Aufgaben zum rechtwinkligen Dreieck - pythagoras-club

Mathematik
bla
Rechtwinkliges Dreieck
1.
In einem Kreis mit dem Radius r = 10 liegen zwei zueinander parallele Sehnen der Länge
a = 4 und b = 16 . Wie gross ist der Abstand zwischen den beiden Sehnen?
2.
Eine Schachtel ist 48 cm lang, 36 cm breit und 25 cm hoch.
Hat eine 64 cm lange Stricknadel darin Platz?
3.
Vier gleichschenklige Dreiecke mit den Kantenlängen
a = b = 9 , c = 5 bilden eine Pyramide mit quadratischer
Grundfläche (siehe Skizze). Berechne die Höhe h dieser
Pyramide.
4.
In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge einer
Kathete a = 18 und die Länge des angrenzenden
Hypotenusenabschnitts q = 10,8. Berechne die übrigen
Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks.
5.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 6, b = 8,
a) Ist ein solches Dreieck überhaupt möglich?
b) Ist das Dreieck rechtwinklig?
c) Berechne seinen Flächeninhalt.
c=3
Konstruktionsaufgaben:
6.
Ein Rechteck, das 3 cm breit und 5 cm lang ist, ist durch Konstruktion mithilfe des
Kathetensatzes in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu verwandeln.
7.
Ein Rechteck, das 3.5 cm breit und 6 cm lang ist, ist durch Konstruktion mithilfe des
Höhensatzes in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu verwandeln.
8.
Ein Quadrat mit der Seitenlänge 3,5 cm ist in ein 1,5 cm breites Rechteck mit gleichem
Flächeninhalt zu verwandeln.
F:\1_GYMER\_Unterricht\AUFGABEN\04_5 Pythagoras\aufgaben1.docx
1
Lösungen
1.
In einem Kreis mit dem Radius r = 10 liegen zwei zueinander parallele Sehnen der Länge
a = 4 und b = 16 . Wie gross ist der Abstand zwischen den beiden Sehnen?
Variante 1
Variante 2
2
2
2
x=6
y = 10 – 2 = 96
2
2
2
y = 9.798
Variante 1:
Variante 2:
Abstand = x + y = 15.798
Abstand = y – x = 3.798
x = 10 – 8 = 36
2.
Eine Schachtel ist 48 cm lang, 36 cm breit und 25 cm hoch. Hat eine 64 cm lange Stricknadel
darin Platz?
d = Raumdiagonale der Schachtel
2
2
2
2
d = 48 + 36 + 25 = 4225
3.
d = 65 Die 64 cm lange Stricknadel hat Platz.
Vier gleichschenklige Dreiecke mit den Kantenlängen a = b = 9 ,
c = 5 bilden eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
Berechne die Höhe h dieser Pyramide.
2
2
2
d = Diagonale der Grundfläche:
d = 5 + 5 = 50
h = Höhe der Pyramide:
d2
50
 d
2
2
= 81 –
= 68.5
h = 9 –   = 81 –
4
4
2
2
h = 8.276
2
4.
5.
In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge einer Kathete a = 18 und die Länge des
angrenzenden Hypotenusenabschnitts q = 10,8. Berechne die übrigen Seitenlängen und den
Flächeninhalt des Dreiecks.
2
Satz von Euklid:
a = c⋅q
Satz von Pythagoras:
b = c – a = 576
Flächeninhalt:
F=
2
2
also ist c =
2
b = 24
a ⋅b
= 216
2
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 6, b = 8,
a) Ist ein solches Dreieck überhaupt möglich?
Im Dreieck muss gelten
a2
= 30
q
a<b+c
c=3
b<a+c
c<a+b
dies ist erfüllt.
b) Ist das Dreieck rechtwinklig?
Der Satz von Pythagoras gilt nicht: 8 ≠ 6 + 3
2
2
2
also ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
c) Berechne seinen Flächeninhalt.
Nach der Formel von Heron F =
F=
6.
s(s − a)(s − b)(s − c ) mit s =
a+b+c
= 8 .5
2
8.5 ⋅ 2.5 ⋅ 0.5 ⋅ 5.5 = 7.644
Ein Rechteck, das 3 cm breit und 5 cm lang ist, ist durch Konstruktion mithilfe des
Kathetensatzes in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu verwandeln.
3
7.
Ein Rechteck, das 3.5 cm breit und 6 cm lang ist, ist durch Konstruktion mithilfe des
Höhensatzes in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu verwandeln.
8.
Ein Quadrat mit der Seitenlänge 3,5 cm ist in ein 1,5 cm breites Rechteck mit gleichem
Flächeninhalt zu verwandeln.
Konstruktion mit dem Kathetensatz
(Konstruiere zuerst das rechtwinklige Dreieck AEC mit dem Thaleskreis und der Kathete 1.5)
4
Konstruktion mit Höhensatz.
5

Download Report