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GG 5 – H
Grundkurs Analytische Geometrie, Aufgabe 5 – Hinweise zur Lösung
1. a) Zwei Geraden bestimmen eindeutig eine Ebene,
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entweder wenn sie einen gemeinsamen Punkt und verschiedene Richtung haben,
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oder wenn sie die gleiche Richtung haben, aber nicht identisch sind.
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Bestimm also erst mal einen Richtungsvektor von h. Vielfaches von v ? – Wenn du den
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Vektor BC verwendet hast; sogar das „1-fache“! – Also der zweite Fall. Zeig noch, dass
ein Punkt von h (z.B. B) nicht auf g liegt (Punktprobe).
→
b) Du brauchst zwei Spannvektoren von E. Einer ist natürlich v , als zweiten kannst du
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z.B. AC nehmen. Du brauchst die Parameterform von E aber nicht hinzuschreiben.
Wichtig ist nur, dass alle beide Spannvektoren senkrecht auf dem (noch unbekannten)
 n1 
→
Normalenvektor n =  n 2  stehen. Das gibt dir zwei Punktprodukte, die = 0 sein
 
 n3 
müssen, also zwei Gleichungen für die drei Unbekannten n 1, n 2 und n 3 – für eine
eindeutige Lösung ein bisschen wenig. Eliminiere aus den beiden Gleichungen n 2, dann
kannst du n 1 durch n 3 ausdrücken und n 3 frei wählen (oder umgekehrt). Klugerweise
triffst du deine Wahl so, dass keine Brüche auftreten. Nun lässt sich aus einer der
Gleichungen auch n 2 ausrechnen. Du hast jetzt den Normalenvektor, wählst als
Stützpunkt z.B. A und kannst die Normalenform in Vektordarstellung aufschreiben.
Genau genommen wär’s das schon, aber die Aufgabensteller haben sich eine andere
Lösung vorgestellt und das Ergebnis in Koordinatenform angegeben. Du wirst
vergleichen wollen, also rechne das Punktprodukt aus, dann kriegst du die
Normalenform als Koordinatengleichung. Vielleicht musst du noch mit –1
multiplizieren. Natürlich kann dein Ergebnis auch anders aussehen, z.B. wenn du einen
anderen Stützpunkt gewählt oder die frei zu wählende Komponente des
Normalenvektors anders festgelegt hast.
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2. a) AP muss ein Vielfaches von v sein (sagen wir µ ⋅ v ), und der Betrag von AP muss = 3
sein. Das gibt dir eine Gleichung für µ, und zwar eine (sehr einfache) quadratische
Gleichung, denn wegen des Betrags musst du quadrieren. Die zwei Werte für µ setzt du
in die Parameterdarstellung von g (mit Stützpunkt A!) ein, dann erhältst du die beiden
Punkte.
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→
b) Halte dich einfach an den Hinweis: Die beiden Vektoren AC und BD sind orthogonal
(Punktprodukt!), und die Mittelpunkte von AC und BD (halbe Summe der
Ortsvektoren) sind identisch.
Die Formel für die Fläche der Raute kannst du in deiner Formelsammlung finden. Die
Mühe kannst du dir auch sparen, wenn du dir die Skizze einer Raute machst und siehst,
dass sie die Hälfte eines Rechtecks ist.
Du musst wieder Beträge ausrechnen, also Wurzeln ziehen. Auf das vorgegebene
Ergebnis kommst du, wenn du den Faktor 4 rausziehst, aus dem du ja die Wurzel ziehen
kannst.
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GG 5 – H
3. a) Von der Lotgeraden (nennen wir sie l) weißt du einen Stützpunkt und einen
Richtungsvektor, kannst sie also in Parameterdarstellung hinschreiben (Parameter,
sagen wir mal, l). Setze die Koordinaten in die Normalenform von E ein und löse nach
l auf. Dieses l setzt du in die Gleichung von l ein und erhältst den Schnittpunkt von l
und E, also F.
b) Die Volumenformel für die Pyramide kennst du oder kannst Sie nachschlagen.
Die Grundfläche hast du aus 2c, die Höhe (nenn sie nicht h – weil das hier eine Gerade
ist – sondern z.B. hp.) ist natürlich der Abstand der Punkte F und S.
c) Um zu zeigen, dass F auf (AC) liegt, brauchst du keine Punktprobe. Es reicht doch zu
→
→
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zeigen, dass AF ein Vielfaches von FC ist. Wenn du AF und FC aufgeschrieben hast,
siehst du auch gleich, das Wievielfache. Diese Zahl gibt das Teilverhältnis an; leider ist
sie negativ. Das heißt aber nur, dass F außerhalb von AC liegt.
Pass aber auf: FC ist nicht das Doppelte von AC ! (Wichtig für 3d!)
d) Mach dir hier nur keine unnötige Arbeit: Gefragt sind die Lagebeziehungen der
„geometrischen Elemente“. Von den Koordinaten ist keine Rede!
Deute also die Ebene E als Parallelogramm an, so als ob sie waagrecht läge (das
Parallelogramm soll das perspektivische Bild eines Rechtecks sein). In E dann die Raute
ABCD mit den Diagonalen, die nun scheinbar nicht mehr orthogonal zueinander sind
(Du kannst sie parallel zu den „Rändern“ von E legen); den Punkt F in der
Verlängerung von AC im richtigen Abstand; die Lotgerade von F aus senkrecht nach
oben; irgendwo auf dieser Lotgeraden den Punkt S. Dann noch die Kanten dieser
(schiefen) Pyramide, die Geraden g und h als Verlängerung der Strecken AB und CD
und irgendwo, beliebig lang, aber in dieser Darstellung unbedingt senkrecht nach oben,
→
den Richtungsvektor n .
e) Hier wollen die Prüfer eigentlich nur sehen, dass du den Überblick noch nicht verloren
hast. Also jetzt umhimmelswillen nicht noch eine Grundfläche und noch ein Volumen
ausrechnen, sondern „elementargeometrisch“ argumentieren:
Du kannst die Höhen der beiden Pyramiden vergleichen (haha!) und auch ihre
Grundflächen. Die Grundfläche der größeren Pyramide heißt übrigens ein
„Drachenviereck“. Ihren Flächeninhalt kriegst du (ohne Rechnung!) am einfachsten,
wenn du die Skizze aus 2b ein wenig ergänzt: Der Drachen ist wieder die Hälfte eines
Rechteckes, aber eines doppelt so großen. – Fertig!
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