡 )
𝑌 + 𝑌𝑦𝑡 = 𝐶 + 𝐶 𝑐𝑡 + 𝐺 + 𝐺 𝑔𝑡
Beachtung der Steady-State Bedingung 𝑌 = 𝐶 + 𝐺 und Division durch 𝑌 führt zu
(2.9)
𝑦𝑡 = 𝜑𝑐 𝑐𝑡 + 𝜑𝑔 𝑔𝑡
𝐶
𝐺
mit Konsumquote 𝜑𝑐 = 𝑌 und Staatsquote 𝜑𝑔 = 𝑌 im Steady State
Ergebnis immer noch linear, aber jetzt formuliert in prozentualen Abweichungen vom StSt
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Log-Linearisierung einer nicht-linearen Gleichung: 𝒀𝒕 = 𝑨𝒕 ∙ 𝑵𝒕 𝜷
Steady State: 𝑌 = 𝐴 ∙ 𝑁𝛽
bzw. ln 𝑌 = 𝑙𝑛 𝐴 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁
Logarithmiere die Ausgangsgleichung:
𝑙𝑛 𝑌𝑡 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁𝑡
𝑌𝑡
𝐴𝑡
𝑁𝑡
𝑙𝑛(𝑌 ) = 𝑙𝑛(𝐴 ) + 𝛽 𝑙𝑛(𝑁 )
𝑌
𝑁
𝐴
𝑙𝑛(𝑌𝑒 𝑦𝑡 ) = 𝑙𝑛(𝐴𝑒 𝑎𝑡 ) + 𝛽 𝑙𝑛(𝑁𝑒 𝑛𝑡 )
𝑙𝑛 𝑌 + 𝑦𝑡 = 𝑙𝑛 𝐴 + 𝑎𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁 + 𝛽𝑛𝑡
(2.10)
𝑦𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝛽𝑛𝑡
log-linearisierte Form ist jetzt linear
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Ein „schnellerer“ Weg:
Logarithmiere Ausgangsgleichung:
𝑙𝑛 𝑌𝑡 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁𝑡
Subtrahiere logarithmierte Steady-State Relation
𝑙𝑛 𝑌𝑡 − 𝑙𝑛𝑌 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 − 𝑙𝑛𝐴 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁𝑡 − 𝛽 𝑙𝑛 𝑁
(2.10)
𝑦𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝛽𝑛𝑡
Aber:
Dieser Weg ist für first-order TA möglich, nicht aber für second-order TA!
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Problemfall: Gleichung mit Erwartungswerten
Euler-Gleichung für optimalen intertemporalen Konsum
(2.11)
𝐸𝑡 (𝐶𝑡+1 )𝜎 = 𝛽(1 + 𝑖𝑡 )
𝑃𝑡
(𝐶𝑡 )𝜎
𝐸𝑡 𝑃𝑡+1
Logarithmieren:
(2.12)
ln 𝐸𝑡 (𝐶𝑡+1 )𝜎 = ln 𝛽 + ln 1 + 𝑖𝑡 + ln 𝑃𝑡 − ln 𝐸𝑡 𝑃𝑡+1 + ln(𝐶𝑡 )𝜎
Achtung: ln 𝐸𝑡 𝑥𝑡+1 ≠ 𝐸𝑡 (ln 𝑥𝑡+1 )
Hier:
ln{𝐸𝑡 [ 𝐶𝑡+1 𝜎 ]} ≠ 𝐸𝑡 [𝑙𝑛 𝐶𝑡+1 𝜎 ]
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und 𝑙𝑛𝐸𝑡 𝑃𝑡+1 ≠ 𝐸𝑡 (𝑙𝑛𝑃𝑡+1 )
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Jensen‘sche Ungleichung: 𝑙𝑛𝐸𝑡 𝑥𝑡+1 > 𝐸𝑡 (𝑙𝑛𝑥𝑡+1 )
ln xt 1
•
•
•
ln( Et xt 1 )
Et (ln xt 1 )
•
1
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Et xt 1
xt 1
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Annahme:
𝑥𝑡+1 sei lognormal-verteilt, also 𝑥𝑡+1 ~ ln 𝑁𝑉(𝜇, 𝜎 2 )
dann ist ln 𝑥𝑡+1 normal-verteilt mit Erwartungswert 𝜇; ln 𝑥𝑡+1 ~𝑁𝑉(𝜇, 𝜎 2 )
Erwartungswert einer lognormal-verteilten Variable: 𝐸𝑡 𝑥𝑡+1 = 𝑒 𝜇+0,5𝜎
2
Logarithmus der lognormal-verteilten Variable:
2
ln(𝐸𝑡 𝑥𝑡+1 ) = ln 𝑒 𝜇+0,5𝜎 = 𝜇 + 0,5𝜎 2
Erwartungswert der normal-verteilten Variable ln 𝑥𝑡+1 : 𝐸𝑡 ln 𝑥𝑡+1 = 𝜇
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Es resultiert:
ln 𝐸𝑡 𝑥𝑡+1 − 𝐸𝑡 ln 𝑥𝑡+1 = 𝜇 + 0,5𝜎 2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Varianzen sind zeitinvariant; sie fallen also weg, wenn Abweichungen von einem
Steady State betrachtet werden. Daher werden die Konstanten von vornherein
weggelassen, d.h. log-Linearisierung „im Erwartungswert“ ist zulässig!!
Anwendung bei Euler-Gleichung:
ln{𝐸𝑡 [ 𝐶𝑡+1 𝜎 ]} = 𝐸𝑡 [𝑙𝑛 𝐶𝑡+1 𝜎 ]
und 𝑙𝑛(𝐸𝑡 𝑃𝑡+1 ) = 𝐸𝑡 𝑙𝑛𝑃𝑡+1
Einsetzen in (2.12):
(2.13)
𝜎𝐸𝑡 ln𝐶𝑡+1 = 𝑙𝑛𝛽 + l𝑛 1 + 𝑖𝑡 + 𝑙𝑛𝑃𝑡 + 𝜎𝑙𝑛𝐶𝑡 − 𝐸𝑡 𝑙𝑛𝑃𝑡+1
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Für Nominalzins gilt: ln(1 + 𝑖𝑡 ) ≅ 𝑖𝑡
Für erwartete Inflationsrate gilt: 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 =
1 + 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1
𝐸𝑡 𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡
𝑃𝑡
=
𝐸𝑡 𝑃𝑡+1
𝑃𝑡
−1
𝐸𝑡 𝑃𝑡+1
=
𝑃𝑡
ln( 1 + 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 ) = ln 𝐸𝑡 𝑃𝑡+1 − ln 𝑃𝑡 ≅ 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1
Einsetzen in (2.13):
𝜎𝐸𝑡 ln𝐶𝑡+1 = 𝑙𝑛𝛽 + 𝑖𝑡 − (𝐸𝑡 𝑙𝑛𝑃𝑡+1 − 𝑙𝑛𝑃𝑡 ) + 𝜎𝑙𝑛𝐶𝑡
𝜎𝐸𝑡 ln𝐶𝑡+1 = 𝑙𝑛𝛽 + 𝑖𝑡 − 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 + 𝜎𝑙𝑛𝐶𝑡
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Im Steady State gilt:
𝜎𝐸𝑡 ln𝐶 = 𝑙𝑛𝛽 + 𝑖 − 𝐸𝑡 𝜋 + 𝜎𝑙𝑛𝐶
=0
Für die Abweichung vom Steady State resultiert die
Log-linearisierte Euler-Gleichung
(2.14)
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𝜎
𝑐𝑡 = 𝐸𝑡 𝑐𝑡+1 − (𝑖𝑡 − 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 )
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Schwachpunkte der Technik der log-Linearisierung
 Approximation gilt nur für kleine Abweichungen vom Steady State, d.h. große
Schocks werden nicht adäquat abgebildet
(Problem: kann Finanzkrise 2007ff. mit DSGE diskutiert werden??!)
 Es werden nur Erwartungswerte einer Zufallsvariablen betrachtet, spielt die
Varianz eine Rolle wie bei Risikoüberlegungen, ist log-Lin. nicht geeignet
 Ausweg in Neu-Keynesianischer Makro: Second-order Taylor-Approximation, vgl.
Benigno und Woodford, Journal of Economic Theory (2012)
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